2025高考数学专项思维拓展 抽象函数和复合函数的应用含答案.pdf

水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢抽象函数与复合函数的应用抽象函数与复合函数的应用抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)常见抽象函数模型-一次函数、二次函数、反比例函数常见抽象函数模型-指对幂函数、三角函数复合函数的应用一、必备知识整合一、必备知识整合一、抽象函数的性质一、抽象函数的性质1.周期性：f x+a=f xT=a；f x+a=f xT=2a；f x+a=kf xT=2a；(k为常数)；f x+a=f x+bT=ab2.对称性：对称轴：f ax=f a+x或者 f 2ax=f x f x关于x=a对称；对称中心：f ax+f a+x=2b或者 f 2ax+f x=2b f x关于 a,b对称；3.如果 f x同时关于x=a对称，又关于 b,c对称，则 f x的周期T=ab4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题 f x在R上是奇函数，且 f x单调递增 若解不等式 f x1+f x20，则有x1+x20；f x在R上是奇函数，且 f x单调递减 若解不等式 f x1+f x20，则有x1+x2 f x2，则有 x1 x2(不变号加绝对值)；f x在R上是偶函数，且 f x在 0,+单调递减 若解不等式 f x1 f x2，则有 x12b，则有x1+x22a；12025高考数学专项思维拓展 抽象函数和复合函数的应用水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢f x关于 a,b对称，且 f x单调递减 若解不等式 f x1+f x22b，则有x1+x2 f x2，则有 x1a x2a(不变号加绝对值)；f x关于x=a对称，且 f x在 a,+单调递减 若解不等式 f x1 f x2，则有 x1a0模型2：若 f(x-y)=f(x)f(y)，则 f(x)=f(1)x；f(x)0模型3：若 f(x+y)=f(x)f(y)m，则 f(x)=f 1mxm；模型4：若 f(x-y)=mf(x)f(y)，则 f(x)=mf 1mx；【对数函数模型】模型1：若 f(xn)=nf(x)，则 f(x)=f alogax a0且1,x0模型2：若 f(xy)=f(x)+f(y)，则 f(x)=f alogax a0且1,x,y02水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢模型3：若 fxy=f(x)-f(y)，则 f(x)=f alogax a0且1,x,y0模型4：若 f(xy)=f(x)+f(y)+m，则 f(x)=f a+mlogax-m a0且1,x,y0模型5：若 fxy=f(x)-f(y)+m，则 f(x)=f a-mlogax+m a0且1,x,y0【幂函数模型】模型1：若 f(xy)=f(x)f(y)，则 f x=f alogaxa0且1模型2：若 fxy=f(x)f(y)，则 f x=f alogaxa0且1,y0,f y0代入 f a则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则 f(x)=coswx模型2：若 f(x)+f(y)=2fx+y2fx-y2f(x)不恒为0，则 f(x)=coswx【正切函数模型】模型：若 f(xy)=f(x)f(y)1 f(x)f(y)f(x)f(y)1，则 f(x)=tanwx模型3：若 f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则 f(x)=2kcoswx三、复合函数三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。复合函数形式：y=f g x，令：t=g x，则y=f g x转化为y=f t,t=g x其中t叫作中间变量.g x叫作内层函数，y=f t叫作外层函数.2.求复合函数单调性的步骤：确定函数的定义域将复合函数分解成两个基本函数 y=f g x分解成y=f t,t=g x分别确定这两个函数在定义域的单调性再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。y=f(g(x)在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”t=g(x)y=f(t)y=f(g(x)增增增增减减减增减3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型训练-刷真题】一、单选题一、单选题3(2022全国高考真题)已知函数 f(x)的定义域为R R，且 f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则22k=1f(k)=()A.-3B.-2C.0D.14(2022全国高考真题)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为R R，且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k=()A.-21B.-22C.-23D.