2025高考数学专项思维拓展 新高考压轴题中函数的新定义问题含答案.pdf

人不拼怎知输赢人不拼怎知输赢思维拓展 新高考压轴题中函数的新定义问题思维拓展 新高考压轴题中函数的新定义问题定义新性质定义新概念定义新运算一、必备知识整合一、必备知识整合一、新定义问题一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧二、新定义问题的方法和技巧1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.二、考点分类精讲二、考点分类精讲1(2024福建泉州模拟预测)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=c exc+e-xc2，其中c为参数当c=1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为coshx=ex+e-x2，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程已知三角函数满足性质：导数：sinx=cosxcosx=-sinx；二倍角公式：cos2x=2cos2x-1；平方关系：sin2x+cos2x=1定义双曲正弦函数为sinhx=ex-e-x2(1)写出sinhx，coshx具有的类似于题中、的一个性质，并证明该性质；(2)任意x0，恒有sinhx-kx0成立，求实数k的取值范围；12025高考数学专项思维拓展 新高考压轴题中函数的新定义问题含答案水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(3)正项数列an(nN*)满足a1=a1，an+1=2a2n-1，是否存在实数a，使得a2024=178？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由2(2024山东滨州二模)定义：函数 f(x)满足对于任意不同的x1,x2a,b，都有 f x1-f x2k x1-x2，则称 f(x)为 a,b上的“k类函数”(1)若 f(x)=x23+1，判断 f(x)是否为 1,3上的“2类函数”；(2)若 f(x)=a(x-1)ex-x22-xlnx为1,e上的“3类函数”，求实数a的取值范围；(3)若 f(x)为1,2上的“2类函数”，且 f(1)=f(2)，证明：x1，x21,2，f x1-f x20且 f x的一个“封闭区间”，求r的取值集合；(2)已知函数g x=ln x+1+34x3，设集合P=x g x=x(i)求集合P中元素的个数；(ii)用b-a表示区间 a,ba0)成立，则称函数y=f(x)与y=g(x)“具有性质H(t)”.(1)判断函数 f(x)=x2，x1,2与g(x)=2x是否“具有性质H(2)”，并说明理由；(2)若函数 f(x)=2+x2，x(0,1与g(x)=1x“具有性质H(t)”，求t的取值范围；(3)若函数 f(x)=1x2+2lnx-3与y=g(x)“具有性质H(1)”，且函数y=g(x)在区间(0,+)上存在两个零点x1，x2，求证x21+x222.4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢6(2024上海模拟预测)已知A、B为实数集R的非空子集，若存在函数y=f x且满足如下条件：y=f x定义域为A时，值域为B；对任意x1、x2A，x1x2，均有f x1-f x2x1-x20.则称 f x是集合A到集合B的一个“完美对应”.(1)用初等函数构造区间 0,1到区间 0,+的一个完美对应 f x；(2)求证：整数集Z到有理数集Q之间不存在完美对应；(3)若 f x=x3-kx2+1，kR，且 f x是某区间A到区间-3,2的一个完美对应，求k的取值范围.7(2024上海黄浦二模)若函数y=f(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=f(x)的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数 f1(x)=sinx与 f2(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若aR，求证：函数g(x)=tanx-x+a x-2,2有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设nN*，h(x)=tanx-x+n x-2,2的零点为xn，t-2,2，求证：“存在s(2,+)，使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx的图象的一对 同切点”的充要条件是“t是数列xn中的项”.5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢8(2024浙江绍兴三模)若函数(x)有且仅有一个极值点m，函数(x)有且仅有一个极值点n，且mn，则称(x)与(x)具有性质-mn(1)函数1(x)=sinx-x2与2x=ex-x是否具有性质1-2x00？