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2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块09-解三角形模块九：解三角形 1、余弦定理 (1) 余弦定理: 三角形中任意一边的平方, 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 有提示: 在 ABC 中,若 C=2 ,则 c2=a2+b2 ,这就是勾股定理,余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余 弦定理的特例. (用不同方法给出证明)(2) 余弦定理的推论及其变形推论: cosA=b2+c2a22bc,cosB=a2+c2b22ac,cosC=a2+b2c22ab. 变形: b2+c2a2=2bccosA,a2+c2b2=2accosB,a2+b2c2=2abcosC.由余弦定理知在 ABC 中, 若 A 为锐角,则 cosA>0 , 从而 b2+c2a2>0 ,即 b2+c2> a2 ; 若 A 为钝角,则 cosA< 0,从而 b2+c2a2<0 ,即 b2+c2 <a2 ; 若 A 为直角,则 cosA =0 ,从而 b2+c2=a2 ,可作为 判断三角形形状的方法.(3) 余弦定理的证明 (阅读课本人教 A 版必修二 P42)2、正弦定理 (用不同方法给出证明) (1) 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b,c . 有在正弦定理中,设 asinA=bsinB=csinC=k ,研究常数 k 与 ABC 外接圆的半 径的关系. (提示: 先考虑直角三角形.)(2) 正弦定理的变形与推广边化角。1) a:b:c=sinA:sinB:sinC ;2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R 为 ABC 的外接圆半径); . 角化边.3) sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R ( R 为 ABC 的外接圆半径);4) asinB=bsinA,csinB=bsinC,csinA=asinC ;5) asinA=bsinB=csinC=a+bsinA+sinB=a+csinA+sinC=b+csinB+sinC=a+b+csinA+sinB+sinC.(3) 正弦定理的证明 (阅读课本人教 A 版必修二 P46) 3、三角形中三个内角之间的关系利用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题时, 要注意 三角形三个内角的一些三角函数关系:在 ABC 中, A+B+C=180 ,则(1) sinA=sinB+C,cosA=cosB+C ,tanA=tanB+C= tanA=tanB+C . sinA2=sinB+C2=tanB+tanC1tanBtanC(2) sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2sin2B+C2=cosB+C2 .tanA1tanBtanC= (3) sin2A=sin2B+2C,cos2A=cos2B+2C ,-(tan B+tanC ), tan2A=tan2B+2C .tanAtanAtanBtanC (4) sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2 , =tanB+tanC ,tanA+tanB+tanC= tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tanAtanBtanC . (5) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ,cos2A+cos2B+cos2C=14cosAcosBcosC .4、三角形的面积公式 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .(1) SABC=12aha=12bhb=12chc ;(2) SABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB ;(3) SABC=12a+b+cr ( r 为 ABC 的内切圆半径)(4) 数量积形式的三角形面积公式: 在 ABC 中,设 AB=m,AC=n ,且 <m,n>= ,则SABC=12mnsin=12m2n2mn2(5) 坐标形式的三角形面积公式: 在 ABC 中,设 AB=m=x1,y1,AC=n=x2,y2 ,则SABC=12x1y2x2y1注: 其他表示三角形面积公式形式, 请阅读课本人教 A 版必修二 P54) 5、三角形中的两个重要模型(1) 三角形周长的求解: 三角形周长等于三边和, 但是有的时候需要转化。