基本不等式宣讲市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx
3.4 3.4 基本不等式：基本不等式：学科网第第1 1页页第第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 会标是依据中国古代会标是依据中国古代数学家赵爽弦图设计，数学家赵爽弦图设计，颜色明暗使它看上去像颜色明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民一个风车，代表中国人民热情好客热情好客第第2 2页页 中国古代数学家们不中国古代数学家们不但很早就发觉并应用勾股但很早就发觉并应用勾股定理，而且很早就尝试对定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论证实。最勾股定理作理论证实。最早对勾股定理进行证实，早对勾股定理进行证实，是三国时期是三国时期吴国数学家赵吴国数学家赵爽爽。赵爽创制了一幅。赵爽创制了一幅“勾勾股圆方图股圆方图”，用形数结合，用形数结合得到方法，给出了勾股定得到方法，给出了勾股定理详细证实。理详细证实。赵爽：弦图赵爽：弦图/10/10第第3 3页页1.1.你能在这个图案中找出面积间一些相等关系或不等你能在这个图案中找出面积间一些相等关系或不等关系吗？关系吗？B BA AC CD DE EF FG GH H探究点探究点1 1 探究基本不等式探究基本不等式第第4 4页页B BA AC CD DE EF FG GH H则正方形则正方形ABCDABCD面积面积是是_，这这4 4个直角三角形面积个直角三角形面积之和是之和是_，设设AE=a,BE=b,AE=a,BE=b,a a2 2+b+b2 22ab2ab Z.x.x.K 有可能相等吗？又什有可能相等吗？又什么时候取等于号呢？么时候取等于号呢？第第5 5页页ADBCEFGHba主要不等式：主要不等式：普通地，对于任意实数普通地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab/10/10第第6 6页页普通地，对于任意实数普通地，对于任意实数a a，b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.2.2.你能给出它证实吗？你能给出它证实吗？尤其地，尤其地，我们用我们用,分别代替分别代替可得可得第第7 7页页能够叙述为能够叙述为:两个正数几何平均数小于它们算术平均数两个正数几何平均数小于它们算术平均数.叫做正数叫做正数a a，b b算术平均数，算术平均数，叫做正数叫做正数a a，b b几何平均数几何平均数.基本不等式基本不等式第第8 8页页D DA AB BC CE E如图如图,AB,AB是圆直径，是圆直径，C C是是ABAB上任一点，上任一点，AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB弦弦DEDE，连接，连接AD,BD,AD,BD,则则CD=CD=,半径为半径为.CDCD小于或等于圆半径小于或等于圆半径上述不等式当且仅当点上述不等式当且仅当点C C与圆心重合，即当与圆心重合，即当a=ba=b时，等号成立时，等号成立.几何意义：半径大于半弦几何意义：半径大于半弦o o3 3、几何解释、几何解释a ab b第第9 9页页适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数算术平均数大于两个正数算术平均数大于它们几何平均数它们几何平均数两数平方和大于两数平方和大于它们积它们积2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不一样角度认识基本不等式注意从不一样角度认识基本不等式/10/10第第1010页页结构条件结构条件二二、应用应用例例1、若若 ,求求 最小值最小值.变变3:若若 ,求求 最小值最小值.变变1:若若 求求 最小值最小值变变2:若若 ,求求 最小值最小值.发觉运算结构，应用不等式发觉运算结构，应用不等式问问:在结论成立基础上在结论成立基础上,条件条件“a0,b0”能够改变吗能够改变吗？/10/10第第1111页页三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 最大值最大值.变式变式:已知已知 ,求函数求函数 最大值最大值.发觉运算结构，应用不等式发觉运算结构，应用不等式/10/10第第1212页页均值定理：均值定理：已知已知x,y都是正数，（都是正数，（1）假如积）假如积xy是定值是定值P，那么，那么当当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值 ；（；（2）假如和）假如和x+y是定值是定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值条件说明：条件说明：1、函数式中各项、函数式中各项必须都是正数必须都是正数.2、函数式中含变数各项和或积、函数式中含变数各项和或积必须都是常值（定值）必须都是常值（定值）.3、等号成立条件、等号成立条件必须存在必须存在.