并说明理由(2)已知函数 f x=aex-ln x+1与g x=ln x+a-ex+1具有性质 f-gx1x2(i)求a的取值范围；(ii)证明：g x1 x2定义新概念定义新概念一、解答题一、解答题9(2024江西二模)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为 n.(1)试求 1+9，7+21的值；(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示 pk(kN N*)，并探究 pq与 p和 q的关系；(3)设数列 an的通项公式为am=5m-32 3m(mN*)，求该数列的前m项的和Tm.6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢10(2024安徽合肥三模)把满足任意x,yR总有 f x+y+f x-y=2f xf y的函数称为和弦型函数.(1)已知 f x为和弦型函数且 f 1=54，求 f 0,f 2的值；(2)在(1)的条件下，定义数列：an=2f n+1-f nnN N+，求log2a13+log2a23+log2a20243的值；(3)若g x为和弦型函数且对任意非零实数t，总有g t1设有理数x1,x2满足 x2 x1，判断g x2与g x1的大小关系，并给出证明11(2024黑龙江三模)若函数y=f x满足：对任意的实数s,t 0,+，有 f s+t f s+f t恒成立，则称函数y=f x为“增函数”.(1)求证：函数y=cosx不是“增函数”；(2)若函数y=3x-1-x-a是“增函数”，求实数a的取值范围；(3)设g x=ex-ln x+1-1，若曲线y=g x在x=x0处的切线方程为y=0，求x0的值，并证明函数y=g x是“增函数”.7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢12(2024河北唐山二模)数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立证明分为下面两个步骤：1证明当n=n0(n0N N)时命题成立；2假设n=k(kN N，且kn0)时命题成立，推导出在n=k+1时命题也成立用模取余运算：amodb=c表示“整数a除以整数b，所得余数为整数c”用带余除法可表示为：被除数=除数商+余数，即a=br+c，整数r是商如7=32+1，则7mod3=1；再如3=70+3，则3mod7=3当amodb=0时，则称b整除a现从序号分别为a0，a1，a2，a3，an的n+1个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m(m2)时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为 f n+1,m如 f 1,m=0表示当只有1个人时幸运者就是a0；f 6,2=4表示当有6个人而m=2时幸运者是a4；f 6,3=0表示当有6个人而m=3时幸运者是a0(1)求10mod3；(2)当n1时，f n+1,m=f n,m+mmod n+1，求 f 5,3；当nm时，解释上述递推关系式的实际意义；(3)由(2)推测当2kn+10，证明：f1x-1g x0-baf(x)dx,f(x)0)的等差数列，b1=1，两条抛物线y=bnx2+1bn，y=bn+1x2+1bn+1nN+记它们交点的横坐标的绝对值为an，两条抛物线围成的封闭图形的面积为Sn，求证：S1a1+S2a2+Snan0上的动点，点M 0,2与点N的曼哈顿距离d M,N的最小值记为 f k，求 f k的最大值；(3)已知点M ek,kek，点N(m,n)(k，m，nR，e是自然对数的底)，当k1时，d M,N的最大值为f m,n，求 f m,n的最小值12水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢思维拓展思维拓展 新高考压轴题中函数的新定义问题新高考压轴题中函数的新定义问题定义新性质定义新概念定义新运算一、必备知识整合一、必备知识整合一、新定义问题一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧二、新定义问题的方法和技巧1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.