周长 =a+b+c=a+b+c=a+b+c=a+c+b模型: a2=b2+c22bccosAb+c2=b2+2bc+c2b+c2=a2+2bc+2bccosA(2) 三角形面积最值: 均值不等式求面积: 均值不等式结合完全平方公式运算模型: a2=b2+c22bccosAc2+b22bcb2+c2=a2+2bccosA等量代换: a2+2bccosA2bcbca222cosAS=12bcsinASmax=12×a222cosA×sinA6、测量中角的有关术语及计算 1. 方位角 名师点睛正南方向: 指从原点 O 出 发经过目标的射线与正南的 方向线重合, 即目标在正南方 向线上, 可类推正北方向、正 东方向和正西方向.从指北方向顺时针转到目标方向的水平角, 如图(1).图(1) 图(2): 北偏东 m 图(3): 南偏西 n2. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 通常表达为 北偏东 (西)、南偏东 (西) xx度, 如图(2), (3).3. 仰角与俯角在同一铅直平面内, 目标视线与水平视线所成的角中, 目标 视线在水平视线上方的叫做仰角, 目标视线在水平视线下方的 叫做俯角. 如图. 4. 坡角坡角: 坡面与水平面的夹角. 坡度: 坡面的垂直 高度 h 和水平长度 l 的比. 设坡角为 ,坡度为 i ,则 i=hl=tan .【课本优质习题汇总】 人教 A 版必修二 P51 2. 如下页图,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 ,沿倾斜角为 的斜坡向上走 am 到达 B 处,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 . 求证: 山高 h=asinsinsin .(第 2 题)人教 A 版必修二 P53 (第 8 题)8. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选取与塔底 B 在同一水平 面内的两个测量基点 C 与 D . 现测得 BCD=,BDC= , CD=s ,在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ,求塔高 AB .人教 A 版必修二 P5312. 如图,在 ABC 中,已知 AB=2,AC=5,BAC=60,BC ,(第 12 题)AC 边上的两条中线 AM,BN 相交于点 P ,求 MPN 的余弦值.13. 一条河的两岸平行,河的宽度 d=500m ,一艘船从河岸边的 A 处出发到河对岸. 已知船在静水中的速度 v1 的大小为 v1= 10km/h ,水流速度 v2 的大小为 v2=2km/h . 如果要使船行驶 的时间最短, 那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小. 此时我们分三种情况讨论:(1) 当船逆流行驶, 与水流成钝角时;(2) 当船顺流行驶, 与水流成锐角时;(3) 当船垂直于对岸行驶, 与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间, 判断是否当船垂直于对岸行驶, 与水流成直角 时所用时间最短.人教 A 版必修二 P53 15. ABC 的三边分别为 a,b,c ,边 BC,CA,AB 上的中线分别记为 ma,mb,mc ,利用余 弦定理证明ma=122b2+c2a2,mb=122a2+c2b2,mc=122a2+b2c2.16. 在 ABC 中,求证: cacosBbcosA=a2b2 . 人教 A 版必修二 P5420. 已知 ABC 的三个角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,设 p=12a+b+c ,求证:(1) 三角形的面积 S=ppapbpc ;(2) 若 r 为三角形的内切圆半径,则r=papbpcp;(3) 把边 BC,AC,AB 上的高分别记为 ha,hb,hc ,则ha=2appapbpc,hb=2bppapbpc,hc=2cppapbpc.人教 A 版必修二 P5421. 如图,为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机(第 21 题)沿水平方向在 A,B 两点进行测量, A,B , M,N 在同一个铅垂平面内. 请设计一个测量 方案, 包括:(1) 指出要测量的数据 (用字母表示, 并标示 在图中);(2) 用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤.22. 已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 acosC+3asinCbc=0 .(1) 求 A ; (2) 若 a=2 ,则 ABC 的面积为 3 ,求 b,c . 人教 A 版必修二 P6112. 