-24二、多选题二、多选题5(2023全国高考真题)已知函数 f x的定义域为R R，f xy=y2f x+x2f y，则()A.f 0=0B.f 1=0C.f x是偶函数D.x=0为 f x的极小值点6(2022全国高考真题)已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域均为R R，记g(x)=f(x)，若f32-2x，g(2+x)均为偶函数，则()A.f(0)=0B.g-12=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)【题型训练-刷模拟】1.1.抽象函数的性质抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)一、单选题一、单选题1(23-24高三上陕西渭南阶段练习)已知 f x的定义域为 0,2，则函数g x=f x2-1log12x-1的定义域为()A.1,3B.0,2C.1,2D.1,32(23-24高三下陕西西安阶段练习)定义域均为R的函数 f x，g x满足 f x=g x-1，且f x-1=g 2-x，则()4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.f x是奇函数B.f x是偶函数C.g x是奇函数D.g x是偶函数3(2024全国模拟预测)已知不恒为零的函数 f x为定义在R R上的奇函数，且函数 f x-1为偶函数，则 f 2024=()A.-1B.0C.1D.24(2024全国模拟预测)已知定义在R上的函数 f x满足 f x+2=4-f x，且 f x+3-2为奇函数，f 4=5，则2026k=1f k=()A.4047B.4048C.4049D.40505(2024湖南长沙二模)已知定义在R R上的函数 f x是奇函数，对任意xR R都有 f x+1=f 1-x，当 f-3=-2时，则 f 2023等于()A.2B.-2C.0D.-46(23-24高三下陕西安康阶段练习)已知定为域为R R的函数 f x满足：f x-1为偶函数，f x+f 2-x=0，且 f-2=1，则 f 2024+f 2025=()A.0B.1C.2D.37(22-23高二下浙江衢州期末)已知函数 f x定义域为R，对x,yR R，恒有 f x+y+f x-y=2f xf y，则下列说法错误的有()A.f 0=1B.f 2x+1=f-2x-1C.f x+f 00D.若 f 1=12，则 f x周期为68(23-24高三下山东菏泽阶段练习)定义在R上的函数g x满足g x=f x+2x，g x+2为偶函数，函数 f 3x+1的图象关于 0,2对称，则 f 27=()A.-46B.4C.-50D.-49(2024河南三模)设函数 f x的定义域为R R,y=f x-1+1为奇函数，y=f x-2为偶函数，若f 2024=1，则 f-2=()A.1B.-1C.0D.-3二、填空题二、填空题10(2024湖北武汉二模)已知函数 f 2x+1的定义域为-1,1，则函数 f 1-x的定义域为.11(23-24高三下安徽阶段练习)若函数 f x+2为偶函数，y=g x+1-5是奇函数，且 f 2-x+g x=2，则 f 2023=.5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢12(2024宁夏银川一模)若定义在R上的函数 f x满足y=f(x+1)是奇函数，f(4+x)=f(-x)，f(2)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(30)=13(2024河南模拟预测)已知函数 f x的定义域为R R，若 f x-y=f xf y+f 1+xf 1+y，且f 0 f 2，则102n=1f(n)=.2.2.常见抽象函数模型常见抽象函数模型-一次函数、二次函数、反比例函数一次函数、二次函数、反比例函数一、单选题一、单选题1(2023河南新乡一模)已知定义在R R上的函数 f x满足x,yR R，f 2xy-1=f x f y+f y+2x-3，f 0=-1，则不等式 f x3-2x的解集为()A.1,+B.-1,+C.-,1D.-,-12(23-24高三上广东湛江阶段练习)已知函数 f x的定义域为-,0 0,+，且xf x=y+1f y+1，则()A.f x0B.f 1=1C.f x是偶函数D.f x没有极值点3(2024河北模拟预测)已知定义在-,0 0,+上的函数 f x满足 f xy=f-xy+f-yx+1xy，则()A.f x是奇函数且在 0,+上单调递减B.f x是奇函数且在-,0上单调递增C.f x是偶函数且在 0,+上单调递减D.f x是偶函数且在-,0上单调递增4(23-24高一下黑龙江大庆开学考试)已知函数 f x的定义域为R，且 f120，若 f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，则下列结论错误的是()A.f-12=0B.f12=-2C.函数 f x-12是偶函数D.函数 f x+12是减函数5(2024河南三模)已知函数 f x满足：f 13，且x,yR R，f x+y=f x+f y+6xy，则9i=1f i的最小值是()A.135B.395C.855D.9906(2024陕西西安模拟预测)已知函数 f(x)的定义域为R，且满足 f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2,f(1)=2，则下列结论正确的是()6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.f(4)=12B.