二、考点分类精讲二、考点分类精讲1(2024福建泉州模拟预测)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为y=c exc+e-xc2，其中c为参数当c=1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为coshx=ex+e-x2，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程已知三角函数满足性质：导数：sinx=cosxcosx=-sinx；二倍角公式：cos2x=2cos2x-1；平方关系：sin2x+cos2x=1定义双曲正弦函数为sinhx=ex-e-x2(1)写出sinhx，coshx具有的类似于题中、的一个性质，并证明该性质；(2)任意x0，恒有sinhx-kx0成立，求实数k的取值范围；1水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(3)正项数列an(nN*)满足a1=a1，an+1=2a2n-1，是否存在实数a，使得a2024=178？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)答案见解析(2)(-，1(3)存在实数a=122122022+2-122022，使得a2024=178成立【详解】(1)导数：sinh x=cosh x，cosh x=sinh x，证明如下：sinhx=ex-e-x2=ex+e-x2=coshxcoshx=ex+e-x2=ex-e-x2=sinhx，二倍角公式：cosh 2x=2 coshx2-1，证明如下：2 coshx2-1=2ex+e-x22-1=e2x+2+e-2x2-1=e2x+e-2x2=cosh 2x；平方关系：(coshx)2-(sinhx)2=1，证明如下：coshx2-sinhx2=ex+e-x22-ex-e-x22=e2x+2+e-2x4-e2x-2+e-2x4=1；(2)令F x=sinhx-kx，x(0,+)，Fx=coshx-k，当k1时，由coshx=ex+e-x2exe-x=1，又因为x0，所以exe-x，等号不成立，所以Fx=coshx-k0，即F(x)为增函数，此时F(x)F(0)=0，对任意x0，sinhxkx恒成立，满足题意；当k1时，令G(x)=F(x)，x(0,+)，则Gx=sinhx0，可知G(x)是增函数，由G(0)=1-k0可知，存在唯一x0 0,ln2k，使得G(x0)=0，所以当x(0,x0)时，F(x)=G(x)G(x0)=0，则F(x)在(0,x0)上为减函数，所以对任意x(0,x0)，F(x)1，函数coshx=ex+e-x2的值域为 1,+，对于任意大于1的实数a1，存在不为0的实数m，使得coshm=a1，类比双曲余弦函数的二倍角公式cosh 2x=2 coshx2-1，由coshm=a1，a2=2 coshm2-1=cosh 2m，a3=cosh 22m，猜想：an=cosh 2n-1m，由数学归纳法证明如下：当n=1时，a1=a=cosh 21-1m=cosh m成立；假设当n=k(k为正整数)时，猜想成立，即ak=cosh(2k-1m)，则ak+1=2a2k-1=2 cosh 2k-1m2-1=cosh 22k-1m=cosh 2km，符合上式，综上知，an=cosh 2n-1m；2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢若a2024=cosh 22023m=178，设t=22023m，则cosht=et+e-t2=178，解得：et=4或14，即t=ln4，所以m=ln222022，即a1=coshm=em+e-m2=122122022+2-122022综上知，存在实数a=122122022+2-122022，使得a2024=178成立方法二、构造数列 xn(xn0)，且an=cosh xn，因为an+1=2a2n-1，所以an+1=2 coshxn2-1=cosh 2xn，则an+1=cosh xn+1=cosh 2xn，因为cosh x在(0,+)上单调递增，所以xn+1=2xn，即xn是以2为公比的等比数列，所以x2024=x122023，所以ex2024=ex122023，所以ex1=ex2024122023，又因为a2024=cosh x2024=12ex2024+e-x2024=178，解得ex2024=4或14，所以a=a1=cosh x1=12ex1+e-x1=124122023+4-122023=122122022+2-122022，综上知，存在实数a=122122022+2-122022，使得a2024=178成立【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.2(2024山东滨州二模)定义：函数 f(x)满足对于任意不同的x1,x2a,b，都有 f x1-f x2k x1-x2，则称 f(x)为 a,b上的“k类函数”(1)若 f(x)=x23+1，判断 f(x)是否为 1,3上的“2类函数”；(2)若 f(x)=a(x-1)ex-x22-xlnx为1,e上的“3类函数”，求实数a的取值范围；(3)若 f(x)为1,2上的“2类函数”，且 f(1)=f(2)，证明：x1，x21,2，f x1-f x21【答案】(1)f(x)为 1,3上的“2类函数”(2)1e3,e+5ee+1(3)证明见详解【详解】(1)对于任意不同的x1,x2 1,3，不妨设x1x2，即1x1x23，则 f x1-f x2=x213+1-x223+1=x1+x23x1-x22 x1-x2，所以 f(x)为 1,3上的“2类函数”.