海中有一座小岛,周围 3n mile 内有暗礁. 一艘海轮由西向东航行,望见该岛在北偏东 75 ; 海轮航行 8n mile 以后,望见该岛在北偏东 55 . 如果这艘海轮不改变航向继续前进,有没有 触礁的危险?人教 B 版必修三 P7(4) 如果在 ABC 中,角 A 的外角平分线 AD 与 BC 的延长线相交于点 D ,求证:BDDC=ABAC.人教 B 版必修三 P10一例 4 如图 9-1-8 所示平面四边形 ABCD 中,已知 B+D=180,AB=2,BC=42,CD=4 ,AD=25 ,求四边形 ABCD 的面积.人教 B 版必修三 P10例 5 在 ABC 中,求证: a=bcosC+ccosB .b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.【上述公式成为射影定理, 熟记熟练应用】 人教 B 版必修三 P11求证: 在 ABC 中, 有a2+b2+c2=2bccosA+accosB+abcosC.人教 B 版必修三 P12(3) 已知 sinA+sinB:sinA+sinC:sinB+sinC=4:5:6 ,求 ABC 中最大的角. 人教 B 版必修三 P12(5) 已知 ABC 的顶点为 A1,1,Bm+4,m4,C0,0 ,且 cosC=35 , 求常数 m 的值.分别根据下列条件，判断 ABC 的形状.(1) a2tanB=b2tanA ; (2) ab=ccosBcosA .人教 B 版必修三 P12 (1) 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=AD=4 , 求四边形 ABCD 的面积.(2) 已知 ABC 中, AB=43,AC=23,AD 为 BC 边上的中线,且 BAD= 30 ,求 BC 的长.(3) 已知三角形的两边和为 4,其夹角为 60 ,求满足条件的三角形的最小周长.(4) 在 ABC 中,已知 acosA=bcosB=ccosC ,判断这个三角形的形状并给出证明.(5) 在 ABC 中,已知 A=2B ,求证: a=2bcosB .(1) 已知 ABC 中, a=bcosC+csinB .(1) 求角 B ;(2) 若 b=2 ,求 ABC 面积的最大值.人教 B 版必修三 P14 例 2 如图 9-2-5 所示,在某海滨城市 A 附近的海图 9-2-5面出现台风活动. 据监测,目前台风中心位于城市 A 的东偏南 60 方向、距城市 A300km 的海面点 P 处, 并以 20km/h 的速度向西偏北 30 方向移动. 如果台 风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域, 半径 为 1003km ,将问题涉及范围内的地球表面看成平 面,判断城市 A 是否会受到上述台风的影响. 如果 会, 求出受影响的时间; 如果不会, 说明理由.人教 B 版必修三 P15(3) 如图所示,在倾斜角等于 15 的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角是 =45 时,旗杆在山坡上的影子的长是 30m ,求旗杆的高.(第 3 题)(第 4 题)(1) 如图所示,在曲柄 CB 绕 C 点旋转时,活塞 A 作直线往复运动,设连杆 AB 长为 340mm ,曲柄 CB 长 85mm ,求曲柄 CB 从初始位置 CB0 按顺时针方 向旋转 60 时,活塞 A 移动的距离 AA0 .人教 B 版必修三 P16 (5) 如图所示, A,B,C 为山脚两侧共线的 3 点,在山(第 5 题)顶 P 处测得 3 点的俯角分别为 , . 计划沿直线 AC 开通穿山隧道. 为求出隧道 DE 的长度,你认为 还需要直接测量出 AD,EB,BC 中哪些线段的长 度? 根据条件, 并把你认为需要测量的线段长度作为 已知量,写出计算隧道 DE 长度的运算步骤. 人教 B 版必修三 P165. 已知 ABC 的周长为 2+1 ,且 sinA+sinB=2sinC .(1) 求 AB 的长;(2) 若 ABC 的面积为 16sinC ,求 C .6. 在 ABC 中,已知 tanC=37 .(1) 求 cosC ;(2) 若 CBCA=52 ,求 ABC 的面积.7. 已知 AD 是 ABC 的角平分线,且 AC=2,AB=3 ,(第 8 题)A=60 ,求 AD 的长.8. 如图所示,为测量山高 MN ,选择水平地面上一点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角 MAN=60,C 点的仰角 CAB=45 以及 MAC=75 ; 从 C 点测得 MCA=60 . 已知山高 BC=100m ,求山高 MN .人教 B 版必修三 P201. 已知 ABC ,则下列命题中,是真命题的有哪些?(1) 若 sin2A=sin2B ,则 ABC 是等腰三角形;(2) 若 sinA=cosB ,则 ABC 是直角三角形;(3) 若 cosAcosBcosC<0 ,则 ABC 是钝角三角形;(4) 若 cosABcosBCcosCA=1 ,则 ABC 是等边三角形.2. 