方程 f(x)=x有解C.f x+12是偶函数D.f x-12是偶函数7(23-24高三上河北保定期末)已知函数 f(x)满足：x，yZ Z，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1成立，且 f(-2)=1，则 f 2nnN N*=()A.4n+6B.8n-1C.4n2+2n-1D.8n2+2n-5二、多选题二、多选题8(23-24高三上云南昆明开学考试)已知函数 f(x)的定义域为R，且 f x-y=f-x+f y-2xy，则()A.f(0)=0B.f(2)=4C.y=f(x)-2x是奇函数D.y=f x-2x2是偶函数9(23-24高三下河南阶段练习)已知非常数函数 f x的定义域为R R，且 f xf y=f xy+xy x+y，则()A.f 0=0B.f 1=-2或 f 1=1C.f xx是 x xR R且x0 上的增函数D.f x是R R上的增函数3.3.常见抽象函数模型常见抽象函数模型-指对幂函数、三角函数指对幂函数、三角函数一、单选题一、单选题1(2023全国模拟预测)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(2x)，当x1,2),f(x)=lnx，若在区间1,4)内，函数g(x)=f(x)-ax(a0)有两个不同零点，则实数a的取值范围是()A.0,ln24B.ln24,12eC.ln24,1eD.ln24,ln22二、多选题二、多选题2(2023海南省直辖县级单位模拟预测)已知函数 f x的定义域为R，值域为 0,+，f x+yf x-y=f y2，则()A.f 0=1B.f 1=1C.f 2x=f x2D.x=1是函数 f x的极小值点3(22-23高一上江苏南京期末)已知函数y=f x，对于任意x,yR，f xf y=f x-y，则()7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.f 0=1B.f x2=2f xC.f x0D.f x+f y2 fx+y24(2023全国模拟预测)已知函数 f x的定义域为R，且 f x+y=f xf y+f x+f y，x0时，f x0，f 2=3，则()A.f 1=1B.函数 f x在区间 0,+单调递增C.函数 f x是奇函数D.函数 f x的一个解析式为 f x=2x-1三、填空题三、填空题5(2023全国模拟预测)已知 f x在(0,+)上是减函数，且 f x+f y=f xy+1对任意的x(0,+)都成立，写出一个满足以上特征的函数 f(x)=.4.4.复合函数的应用复合函数的应用一、单选题一、单选题1(23-24高一上浙江杭州期中)函数 f x=log22xlog24x的值域为()A.RB.-124,+C.-14,+D.-32,+2(2024湖北二模)已知函数 f x=log5ax-2在 1,+上单调递增，则a的取值范围是()A.1,+B.ln2,+C.2,+D.2,+3(23-24高三下甘肃开学考试)函数 f x=2cos4-3x的单调递减区间是()A.-4+2k3,12+2k3kZ ZB.12+2k3,512+2k3kZ ZC.-12+2k3,12+2k3kZ ZD.12+2k3,4+2k3kZ Z4(23-24高三上河北沧州阶段练习)已知函数 f x=ln ax2+2x+1，若 f x的值域为R R，则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,1C.1,+D.0,+5(23-24高三上山东日照阶段练习)已知函数 f(x)=132x2-ax在区间 1,+上单调递减，则a的取值范围是()A.4,+B.4,+C.-,4D.-,46(2024山西吕梁二模)已知函数y=f 4x-x2在区间 1,2上单调递减，则函数 f x的解析式可以为()8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.f x=4x-x2B.f x=2xC.f x=-sinxD.f x=x7(23-24高三上全国阶段练习)已知函数 f x=2-ax+3a,x0，则实数a的取值范围是()A.2,+B.-2,32C.-,-32D.-2,+9(2024全国模拟预测)函数 f x=logax x-a-1在 1,2上单调递增，则实数a的取值范围是()A.2,+B.0,1 2,+C.4,+D.0,1 4,+二、多选题二、多选题10(22-23高一上江苏镇江阶段练习)函数 f(x)=ln e2x+1-x，则正确的有()A.f x的定义域为RB.f(x)的值域为RC.f x是偶函数D.f x在区间 0,+上是增函数11(23-24高一上黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数 f x=log132+x2-x，则下列说法正确的是()A.函数 f x值域为R RB.函数 f x是增函数C.