(2)因为 f(x)为1,e上的“3类函数”，对于任意不同的x1,x2 1,e，不妨设x1x2，3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢则 f x1-f x23 x1-x2=3 x2-x1恒成立，可得3x1-3x2 f x1-f x23x2-3x1，即 f x1+3x1 f x2+3x2，f x2-3x2 f x1-3x1均恒成立，构建g x=f x+3x，x 1,e，则gx=fx+3，由 f x1+3x1 f x2+3x2可知g x在 1,e内单调递增，可知gx=fx+30在 1,e内恒成立，即 fx-3在 1,e内恒成立；同理可得：fx3 1,e内恒成立；即-3 fx3在 1,e内恒成立，又因为 f(x)=axex-x-1-lnx，即-3axex-x-1-lnx3，整理得x+lnx-2xexax+lnx+4xex，可得x+lnx-2ex+lnxax+lnx+4ex+lnx，即x+lnx-2ex+lnxax+lnx+4ex+lnx在 1,e内恒成立，令t=x+lnx，因为y=x,y=lnx在 1,e内单调递增，则t=x+lnx在 1,e内单调递增，当x=1，t=1；当x=e，t=e+1；可知t=x+lnx 1,e+1，可得t-2etat+4et在 1,e+1内恒成立，构建F t=t-2et,t 1,e+1，则Ft=3-tet，当1t0；当3te+1时，Ft0；可知F t在 1,3内单调递增，在 3,e+1内单调递减，则F tF 3=1e3，构建G t=t+4et,t 1,e+1，则Gt=-3-tet0在 1,e+1内恒成立，可知G t在 1,e+1内单调递减，则G tG e+1=e+5ee+1；可得1e3ae+5ee+1，所以实数a的取值范围为1e3,e+5ee+1.(3)(i)当x1=x2，可得 f x1-f x2=01，符合题意；()当x1x2，因为 f(x)为1,2上的“2类函数”，不妨设1x1x22，若0 x2-x112，则 f x1-f x22 x1-x21；若12x2-x11，则 f x1-f x2=f x1-f 1+f 1-f x2=f x1-f 1+f 2-f x2 f x1-f 1+f 2-f x22 x1-1+2 2-x2=2-2 x2-x11；综上所述：x1，x21,2，f x1-f x20且 f x的一个“封闭区间”，求r的取值集合；6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(2)已知函数g x=ln x+1+34x3，设集合P=x g x=x(i)求集合P中元素的个数；(ii)用b-a表示区间 a,ba-1求导得出函数h x的单调性，利用零点存在定理即可求得集合P中元素的个数为2个；(ii)根据区间长度的定义，对参数a进行分类讨论得出g x的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.【详解】(1)由题意，x 0,r，f x 0,r，f x=1+cosx0恒成立，所以 f x在 0,r上单调递增，可得 f x的值域为 0,r+sinr，因此只需 0,r+sinr 0,r，即可得r+sinrr，即sinr0 r0，则r的取值集合为2k-1,2kkN N*(2)(i)记函数h x=g x-x=ln x+1+34x3-x x-1，则h x=1x+1+94x2-1=4+9x2x+1-4 x+14 x+1=9x2x+1-4x4 x+1=x 3x+43x-14 x+1x-1，由h x0得-1x13；由h x0得0 x13；所以函数h x在-1,0和13,+上单调递增，在 0,13上单调递减其中h 0=0，因此当x-1,0 0,13时，h x0，不存在零点；由h x在 0,13单调递减，易知h130，由零点存在定理可知存在唯一的x013,1使得h x0=0；当x 1,+时，h x0，不存在零点综上所述，函数h x有0和x0两个零点，即集合P中元素的个数为2(ii)由(i)得m=x0，假设长度为m的闭区间D=a,a+x0是g x的一个“封闭区间”a-1，则对x a,a+x0，g x a,a+x0，当-1a0时，由(i)得h x在-1,0单调递增，7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢h a=g a-ah 0=0，即g a0时，由(i)得h x在 x0,+单调递增，h a+x0=g a+x0-a+x0h x0=0，即g a+x0a+x0，也不满足要求；当a=0时，闭区间D=0,x0，而g x显然在-1,+单调递增，g 0g xg x0，由(i)可得g 0=h 0+0=0，g x0=h x0+x0=x0，g x 0,x0=D，满足要求综上，存在唯一的长度为m的闭区间D=0,m，使得D是g x的一个“封闭区间”【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.5(2024上海普陀二模)对于函数y=f(x)，xD1和y=g(x)，xD2，设D1D2=D，若x1，x2D，且x1x2，皆有 f x1-f x2t g x1-g x2(t0)成立，则称函数y=f(x)与y=g(x)“具有性质H(t)”.