已知向量 a 与 a+b 的夹角为 60 ,且 a=8,b=7 ,求 a 与 b 的夹角 的余弦值.3. 已知 ABCD 中,对角线 AC=57 ,它与两条邻边 AB 和 AD 的夹角分别是 30 和 45 ,求 AB 和 AD 的长.4. 在 ABC 中,已知 c=b1+2cosA ,求证: A=2B . 人教 B 版必修三 P215. 在 ABC 中, cosA=13 .(1) 求 sin2B+C2+cos2A 的值;(2) 若 a=3 ,求 bc 的最大值.6. 在 ABC 中, D 是 BC 的中点,已知 BAD+ACB=90 ,试判断 ABC 的形状.7. 在四边形 ABCD 中, B=D=90,A=60,AD=5,AB=4 ,求 AC 的长以 及 BCCD 的值.8. 在 ABC 中,已知 a2a=2b+c,a+2b=2c3 .(1) 若 sinC:sinA=4:13 ,求 a,c ;(2) 求 ABC 的最大角.9. 已知 D 是 Rt ABC 斜边 BC 上一点, AB=AD ,记 CAD=,ABC= .(1) 求证: sin+cos2=0 ;(2) 若 AC=3DC ,求 的值.10. 已知锐角 ABC 中, sinA+B=35,sinAB=15 .(1) 求证: tanA=2tanB ;(2) 若 AB=3 ,求 AB 边上的高.人教 B 版必修三 P2111. 根据三角形的 3 边长 a,b,c 求三角形面积 S ,既可以用我国宋代数学家秦 九韶提出的 “三斜求积术”, 即S=14c2a2c2+a2b222,也可以用海伦公式S=ppapbpc,其中 p=a+b+c2 . 证明上述两个公式等价.人教 B 版必修三 P211. 在 ABC 中, ABC=90,AB=3,BC=1,P 为 ABC 内一点, BPC=90.(1) 若 PB=12 ,求 PA ;(2) 若 APB=150 ,求 tanPBA .人教 B 版必修三 P22 2. 已知 ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 BAC ,且 ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍.(1) 求 sinBsinC ;(2) 若 AD=1,DC=22 ,求 BD 和 AC 的长.3. 如图所示, 公园里有一块边长为 2 的等边三角形草坪 (记为(第 3 题)ABC ),图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上.(1) 设 AD=x,DE=y ,求 y 关于 x 的函数关系式;(2) 如果要沿 DE 铺设灌溉水管,则水管最短时 DE 的位置应 在哪里? 说明理由.模块十: 平面向量及其应用、复数 1、平面向量的概念 (1) 基本概念 向量的定义向量的模零向量单位向量向量 的表 示几何 表示字母 表示注: 在平面内, 若将所有单位向量的起点平移到同一点, 则它们的终点可以构成一个半径为 1 的圆. (2) 有向线段与向量的区别与联系区别联系有向线段具有方向的线段，包含三个要素: 起点、方向量用有向线段表示，并不是说向量向、长度. 在空间中是固定的线段.就是有向线段,每条有向线段对应着向量有大小、方向两个要素，在空间中可以自由 平移.一个向量，但每一个向量对应着无数 条有向线段.(3) 平面向量的相关概念定义符号表示图形表示相等向量a=b平行向量 (共线向量)a/b相反向量a 与 b 互为相反向量 b=a ; AB=BA注: (1)规定: 零向量与任意向量平行,即对任意向量 a ,都有 0/a .(2)已知四边形 ABCD ,则 “ AB=DC ” 是 “四边形 ABCD 是平行四边形” 的什么条件?(3)零向量的相反向量仍然是零向量.2、平面向量的基本运算 (1) 平面向量的加法运算 a+b(1)向量加法的三角形法则 (顺次连接, 指向终点)如图,已知非零向量 a,b ,在平面内任取一点 A ,作 AB=a,BC =b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b ,即 a+b=AB+BC=AC , 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则. 可简记为“顺次连接、指向 终点”.(2) 向量加法的平行四边形法则如图,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a ,b ,以 OA,OB 为邻边作 OACB ,则以 O 为起点的 向量 OC(OC 是 OACB 的对角线) 就是向量 a 与 b 的和,我们把这种作两个向量和的方法叫做向 量加法的平行四边形法则.(3)多个向量的和运算 为了得到有限个向量的和, 只需将这些向量依次首尾相接, 那么以第一个向量的始点为始点, 最后一个向量的终点为终点的向量, 就是这些向量的和.