不等式 f 3x-1+f 3x0且 a1在区间32,2上单调递减，则a的取值可以为()A.22B.32C.43D.3三、填空题三、填空题13(2023高三全国专题练习)已知集合A=xNx2 ，B=y|y=e2x-x2,xA ，则ARB=9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢14(22-23高三上北京朝阳阶段练习)函数 f(x)=ln-x2+2x的定义域是，值域是15(23-24高三上安徽亳州阶段练习)若函数 f(x)=7+ax-x2在区间-1,1上单调递减，则实数a的取值范围为.16(22-23高三上上海杨浦阶段练习)已知函数 f x=a-log2x+3,g x=24-x，对于任意的x1-1,1都能找到x2-1,1，使得 f x1=g x2，则实数a的取值范围是.10水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢抽象函数与复合函数的应用抽象函数与复合函数的应用抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)常见抽象函数模型-一次函数、二次函数、反比例函数常见抽象函数模型-指对幂函数、三角函数复合函数的应用一、必备知识整合一、必备知识整合一、抽象函数的性质一、抽象函数的性质1.周期性：f x+a=f xT=a；f x+a=f xT=2a；f x+a=kf xT=2a；(k为常数)；f x+a=f x+bT=ab2.对称性：对称轴：f ax=f a+x或者 f 2ax=f x f x关于x=a对称；对称中心：f ax+f a+x=2b或者 f 2ax+f x=2b f x关于 a,b对称；3.如果 f x同时关于x=a对称，又关于 b,c对称，则 f x的周期T=ab4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题 f x在R上是奇函数，且 f x单调递增 若解不等式 f x1+f x20，则有x1+x20；f x在R上是奇函数，且 f x单调递减 若解不等式 f x1+f x20，则有x1+x2 f x2，则有 x1 x2(不变号加绝对值)；f x在R上是偶函数，且 f x在 0,+单调递减 若解不等式 f x1 f x2，则有 x12b，则有x1+x22a；1水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢f x关于 a,b对称，且 f x单调递减 若解不等式 f x1+f x22b，则有x1+x2 f x2，则有 x1a x2a(不变号加绝对值)；f x关于x=a对称，且 f x在 a,+单调递减 若解不等式 f x1 f x2，则有 x1a0模型2：若 f(x-y)=f(x)f(y)，则 f(x)=f(1)x；f(x)0模型3：若 f(x+y)=f(x)f(y)m，则 f(x)=f 1mxm；模型4：若 f(x-y)=mf(x)f(y)，则 f(x)=mf 1mx；【对数函数模型】模型1：若 f(xn)=nf(x)，则 f(x)=f alogax a0且1,x0模型2：若 f(xy)=f(x)+f(y)，则 f(x)=f alogax a0且1,x,y02水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢模型3：若 fxy=f(x)-f(y)，则 f(x)=f alogax a0且1,x,y0模型4：若 f(xy)=f(x)+f(y)+m，则 f(x)=f a+mlogax-m a0且1,x,y0模型5：若 fxy=f(x)-f(y)+m，则 f(x)=f a-mlogax+m a0且1,x,y0【幂函数模型】模型1：若 f(xy)=f(x)f(y)，则 f x=f alogaxa0且1模型2：若 fxy=f(x)f(y)，则 f x=f alogaxa0且1,y0,f y0代入 f a则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则 f(x)=coswx模型2：若 f(x)+f(y)=2fx+y2fx-y2f(x)不恒为0，则 f(x)=coswx【正切函数模型】模型：若 f(xy)=f(x)f(y)1 f(x)f(y)f(x)f(y)1，则 f(x)=tanwx模型3：若 f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则 f(x)=2kcoswx三、复合函数三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。复合函数形式：y=f g x，令：t=g x，则y=f g x转化为y=f t,t=g x其中t叫作中间变量.g x叫作内层函数，y=f t叫作外层函数.2.求复合函数单调性的步骤：确定函数的定义域将复合函数分解成两个基本函数 y=f g x分解成y=f t,t=g x分别确定这两个函数在定义域的单调性再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。y=f(g(x)在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”t=g(x)y=f(t)y=f(g(x)增增增增减减减增减3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢二、考点分类精讲二、考点分类精讲【题型训练-刷真题】一、单选题一、单选题3(2022全国高考真题)已知函数 f(x)的定义域为R R，且 f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则22k=1f(k)=()A.