(1)判断函数 f(x)=x2，x1,2与g(x)=2x是否“具有性质H(2)”，并说明理由；(2)若函数 f(x)=2+x2，x(0,1与g(x)=1x“具有性质H(t)”，求t的取值范围；(3)若函数 f(x)=1x2+2lnx-3与y=g(x)“具有性质H(1)”，且函数y=g(x)在区间(0,+)上存在两个零点x1，x2，求证x21+x222.【答案】(1)答案见解析(2)2,+(3)证明见解析【分析】(1)根据条件，结合性质H(t)的定义判断即可；(2)根据 f(x)=2+x2，x(0，1与g(x)=1x“具有性质H(t)”，可得tx1x2(x1+x2)对x1，x2(0,1恒成立，再求出t的范围即可；(3)根据条件，得到1x21+2lnx1-3=1x22+2lnx2-3，再构造函数，结合条件证明不等式即可【详解】(1)由x1,x2 1,2，且x1x2，得2x1+x24，即 x1+x24，则 x1+x2 x1-x24 x1-x2，即 x21-x222 2x1-2x2，即 f x1-f x22 g x1-g x2，则函数 f(x)=x2,x 1,2与g(x)=2x“具有性质H(2)”.8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(2)由函数 f x=2+x2,x 0,1与g x=1x“具有性质H(t)”，得 f x1-f x2t g x1-g x2，x1,x2 0,1，且x1x2，即 2+x12-2-x22t1x1-1x2，整理得(x1+x2)(x1-x2)tx2-x1x1x2，则tx1x2(x1+x2)对x1,x2 0,1恒成立，又x1,x2 0,1，x1x2，则0 x1+x22，0 x1x21，即0 x1x2(x1+x2)2，则t2，即所求的t的取值范围为 2,+.(3)由函数y=g x在 0,+有两个零点x1,x2，得g x1=g x2=0，又函数 f x=1x2+2lnx-3与y=g(x)“具有性质H(1)”，则 f x1-f x2 g x1-g x2=0，即 f x1=f x2，即1x21+2lnx1-3=1x22+2lnx2-3，令x21=t1,x22=t2，即1t1+lnt1-3=1t2+lnt2-3，记h x=1x+lnx-3，即h t1=h t2，因为hx=-1x2+1x=x-1x2，当0 x1时，hx1时，hx0，所以函数y=h x在区间 0,1是减函数，在 1,+上是增函数.要证x21+x222，即证t1+t22，不妨设0t112-t11，只需证h t2h 2-t1，即证h t1h 2-t1，设H x=h x-h 2-x，即H x=1x+lnx-12-x-ln 2-x，因为Hx=-1x2+1x-12-x2+12-x=-4 1-x2x22-x20，所以函数y=H x在 0,+是减函数，且H(1)=0，又0t1H 1=0，即h t1-h 2-t10，则h t1h 2-t1得证，故 x21+x222.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢6(2024上海模拟预测)已知A、B为实数集R的非空子集，若存在函数y=f x且满足如下条件：y=f x定义域为A时，值域为B；对任意x1、x2A，x1x2，均有f x1-f x2x1-x20.则称 f x是集合A到集合B的一个“完美对应”.(1)用初等函数构造区间 0,1到区间 0,+的一个完美对应 f x；(2)求证：整数集Z到有理数集Q之间不存在完美对应；(3)若 f x=x3-kx2+1，kR，且 f x是某区间A到区间-3,2的一个完美对应，求k的取值范围.【答案】(1)f(x)=tan2x(2)证明见解析(3)-,-3322 03,+)【详解】(1)f(x)=tan2x，当x 0,1时，2x 0,2，则其值域为 0,+，满足条件，根据复合函数单调性知 f(x)在 0,1单调递增，则其满足条件，故可取 f(x)=tan2x.(2)假设有 f(x)是集合Z到Q的一个完美对应，则有 f(0)=a,f(1)=b，其中abQ，于是，a+b2Q，由完美对应的定义，存在整数k，使得 f(k)=a+b2且0k0，则x(-,0)时，f(x)0；x 0,2k3时，f(x)0；则y=f(x)在(-,0)上单调递增，在 0,2k3上单调递减，在2k3,+上单调递增;又 f(0)=12，故只有极小值 f2k3-3才满足题意，即2k33-k2k32+1-3，k3，若k0；x2k3,0时，f(x)0；则y=f(x)在-,2k3单调递增，在2k3,0单调递减，在(0,+)单调递增；又 f(0)=1-3，故只有极大值 f2k32才满足题意，10水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢即2k33-k2k32+12，即k-3322.综上,k 的取值范围是-,-3322 03,+).