(4)向量加法的运算律（阅读课本, 自证)1) 交换律: a+b=b+a 2) 结合律: a+b+c=a+b+c=a+b+c (2) 平面向量的减法运算 ab(1)向量减法的三角形法则 (共起点, 指向被减向量终点)“终减超”.如图,已知非零向量 a,b ,在平面内任取一点 O ,作 OA=a , OB=b ,连接 BA ,则 BA=OAOB=ab ,即把两个向量 a,b 的起点 放在一起,两个向量的差 ab 是以减向量 b 的终点为起点,被减 向量 a 的终点为终点的向量,这是向量减法的三角形法则,即向 量减法的几何意义.(3) aba+ba+b;ababa+b (注意等号成立的条件,并总结出来)(4) 平面向量的数乘运算 ( a ) (1)实数 与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量.一般地,给定一个实数 与任意一个向量 a ,规定它们的乘积是一个向 量,记作 a ,其中:(1) 当 0 且 a0 时, a 的模为 a ,而且 a 的方向如下:(1) 当 >0 时,与 a 的方向相同;(2) 当 <0 时,与 a 的方向相反.(2) 当 =0 或 a=0 时, a=0 .(2)运算律: 设 , 是实数,则有1) a=a (结合律); 2) +a=a+a (第一分配律); 3) a+b=a+b (第二分配律) (5) 共线向量定理 (阅读课本, 并给出证明)(1)向量 aa0 与 b 共线 a/b 的充要条件是: 存在唯一一个实数 ,使 b=a .(2) A,B,C 三点共线的充要条件是: 存在实数 ,使得 AB=AC .(3)若点 O 异于 A,B,C 三点,则A,B,C 三点共线的充要条件是存在实数对 , ,使得 OC=OA+OB ,其中 +=1 .(4)若两个非零向量 a 与 b 共线且 a+b=0 ,则必有 =0 .3、向量的数量积 (1) 向量的夹角 0a,b给定两个非零向量 a,b ,在平面内任选一点 O ,作 OA=a,OB=b , 则称 0, 内的 AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角,记作 a,b .注: a,b=0a 与 b 同向; a,b=a 与 b 反向; a,b=2ab .(2) 向量的数量积 (内积) (注意: 数量积是一个实数)一般地,当 a 与 b 都是非零向量时,称 abcosa,b 为向量 a 与 b 的数量积 (也称为内积),记作 ab ,即ab=abcosa,b.规定: 0 与任意向量的数量积为 0 .(3) 投影向量 设非零向量 AB=a,CD=b ,过 A,B 分别作 CD 所在直线的垂线,垂足分别为 A1,B1 ,则 A1B1 叫做向量 a 在向量 b 方向上的投影向量.注: (1)向量 a 在向量 b 方向上的投影向量 acose (其中 a,b=,e 是与 b 方向相同的单位向量) (2)向量 a 在向量 b 方向上的投影向量 abbe=abb2b (其中 e 是与 b 方向相同的单位向量)(4) 数量积的性质 (熟记, 给出证明) 设 a,b 是非零向量,它们的夹角是 ,e 是与 b 方向相 同的单位向量, 则如果 ab=0 ,是否 有 a=0 ,或 b=0 ?(1) ae=ea=acos .(2) abab=0 .(3) 当 a 与 b 同向时, ab=ab ; 当 a 与 b 反向时, ab=ab . 特别地, aa=a2 或 a=aa .aa 常常记作 a2 .此外,由 cos1 还可以得到(4) abab .(5) 向量夹角公式: cos=abab (其中 a,b= ) (5) 数量积的运算律 (在下面写出证明) 对于向量 a,b,c 和实数 ,有 (1) ab=ba ; (2) ab=ab=ab ; (3) a+bc=ac+bc .(6) a+b2=a2b2=4、平面向量基本定理 (阅读课本, 并给出证明)平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 1,2 ,使a=1e1+2e2.若 e1,e2 不共线,我们把 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 (base).说明: (1)平面向量基本定理表明,在给定的平面内,当向量 e1 与 e2 与 e2 不共线时,任意一个向量 a ,都可以写成 e1 与 e2 的线性运算,而且表达式唯一.(2)平面内任意不共线的两个向量 e1 与 e2 与 e2 都可以组成该平面上向量的一组基底 e1,e2 ,此时若 a=,e1+2e2 , 则称 1e1+2e2 为向量 a 在基底 e1,e2 下的分解式.5、平面向量的正交分解与坐标表示 (1) 平面向量的正交分解 如果平面向量的基底 e1,e2 中, e1e2 ,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(2) 平面向量的坐标表示 如图 6.3-8,在平面直角坐标系中,设与 x 轴、 y 轴方图 6.3-8向相同的两个单位向量分别为 i,j ,取 i,j 作为基底. 