“一正二定三等一正二定三等”，这三个条件缺一不，这三个条件缺一不可可./10/10第第1313页页应用基本不等式求最值条件：应用基本不等式求最值条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大（a0，b0）/10/10第第1414页页分析：设矩形菜园长为分析：设矩形菜园长为x mx m，宽为，宽为y my m，面积确定，则面积确定，则xy=100 xy=100，篱笆长为，篱笆长为2 2（x+yx+y）m.m.即求（即求（x+yx+y）最小值）最小值.例例1 1 (1)(1)用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100 m100 m2 2矩形菜园，矩形菜园，问这个矩形长、宽各为多少时，所用篱笆最短问这个矩形长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？最短篱笆是多少？第第1515页页解：设矩形菜园长为解：设矩形菜园长为x mx m，宽为，宽为y my m，则则xy=100 xy=100，篱笆长为，篱笆长为2 2（x+yx+y）m.m.等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立，此时时成立，此时x=y=10.x=y=10.所以，这个矩形长、宽都为所以，这个矩形长、宽都为10 m10 m时，所用篱时，所用篱笆最短，最短篱笆是笆最短，最短篱笆是40 m.40 m.第第1616页页分析：设矩形菜园长为分析：设矩形菜园长为x mx m，宽为，宽为y my m，周长确定，则周长确定，则2 2（x+yx+y）=36=36，篱笆面积为，篱笆面积为xy mxy m2 2.即即求求xyxy最大值最大值.例例1 1 (2)(2)一段长为一段长为36 m36 m篱笆围成一个矩形菜园篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形长、宽各为多少时，菜园面积最大问这个矩形长、宽各为多少时，菜园面积最大.最大面积是多少？最大面积是多少？第第1717页页解：设矩形菜园长为解：设矩形菜园长为x mx m，宽为，宽为y my m，则则 2(x+y)=36,x+y=182(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园面积为矩形菜园面积为xy mxy m2 2.当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立.所以，这个矩形长、宽都为所以，这个矩形长、宽都为9 m9 m时，时，菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81 m81 m2 2.第第1818页页练习练习/10/10第第1919页页课堂巩固课堂巩固第第2020页页4.4.已知已知x0,y0,x0,y0,且且2x+y=1,2x+y=1,求求 最小值？最小值？第第2121页页2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 最大值是最大值是 。高考方向标：高考方向标：1、当、当x0时，时，最小值为最小值为 ，此时，此时x=。21 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 最小值是（最小值是（）A、10 B、C、D、4、在以下函数中，最小值为、在以下函数中，最小值为2是（是（）A、B、C、D、DC/10/10第第2222页页【例例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m3,深为深为3m，假如池底每，假如池底每1m2造价为造价为150元，元，池壁每池壁每1m2造价为造价为120元，问怎样设计水池能使总造价元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数最值，其中用到了均值建立函数关系式，然后求函数最值，其中用到了均值不等式定理。不等式定理。/10/10第第2323页页解：解：设水池底面一边长度为设水池底面一边长度为xm，则水池宽为则水池宽为 ,水池总造价水池总造价为为y元，依据题意，得元，依据题意，得当当时时y有最小值有最小值297600所以将水池地面设计成边长为所以将水池地面设计成边长为40m正方形时总造价正方形时总造价最低，最低造价是最低，最低造价是297600元元/10/10第第2424页页练习：练习：做一个体积为做一个体积为32，高为，高为2m长方体纸盒，底面长长方体纸盒，底面长与宽取什么与宽取什么值时用纸最少？值时用纸最少？xy2/10/10第第2525页页