-3B.-2C.0D.1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 f x的一个周期为6，求出函数一个周期中的 f 1,f 2,f 6的值，即可解出【详解】方法一：赋值加性质因为 f x+y+f x-y=f xf y，令x=1,y=0可得，2f 1=f 1f 0，所以 f 0=2，令x=0可得，f y+f-y=2f y，即 f y=f-y，所以函数 f x为偶函数，令y=1得，f x+1+f x-1=f xf 1=f x，即有 f x+2+f x=f x+1，从而可知 f x+2=-f x-1，f x-1=-f x-4，故 f x+2=f x-4，即 f x=f x+6，所以函数 f x的一个周期为6因为 f 2=f 1-f 0=1-2=-1，f 3=f 2-f 1=-1-1=-2，f 4=f-2=f 2=-1，f 5=f-1=f 1=1，f 6=f 0=2，所以一个周期内的 f 1+f 2+f 6=0由于22除以6余4，所以22k=1f k=f 1+f 2+f 3+f 4=1-1-2-1=-3故选：A方法二：【最优解】构造特殊函数由 f x+y+f x-y=f xf y，联想到余弦函数和差化积公式cos x+y+cos x-y=2cosxcosy，可设 f x=acosx，则由方法一中 f 0=2,f 1=1知a=2,acos=1，解得cos=12，取=3，所以 f x=2cos3x，则f x+y+f x-y=2cos3x+3y+2cos3x-3y=4cos3xcos3y=f xf y，所以 f x=2cos3x符合条件，因此 f(x)的周期T=23=6，f 0=2,f 1=1，且 f 2=-1,f 3=-2,f 4=-1,f 5=1,f 6=2，所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以22k=1f k=f 1+f 2+f 3+f 4=1-1-2-1=-3故选：A【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.4(2022全国高考真题)已知函数 f(x),g(x)的定义域均为R R，且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k=()A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到 f(x)+f(x-2)=-2，从而得到 f 3+f 5+f 21=-10，f 4+f 6+f 22=-10，然后根据条件得到 f(2)的值，再由题意得到g 3=6从而得到 f 1的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g 2-x=g x+2，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因为 f(x)+g(2-x)=5，所以 f(x)+g(x+2)=5，代入得 f(x)+7+f(x-2)=5，即 f(x)+f(x-2)=-2，所以 f 3+f 5+f 21=-25=-10，f 4+f 6+f 22=-25=-10.因为 f(x)+g(2-x)=5，所以 f(0)+g(2)=5，即 f 0=1，所以 f(2)=-2-f 0=-3.因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为 f(x)+g(2-x)=5，联立得，g 2-x+g x+4=12，所以y=g(x)的图像关于点 3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g 3=6因为 f(x)+g(x+2)=5，所以 f 1=5-g 3=-1.所以22k=1f(k)=f 1+f 2+f 3+f 5+f 21+f 4+f 6+f 22=-1-3-10-10=-24.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多选题二、多选题5(2023全国高考真题)已知函数 f x的定义域为R R，f xy=y2f x+x2f y，则()A.f 0=0B.f 1=0C.f x是偶函数D.x=0为 f x的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例 f(x)=0即可排除选项5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 f(x)=x2ln x,x00,x=0 进行判断即可.【详解】方法一：因为 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则 f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则 f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数 f(x)的定义域为R R，所以 f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令 f(x)=0，显然符合题设条件，此时 f(x)无极值，故D错误.