对 于平面内的任意一个向量 a ,由平面向量基本定理可知,有 且只有一对实数 x,y ,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量 a 都可由 x,y 唯一确定,我 们把有序数对 x,y 叫做向量 a 的坐标,记作a=x,y.(1)其中, x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,(1)叫做向量 a 的坐标表示.显然, i=j=0=(3) 平面向量坐标运算(1)如果平面上一点 A 的坐标为 x,yOA=x,y （ O 为坐标原点）.(2)若 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 AB=线段 AB 的中点为 M ,则 OM=12OA+OB ,点 M 的坐标为(3)设 a=x1,y1,b=x2,y2 ,则 a+b=;ab=a=ab ; a/b ; abab=0试表示向量 a 在向量 b 方向上的投影向量的坐标?(4)三角形重心坐标公式: 若 ABC 三个顶点坐标为 Ax1,y1,Bx2,y2,Cx2,y2,G 为 ABC 的 重心,则 OG=13OA+OB+OC ,点 G 的坐标为如图 6.3-18,线段 P1P2 的端点 P1,P2 的坐标分别是 x1,y1,x2,y2 ,点 P 是直线 P1P2 上的一点. 当 P1P=PP2 时,点 P 的坐标是什么?图 6. 3-18拓展阅读 向量的数量积与三角形的面积 在平面直角坐标系 xOy 中,给定 Ax1,y1,Bx2,y2 ,假设 O,A,B 不在同一条直线上, 如图 1 所示, 你能用 A,B 的坐标表示出 OAB 的面积吗?图 1一般地, 利用向量的数量积可以方便地 求出 OAB 的面积为S=12x1y2x2y1.事实上,如图 2 所示,记 t=OA,a= 1ty1,x1 ,则容易验证, a 是与 OA 垂 直的单位向量.图 2过 B 作 OA 的垂线 BC . 因为 a 为单位 向量, 所以由向量数量积的几何意义可知BC=aOB,因此, OAB 的面积为S=12AO×BC=12AO×aOB=12t×1ty1,x1x2,y2=12y1,x1x2,y2=12x1y2x2y1.由此也可以看出, 如图 3 所示, 如果图 3Ax1,y1,Bx2,y2 ,而且 O,A,B 三点不共线,则以 OA,OB 为邻边的平行 四边形 OACB 的面积为S=x1y2x2y1.由此你能体会到向量数量积的作用之 大吗?【向量中重点方法总结】 1、极化恒等式(1) 概念: 设 a、b 是两个平面向量,则有恒等式: ab=14a+b2ab2(2) 几何意义: 向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 14 .ab=14AD2BC2(3) 空间几何与极化恒等式: 在矩形 ABCD 中,若对角线 AC 和 BD 交于点O,P 为平面内任意一点,有以下两个重要的向量关系:(1) PA2+PC2=PB2+PD2 ; (2) PAPC=PBPD .2、共线问题 (1) P、A、B 三点共线 APABAP=tABOP=1tOA+tOB .证明方法:坐标方法: 设 Ax1,y1,Bx2,y2,Px,y 三点共线,则: AP=PB ,x=x1+x21+y=y1+y21+OP=OA+OB1+OP=tOA+1tOB其中:t=11+.(2) 定理应用: 平面上 O,A,B 三点不共线, D 在直线 AB上,且 AD=AB ,令 OA=a,OB=b,OD=x ,则有 x=b+1a . 其表达意思就是从一个顶点 O 引出三 个向量,且它们共线,每一个向量 a,b 分别乘它对面的比值.3、等和线 平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP,OP=OA+OB,R , 若点 P 在直线 AB 上或平行于 AB 的直线上,则 +=k (定值),反之也成立, 把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线. k=OQOP(1)当等和线恰为直线 AB 时, k=1 ;(2)当等和线在 O 点和直线 AB 之间时, k0,1 ;(3)当直线 AB 在 O 点和等和线之间时, k1,+ ; (4)当等和线过 O 点时, k=0 ; 4、三角形四心(1) 重心(1)概念: 三角形三条边中线的交点.(2)重心向量表达: O 为 ABC 的重心 OA+OB+OC=0 .(3)重心的性质:1) 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1 .2) 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等.3) ABC 中 Ax1,y1、Bx2,y2、Cx3,y3 ,重心的坐标是 Gx1+x2+x33,y1+y2+y33(2) 垂心(1)概念: 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。