【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求导得 f(x)=3x2-2k=0，然后求出导函数零点x=0或2k3，最后对k进行合理分类讨论即可.7(2024上海黄浦二模)若函数y=f(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=f(x)的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数 f1(x)=sinx与 f2(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若aR，求证：函数g(x)=tanx-x+a x-2,2有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设nN*，h(x)=tanx-x+n x-2,2的零点为xn，t-2,2，求证：“存在s(2,+)，使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx的图象的一对 同切点”的充要条件是“t是数列xn中的项”.【答案】(1)函数 f1(x)的图象存在“自公切线”；函数 f2(x)的图象不存在“自公切线”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】(1)显然直线y=1切y=sinx的图象于点2,1,52,1，直线y=1是y=sinx的图象的一条“自公切线”，因此函数 f1(x)的图象存在“自公切线”；对于 f2(x)=lnx,f2(x)=1x(x0)是严格减函数，则 f2(x)在不同点处的切线斜率不同，所以函数 f2(x)的图象不存在“自公切线”.(2)由g(x)=1cos2x-1=sin2xcos2x=tan2x0恒成立，且仅当x=0时g(x)=0，则y=g(x)是-2,2上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令g1(x)=sinx-(x-a)cosx x-2,2，由y=g1(x)的图象是连续曲线，且g1-2g12=-10，因此g1(x)在-2,2上存在零点，即在-2,2上g(x)=g1(x)cosx存在零点，所以g(x)有唯一零点；假设g(x)的图象存在“自公切线”，则存在x1,x2-2,2且x1x2，使得g(x)的图象在x=x1与x=x2处的切线重合，即tan2x1=tan2x2，有x2=-x1，不妨设x1 0,2，切线l1:y-tanx1+x1-a=tan2x1(x-x1)，l2:y-tanx2+x2-a=tan2x2(x-x2)，有相同截距，即-x1tan2x1+tanx1-x1+a=-x2tan2x2+tanx2-x2+a，而x2=-x1，11水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢则-x1tan2x1+tanx1-x1=x1tan2x1-tanx1+x1，即x1(1+tan2x1)=tanx1，则有x1=sinx1cosx1，即2x1=sin2x1，令(x)=x-sinx,0 x0，即函数(x)在(0,)上单调递增，(x)(0)=0，因此当x(0,)时，xsinx，即2x1=sin2x1在 0,2上无解，所以g(x)的图象不存在“自公切线”.(3)对给定的nN N*，由(2)知h(x)有唯一零点，即xn唯一确定，又h(x)在点(t,sint)处的切线方程为y-sint=cost(x-t)，即y=xcost+sint-tcost，h(x)在点(s,sins)处的切线方程为y=xcoss+sins-scoss，若存在s(2,+)，使得点(s,sins)与(t,sint)是函数y=sinx图象的一对“同切点”，则coss=cost stsins-scoss=sint-tcost，又t-2,2，则cost0，所以coss=cost sttans-s=tant-t，coss=cost且tans=-tant，从而存在nN N*，使得s=2n-t，代入tans-s=tant-t，可得tant-t+n=0，则xn=t，即t是数列 xn中的项；反之，若t是数列 xn中的项，则存在nN N*，使得xn=t，即tant-t+n=0，由(2)中的g(x)严格增，可知h(x)严格增，又h(0)=n0且h(t)=0，可知tn，则称(x)与(x)具有性质-mn(1)函数1(x)=sinx-x2与2x=ex-x是否具有性质1-2x00？