方法二：因为 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则 f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则 f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数 f(x)的定义域为R R，所以 f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y20时，对 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x(x0)，则 f(x)=x2ln x,x00,x=0，当x0肘，f(x)=x2lnx，则 fx=2xlnx+x21x=x(2lnx+1)，令 fx0，得0 x0，得xe-12；故 f(x)在 0,e-12上单调递减，在 e-12,+上单调递增，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)在-e-12,0上单调递增，在-,e-12上单调递减，显然，此时x=0是 f(x)的极大值，故D错误.故选：ABC.6(2022全国高考真题)已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域均为R R，记g(x)=f(x)，若6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢f32-2x，g(2+x)均为偶函数，则()A.f(0)=0B.g-12=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】方法一：对称性和周期性的关系研究对于 f(x)，因为 f32-2x为偶函数，所以 f32-2x=f32+2x即 f32-x=f32+x，所以f 3-x=f x，所以 f(x)关于x=32对称，则 f(-1)=f(4)，故C正确；对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)，所以g(x)关于x=2对称，由求导，和g(x)=f(x)，得 f32-x=f32+x-f32-x=f32+x-g32-x=g32+x，所以g 3-x+g x=0，所以g(x)关于32,0对称，因为其定义域为R，所以g32=0，结合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4 2-32=2，所以g-12=g32=0，g-1=g 1=-g 2，故B正确，D错误；若函数 f(x)满足题设条件，则函数 f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定 f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.方法二：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设g x=cos x，则 f x=1sin x+c，显然A，D错误，选BC.故选：BC.方法三：因为 f32-2x，g(2+x)均为偶函数，所以 f32-2x=f32+2x即 f32-x=f32+x，g(2+x)=g(2-x)，所以 f 3-x=f x，g(4-x)=g(x)，则 f(-1)=f(4)，故C正确；函数 f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f(x)，且函数 f(x)可导，所以g32=0,g 3-x=-g x，所以g(4-x)=g(x)=-g 3-x，所以g(x+2)=-g(x+1)=g x，所以g-12=g32=0，g-1=g 1=-g 2，故B正确，D错误；7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢若函数 f(x)满足题设条件，则函数 f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定 f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解【题型训练-刷模拟】1.1.抽象函数的性质抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)一、单选题一、单选题1(23-24高三上陕西渭南阶段练习)已知 f x的定义域为 0,2，则函数g x=f x2-1log12x-1的定义域为()A.1,3B.0,2C.1,2D.1,3【答案】A【分析】根据已知函数定义域、对数、分数的性质列不等式性质求定义域.【详解】由题设0 x2-12log12(x-1)0 x-10，则1x230 x-11，可得1x3，所以函数定义域为 1,3.故选：A2(23-24高三下陕西西安阶段练习)定义域均为R的函数 f x，g x满足 f x=g x-1，且f x-1=g 2-x，则()A.f x是奇函数B.f x是偶函数C.g x是奇函数D.g x是偶函数【答案】D【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原函数的对称关系.【详解】因为 f x-1=g 2-x，所以 f-x+1-1=g 2-x+1，即 f-x=g 1+x=g x+2-1=f x+2，所以 f x关于直线x=1对称，因为 f x=g x-1，8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢所以g x关于x=0对称，即g x为偶函数.