考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类考点一 知图判断函数极值与极值点考点二 求函数的极值与极值点（一）不含参（二）含参考点三 由极值求参数的值或范围考点四 由极值点求参数的值或范围考点五 利用极值解决函数的零点问题考点六 求函数的最值（一）不含参（二）含参考点七 由函数的最值求参数问题考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用考点九 不等式恒成立与存在性问题考点十 利用导数解决实际问题1. 函数的极值(1)函数极值的定义：如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0. 类似地，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0. 我们把a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值；b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数yf(x)在某一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数yf(x)在xx0处取极大(小)值的充分条件是：f(x0)0；在xx0附近的左侧f(x0)>0(<0)，右侧f(x0)<0(>0). (3)导数求极值的方法：解方程f(x)0，当f(x0)0时，如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值. 2. 知图判断函数极值由导函数图象判断函数yf(x)的极值， 要抓住两点：由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x) 的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性，两者结合可得极值点. 要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值3. 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况注：可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.是为极值点的既不充分也不必要条件，如，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零这个零点必须穿越轴，否则不是极值点判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大f(x)在xx0处有极值时，一定有f (x0)0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在xx0两侧的符号后才可下结论；若f (x0)0，则f(x)未必在xx0处取得极值，只有确认x1<x0<x2时，f(x1)·f(x2)<0，才可确定f(x)在xx0处取得极值4. 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号f(x0)0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值. (3)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立5. 已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性6. 函数的最大(小)值函数最大(小)值的再认识一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 若函数yf(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数在a，b上的最小值，f(b)为函数在a，b上的最大值；若函数yf(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数在a，b上的最大值，f(b)为函数在a，b上的最小值. (2)导数求最值的一般步骤：设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求函数yf(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 7. 最值与极值的区别与联系(1)函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点（函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点），而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得(5)函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内8. 求函数最值的步骤(1)求函数的定义域(2)求f(x)，解方程f(x)0.(3)求极值、端点处的函数值，确定最值注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较9. 含参数的函数的最值问题(1)含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论. (2)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(3)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值10. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值11. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用12. 三次函数的图象、单调性、极值设三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc，记4b212ac4(b23ac)，并设x1，x2是方程f(x)0的根，且x1<x2. (1)a>0>00图象单调性在(，x1)，(x2，)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减在R上是增函数极值点个数20(2)a<0>00图象单调性在(x1，x2)上单调递增；在(，x1)，(x2，)上单调递减在R上是减函数极值点个数2013. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤14. 不等式恒成立（有解）问题的转化（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立不等式在区间D上恒成立（3）若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得考点一 知图判断函数极值与极值点1（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则等于（    ）ABCD2（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）A在区间上，是增函数B当时，取到极小值C在区间上，是减函数D在区间上，是增函数3（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）A是的极小值点B是的极小值点C在区间上单调递减D曲线在处的切线斜率小于零4（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）AB函数在xc处取得最大值，在处取得最小值C函数在xc处取得极大值，在处取得极小值D函数的最小值为5（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）A在上有增也有减B有2个极小值点CD有1个极大值点6（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）ABC在区间内有3个极值点D的图象在点处的切线的斜率小于0考点二 求函数的极值与极值点（一）不含参7（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数极值点为 _8（2023·四川成都·统考二模）函数的极大值为_9【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列说法正确的是（    ）A没有零点 B当时，的图象位于轴下方C存在单调递增区间D有且仅有两个极值点10【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ）A函数在上单调递增B函数有且仅有一个零点C函数有且仅有一个极值点D直线是曲线的切线11（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数(1)求的极值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围12【多选】（2023·全国·高三专题练习）对于函数，则（    ）A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C函数与的图象有两个交点D函数有两个零点13（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，则下列说法正确的是（ ）A在上有极大值B在上有极小值C在上既有极大值又有极小值D在上没有极值（二）含参14（2023·全国·高三专题练习）已知函数求函数的极值；15（2023·全国·高三专题练习）已知函数，(1)讨论的极值；(2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围16（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.