并说明理由(2)已知函数 f x=aex-ln x+1与g x=ln x+a-ex+1具有性质 f-gx1x2(i)求a的取值范围；(ii)证明：g x1 x2【答案】(1)具有，理由见解析(2)(i)a 0,1 1,+；(ii)证明见解析【详解】(1)函数1(x)=sinx-x2与2x=ex-x具有性质1-2x00，理由如下：1(x)=cosx-2x，令h x=1x=cosx-2x，则hx=-sinx-20，11=cos1-20，故存在x0 0,1，使1x0=0，则1x在-,x0上单调递增，在 x0,+上单调递减，故1(x)有且仅有一个极值点x0 0,1，2x=ex-1，则当x0时，2x0时，2x0，故2(x)在-,0上单调递减，在 0,+上单调递增，故2(x)有且仅有一个极值点0，故函数1(x)=sinx-x2与2x=ex-x具有性质1-2x00；(2)(i)fx=aex-1x+1，又x+10，故x-1，当a0时，fx=aex-1x+10时，令m x=fx=aex-1x+1，则mx=aex+1x+120恒成立，故 fx在-1,+上单调递增，gx=1x+a-ex，x+a0，故x-a，由a0，令n x=gx=1x+a-ex，则nx=-1x+a2-ex0恒成立，故gx在-a,+上单调递减，当a 0,1时，有 f0=ae0-10+1=a-10，又x+时，gx-，故此时存在x2 0,+，使g x在-a,x2上单调递增，在 x2,+上单调递减，则g x有唯一极值点x2 0,+，即有 fx1=aex1-1x1+1=0，gx2=1x2+a-ex2=0，即ex1=1a x1+1，ex2=1x2+a，此时需满足x1x20，则ex1ex2，故有1a x1+11x2+a，即x2ax1，即ax2x10，又x-1时，fx-，故此时存在x1-1,0，使 f x在-1,x1上单调递减，在 x1,+上单调递增，则 f x有唯一极值点x1-1,0，13水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢有g0=1a-e0=1a-11x2+a，此时需满足0 x1x2，即x2ax1，则ax2x1，由x2x1x20，则ex2=1x2+ae0=1，故0 x2+a1，g x在-a,x2上单调递增，在 x2,+上单调递减，则g x10，故 t在 0,1上单调递增，则g x2=lnt-1t+1 g x2，要证 g x1 x2，只需证g x1+x20，g x1+x2g x2+x2=ln x2+a-ex2+1+x2=ln1ex2-ex2+1+x2=1-ex2 x2；当a 1,+时，有0 x1x2，则ex2=1x2+a1，g x在-a,x2上单调递增，在 x2,+上单调递减，则g x1g 0=ln 0+a-e0+1=lna0，即要证 g x1 x2，只需证g x1+x20，g x1+x2=ln x1+a-ex1+1+x2ln x2+a-ex1+1+x2=ln1ex2-ex1+1+x2=-x2-ex1+1+x2=1-ex11-e0=0，即当a 1,+，有 g x1 x2；综上所述，g x1 x2.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于分a 0,1及a 1,+进行讨论，从而可得不同的a的情况下不同的x1、x2的范围，结合放缩进行推导.定义新概念定义新概念14水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢一、解答题一、解答题9(2024江西二模)随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为 n.(1)试求 1+9，7+21的值；(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示 pk(kN N*)，并探究 pq与 p和 q的关系；(3)设数列 an的通项公式为am=5m-32 3m(mN*)，求该数列的前m项的和Tm.【答案】(1)1+9=7，7+21=18(2)pk=p-1pk-1，pq=p q(3)Tm=114+5m2-1143m.【详解】(1)易得 1=1，不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则 9=6，不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则 7=6，不超过2121且与2121互素的正整数有1 1，2 2，4 4，5 5，8 8，1010，1111，1313，1616，1717，1919，2020，则 21=12，所以 1+9=7，7+21=18.(2)在不大于 pk的正整数中，只有 p的倍数不与 pk互素，而 p的倍数有 pk-1个，因此 pk=pk-pk-1=p-1pk-1.由p，q是两个不同的素数，得 p=p-1，q=q-1，在不超过 pq-1的正整数中，p的倍数有q-1个，q的倍数有 p-1个，于是 pq=pq-1-p-1-q-1=pq-p-q+1=p-1q-1，所以 pq=p q.(3)根据(2)得am=5m-33m-1，所以Tm=230+73+1232+5m-33m-1，3Tm=231+732+1233+5m-33m，两式相减，得-2Tm=2+53+532+53m-1-5m-33m，所以-2Tm=15 1-3m-11-3-5m-33m+2，故Tm=114+5m2-1143m.10(2024安徽合肥三模)把满足任意x,yR总有 f x+y+f x-y=2f xf y的函数称为和弦型函数.15水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(1)已知 f x为和弦型函数且 f 1=5