故选：D3(2024全国模拟预测)已知不恒为零的函数 f x为定义在R R上的奇函数，且函数 f x-1为偶函数，则 f 2024=()A.-1B.0C.1D.2【答案】B【分析】根据题意得到 f x-2=f-x与 f-x=-f x，进而得到 f x的一个周期为4，从而得解.【详解】由于函数 f x-1为偶函数，则 f x-1=f-x-1，即 f x-2=f-x，又 f x为定义在R R上的奇函数，所以 f 0=0，且 f-x=-f x，所以 f x-2=-f x，则 f x-4=-f x-2=f x，故 f x的一个周期为4，则 f 2024=f 5064+0=f 0=0.故选：B4(2024全国模拟预测)已知定义在R上的函数 f x满足 f x+2=4-f x，且 f x+3-2为奇函数，f 4=5，则2026k=1f k=()A.4047B.4048C.4049D.4050【答案】C【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.【详解】由 f x+2=4-f x可得 f x+4=4-f x+2=4-4-f x=f x，故 f x的一个周期为4，由 f x+3-2为奇函数可得 f 0+3-2=0，得 f 3=2，对于 f x+2=4-f x，令x=1，得 f 1+f 3=4，则 f 1=2，令x=2，得 f 2+f 4=4，又 f 4=5，所以 f 2=-1，则 f 1+f 2+f 3+f 4=8，故2026k=1f k=f 1+f 2+f 3+f 4+f 2026=506 f 1+f 2+f 3+f 4+f 1+f 2=5068+2+-1=4049.故选：C.5(2024湖南长沙二模)已知定义在R R上的函数 f x是奇函数，对任意xR R都有 f x+1=f 1-x，当 f-3=-2时，则 f 2023等于()A.2B.-2C.0D.-4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数 f x的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得 f 20239水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢的值.【详解】定义在R R上的函数 f x是奇函数，且对任意xR R都有 f x+1=f 1-x，故函数 f x的图象关于直线x=1对称，f x=f 2-x，故 f-x=f 2+x=-f x，f x=-f 2+x=f 4+x，f x是周期为4的周期函数则 f 2023=f(5054+3)=f 3=-f-3=2故选：A6(23-24高三下陕西安康阶段练习)已知定为域为R R的函数 f x满足：f x-1为偶函数，f x+f 2-x=0，且 f-2=1，则 f 2024+f 2025=()A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出 f 1以及 f 0，结合函数周期，即可求得答案.【详解】由题意知定为域为R的函数 f x满足：f x-1为偶函数，即 f x-1=f-x-1，即 f x=f-2-x，结合 f x+f 2-x=0，得 f-2-x+f 2-x=0，即 f-2+x+f 2+x=0，故 f x+f x+4=0，即 f x+4=-f x，则 f x+8=-f x+4=f(x)，故8为函数 f x的一个周期，由于 f x+4=-f x，f-2=1，故令x=-2，则 f 2=-f-2=-1，结合 f x+f 2-x=0，令x=2，得 f 2+f 0=0,f 0=1，对于 f x+f 2-x=0，令x=1，则 f 1=0，故 f 2024+f 2025=f 2538+f 2538+1=f(0)+f(1)=1，故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案.7(22-23高二下浙江衢州期末)已知函数 f x定义域为R，对x,yR R，恒有 f x+y+f x-y=2f xf y，则下列说法错误的有()A.f 0=1B.f 2x+1=f-2x-1C.f x+f 00D.若 f 1=12，则 f x周期为6【答案】A【分析】利用赋值法求 f 0判断A；赋值法结合函数奇偶性的定义判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得 f x+1=f x-f x-1，化简得 f x=-f x-3=f x-6，即可判断D.【详解】由 f x+y+f x-y=2f xf y，10水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢令x=0，y=0，有 f 0+f 0=2f 0f 0，可得 f 0=0或1，A错；当 f 0=0时，令y=0，则 f x+f x=2f xf 0=0，f x=0，函数 f x既是奇函数又是偶函数，f 2x+1=f-2x-1，当 f 0=1时，令x=0，则 f y+f-y=2f 0f y，则 f y=f-y，函数 f x是偶函数，f 2x+1=f-2x-1，综上，B正确；令x=y，则 f 2x+f 0=2f2x，故 f 2x+f 00，由于xR R，令t=2x,tR，即 f t+f 00，即有 f x+f 00，C正