(2)向量表达: 若 H 为 ABC 所在平面内一点,则 HAHB=HBHC=HCHAH 为 ABC 的垂心.(3) 内心(1)概念: 三角形内切圆圆心. 三内角角平分线交点.(2)内心向量表达: O 为 ABC 的内心 aOA+bOB+cOC=0 .(3)内心的性质: 1) 内心到三角形边的距离相等2) 三角形面积与内切圆半径关系: S=12Cr=12a+b+cr内心: 三角形的内心在向量 ABAB+ACAC 所在的直线上;(4) 外心(1)概念: 三角形外接圆圆心. 三条边垂直平分线交点.(2) 外心向量表达: O 为 ABC 的外心 OA=OB=OC .(3)外心的性质: 1) 外心到三角形三顶点的距离相等2) 三角形面积与外接圆半径关系: S=abc4r【复数】 1、复数的概念 (1) 虚数单位 i : (1) i2=1 ; (2)实数可以和 i 进行加法和乘法运算,且加法和乘法的运算律仍然成立. (2) 复数的概念一般地,当 a 与 b 都是实数时,称 a+bi 为复数. 复数一般用小写字母 z 表示,即z=a+bia,bR,其中 a 称为 z 的实部, b 称为 z 的虚部,分别记作Rez=a,Imz=b.所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母 C 表示,因此C=zz=a+bi,a,bR.(3) 复数的分类复数 a+bia,bR实数b=0虚数b0纯虚数a=0非纯虚数a0两个复数 z1 与 z2 ,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数 相等,记作 z1=z2 .这就是说,如果 a,b,c,d 都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d.特别地,当 a,b 都是实数时, a+bi=0 的充要条件是应当注意, 两个不相等的实数, 一定有大小之分 (从而也就一定能用大于 号或小于号连接), 但是两个复数, 如果不全是实数, 一般不规定它们之间的大 小,只能说它们相等或不相等. 例如, 2+i 与 3+i,2 与 2i 之间都不规定大小. 特别地, 不能将虚数与 0 比较大小, 因此也就不能说虚数是正数还是负数.2、复数的几何意义(1) 复数 z=a+bi 一一对应一复平面内的点 Za,b(2) 复数 z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ(3) 复数 z=a+bia,bR 的模（或称为绝对值）: z=a2+b2思考: 设 zC ,在复平面内 z 对应的点为 Z ,那么满足下列条件的点 Z 的集合是什 么图形?(1) z=1 ; (2) 1<z<2 .zz0 ( z,z0C ) 的几何意义是: 3、共轭复数: 复数 z=a+bia,bR 的共轭复数 z=如果 z1,z2 是共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系? 4、复数的四则运算加减法则: a+bi±c+di=a±c+b±di ;乘法法则: a+bic+di=acbd+bc+adi ;除法法则: a+bic+di=a+bicdic+dicdi=ac+bd+bcadic2+d2乘方法则: i2=1,in=i4k+r=ir幂运算: zmzn=zm+n;zmn=zmn;z1z2m=z1mz2mm,nN ; 说明: (1)由复数与向量之间的对应关系可以得出复数图 10-2-1加法的几何意义: 如果复数 z1,z2 所对应的向量 分别为 OZ1 与 OZ2 ,则当 OZ1 与 OZ2 不共线 时,以 OZ1 和 OZ2 为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2 ,则 z1+z2 所对应的向量就是 OZ ,如 图 10-2-1 所示.由复数加法的几何意义可以得出z1z2z1+z2z1+z2.由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法的几何意义: 如果 复数 z1,z2 所对应的向量分别为 OZ1 与 OZ2 ,设点 Z 满足OZ=Z2Z1,则 z1z2 所对应的向量就是 OZ ,如图 10-2-2 所示.由复数减法的几何意义可以得出z1z2z1z2z1+z2.(2) 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把 i2 换成 -1,并把实部与虚部分别合并即 可.(3) 在进行复数除法运算时, 对分母 “实数化”, 并把实部与虚部分别合并即可. 5、复数中的常用结论(1) 1±i2=±2i,1+i1i=i;1i1+i=i ;(2) i 的运算性质: i4n=1,i4n