(1)求函数的极值；(2)若函数有两个不同的零点，证明：.17（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数(1)求函数的极值点；(2)设，为的两个极值点，证明：18（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的极值；(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并求证：.考点三 由极值求参数的值或范围19【多选】（2023·山西·统考二模）已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（    ）ABCD20【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值10，则下列说法正确的是（    ）ABC一定有两个极值点D一定存在单调递减区间21（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为_22（2023·全国·高三专题练习）已知函数有极值，则c的取值范围为（  ）ABCD23（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为_24（2023·全国·高三专题练习）函数在上有唯一的极大值，则（    ）ABCD25（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ）A2B3C4D526（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）ABCD27（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m_28（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数，若的极小值为负数，则的最小值为_.29（2023·广西桂林·统考模拟预测）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（    ）ABCD30（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是_考点四 由极值点求参数的值或范围31（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极值点，则的极小值为_32（2023·全国·高三专题练习）已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（    ）ABCD33（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是_.34（2023·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（    ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件35（2023·上海黄浦·统考一模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（    ）ABCD36（2023春·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则（    ）ABCD37【多选】（2023·山东泰安·统考一模）已知函数有两个极值点，则（    ）ABCD，38（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数有两个极值点，且，则实数m的取值范围是_.39（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（    ）ABCD考点五 利用极值解决函数的零点问题40（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为_41（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_.42【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恰有三个零点，则（    ）A的最小值为B在上只有一个极小值点C在上恰有两个极大值点D在上单调递增43（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_.44（2023·江西上饶·统考二模）已知函数在内恰有4个极值点和3个零点，则实数的取值范围是（    ）ABCD45（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中.(1)若的极小值为16，求；(2)讨论的零点个数.考点六 求函数的最值（一）不含参46（2023·全国·高三专题练习）函数在内的最大值为_47（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，该函数的最大值为_48（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为_49（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_50（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为_（二）含参51（2023·江西·高三统考期中）已知(1)求的最值；(2)若有两个零点，求k的取值范围.52（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)讨论函数在区间上的最大值；(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.53（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，求在内的最大值；(3)当时，判断函数的零点个数考点七 由函数的最值求参数问题54（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（）ABCD155（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（    ）ABC1D56（2023春·新疆·高三校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为2，则它在上的极大值为（    ）ABC24D2757（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ）A有极大值，无最小值B无极大值，有最小值C有极大值，有最大值D无极大值，无最大值58（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ）ABCD59（2023·上海松江·统考二模）已知函数，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ）ABCD60（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）ABCD61（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）ABCD62（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数的最小值为，求的最大值考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用63【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ）A函数在定义域上有极小值B函数在定义域上单调递增C函数的单调递减区间为D不等式的解集为64【多选】（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（    ）A在上只有一个零点B在上可能有4个零点C在上单调递增D在上恰有2个极大值点65【多选】（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像经过点，则（    ）A函数的最大值为2B点是函数图像的一个对称中心C是函数的一个极小值点D的图像关于直线对称66（2023春·河南郑州·高三校考期中）已知函数的最小值为，函数的一个零点与极小值点相同，则（    ）AB0C1D267（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（    ）ABCD68（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ）ABCD考点九 不等式恒成立与存在性问题69（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数若，成立，则实数m的最小值是_70（2023·全国·高三专题练习）若对任意，总有不等式成立，则实数a的最大值是_71（2023·全国·模拟预测）已知函数.若任意的，都有，则实数的最大值是_.72（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是_.73（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在处取得极值，且对于，均有，则b的取值范围为_74（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知函数的极小值点为(1)求函数在处的切线方程；(2)设，恒成立，求实数m的取值范围考点十 利用导数解决实际问题75（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（    ）AB4CD876（2023·全国·高三专题练习）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ）A3cmB4cmC5cmD6cm77（2023·全国·高三专题练习）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱考点17 利用导数研究函数的极值和最值10种常见考法归类考点一 知图判断函数极值与极值点考点二 求函数的极值与极值点（一）不含参（二）含参考点三 由极值求参数的值或范围考点四 由极值点求参数的值或范围考点五 利用极值解决函数的零点问题考点六 求函数的最值（一）不含参（二）含参考点七 由函数的最值求参数问题考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用考点九 不等式恒成立与存在性问题考点十 利用导数解决实际问题1. 函数的极值(1)函数极值的定义：如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0. 类似地，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0. 我们把a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值；b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数yf(x)在某一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取得极值的必要条件. 可导函数yf(x)在xx0处取极大(小)值的充分条件是：f(x0)0；在xx0附近的左侧f(x0)>0(<0)，右侧f(x0)<0(>0). (3)导数求极值的方法：解方程f(x)0，当f(x0)0时，如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值. 2. 知图判断函数极值由导函数图象判断函数yf(x)的极值， 要抓住两点：由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x) 的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性，两者结合可得极值点. 要特别注意导函数图象在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值3. 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况注：可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.是为极值点的既不充分也不必要条件，如，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零这个零点必须穿越轴，否则不是极值点判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大f(x)在xx0处有极值时，一定有f (x0)0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在xx0两侧的符号后才可下结论；若f (x0)0，则f(x)未必在xx0处取得极值，只有确认x1<x0<x2时，f(x1)·f(x2)<0，才可确定f(x)在xx0处取得极值4. 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号f(x0)0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值. (3)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立5. 已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性6. 函数的最大(小)值函数最大(小)值的再认识一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 若函数yf(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数在a，b上的最小值，f(b)为函数在a，b上的最大值；若函数yf(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数在a，b上的最大值，f(b)为函数在a，b上的最小值. (2)导数求最值的一般步骤：设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求函数yf(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 7. 最值与极值的区别与联系(1)函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点（函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点），而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得(5)函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内8. 求函数最值的步骤(1)求函数的定义域(2)求f(x)，解方程f(x)0.(3)求极值、端点处的函数值，确定最值注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较9. 含参数的函数的最值问题(1)含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论. (2)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(3)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值10. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值11. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用12. 三次函数的图象、单调性、极值设三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc，记4b212ac4(b23ac)，并设x1，x2是方程f(x)0的根，且x1<x2. (1)a>0>00图象单调性在(，x1)，(x2，)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减在R上是增函数极值点个数20(2)a<0>00图象单调性在(x1，x2)上单调递增；在(，x1)，(x2，)上单调递减在R上是减函数极值点个数2013. 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤14. 不等式恒成立（有解）问题的转化（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立不等式在区间D上恒成立（3）若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得考点一 知图判断函数极值与极值点1（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则等于（    ）ABCD【答案】C【分析】根据和是的根，列出方程组求得，得到，结合是函数的极值点，即可求解.【详解】由函数的图象知：和是的根，即，解得，所以，可得，又由结合图象可得是函数的极值点，即是的两个根，即是的两个实数根，所以.故选：C.2（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）A在区间上，是增函数B当时，取到极小值C在区间上，是减函数D在区间上，是增函数【答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，递增，C错；时，递增，D正确故选：D.3（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）A是的极小值点B是的极小值点C在区间上单调递减D曲线在处的切线斜率小于零【答案】D【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.【详解】由图像知，当或时，单调递增，当时，单调递减，所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.故选：D.4（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）AB函数在xc处取得最大值，在处取得最小值C函数在xc处取得极大值，在处取得极小值D函数的最小值为【答案】C【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当时，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确因为，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，所以函数在xc处取得极大值，但不一定取得最大值，在xe处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确由题图可知，当时，所以函数在d，e上单调递减，从而，所以D不正确故选：C5（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）A在上有增也有减B有2个极小值点CD有1个极大值点【答案】D【分析】利用导函数图象与函数单调性、极值点的关系即可判定.【详解】由图可得，当，时，当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以有1个极大值点，1个极小值点.故A、B错误，而，C错误.故选：D6（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）ABC在区间内有3个极值点D的图象在点处的切线的斜率小于0【答案】B【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C错误；由可知D错误.【