线性代数高等代数知识点总结市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

一、知识结构框图一、知识结构框图概念概念计算计算性质性质展开展开证证|A|=0应用应用行列式行列式一、行列式知识概述一、行列式知识概述 第1页概念概念不一样行不一样列元素乘积代数和。不一样行不一样列元素乘积代数和。性质性质经转置行列式值不变；经转置行列式值不变；交换两行行列式变号；交换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式和；拆成行列式和；消法变换。消法变换。第2页展开展开第3页计算计算数字数字型型抽象抽象型型三角化法；三角化法；主要行列式法；主要行列式法；加边法；加边法；递推法。递推法。用行列式性质；用行列式性质；用矩阵性质；用矩阵性质；用特征值；用特征值；利用矩阵相同。利用矩阵相同。【热点热点】注意与矩阵运算相联络一些行列式注意与矩阵运算相联络一些行列式计算及其证实计算及其证实.第4页证证|A|=0AX=0有非零解；有非零解；反证法；反证法；R(A)n;A可逆；可逆；|A|=-|A|；A列向量组线性相关；列向量组线性相关；0是是A特征值；特征值；第5页应用应用AX=0有非零解；有非零解；伴随矩阵求逆法；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则克拉姆法则;A可逆证实；可逆证实；线性相关线性相关(无关无关)判定；判定；特征值计算。特征值计算。第6页二、特殊行列式值二、特殊行列式值 第7页第8页第9页第10页三、相关行列式几个主要公式三、相关行列式几个主要公式1、若、若A是是n阶矩阵，则阶矩阵，则2、若、若A,B是是n阶矩阵，则阶矩阵，则3、若、若A是是n阶矩阵，则阶矩阵，则4、若、若A是是n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则5、若、若A是是n阶矩阵，阶矩阵，是是An个特征值，则个特征值，则6、若、若A与与B相同，则相同，则第11页行列式计算（重点）行列式计算（重点）惯用方法：惯用方法：u三角化法三角化法u展开降阶法（和消元相结合最为有效）展开降阶法（和消元相结合最为有效）u加边法加边法u归纳法归纳法u化为已知行列式（一些有固定形式行列式，化为已知行列式（一些有固定形式行列式，如：三角形、爪型、如：三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式等）行列式等）第12页本章所需掌握题型：本章所需掌握题型：u行列式计算行列式计算（重点）（重点）1、详细阶数行列式计算、详细阶数行列式计算2、较简单、较简单n阶行列式计算阶行列式计算u与行列式定义、性质相关问题与行列式定义、性质相关问题u需利用行列式进行判定问题需利用行列式进行判定问题如：如：1、“Crammer”法则判定方程组解况法则判定方程组解况2、矩阵可逆性、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数向量维数）、向量组相关性（向量个数向量维数）4、两个矩阵相同必要条件、两个矩阵相同必要条件5、矩阵正定、半正定必要条件、矩阵正定、半正定必要条件第13页矩矩阵运算运算行列式行列式初等初等变换和和标准形准形特殊矩特殊矩阵14第14页转置转置取逆取逆伴随伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=k AT(kA)1=k 1A 1(kA)*=kn 1A*乘法(AB)T=BT AT(AB)1=B 1 A 1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1)1=A(A 1)*(A*)1伴随(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当当A可逆可逆时时，A*|A|A 115第15页行列式行列式秩数秩数加法r(A+B)r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A),r(B)转置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A|1伴随|A*|=|A|n 1 n,若若r(A)=n r(A*)=1,若若r(A)=n 1 0,若若r(A)0 p=n A=PTP k0第19页第20页1.错（不满足消去律）2 对 3 错（不满足交换律）4.错（不一定是方阵）5.对6 错（同4）7对8 对9 错（不存在关于加法公式，同理行列式也不存在关于加法公式）10对第21页向量线性关系线性相关线性无关线性表示等价极大无关组秩数22第22页线性表示：列向量组1,.,r可由1,.,s线性表示当且仅当有矩阵C使得(1,.,r)=(1,.,s)C.深入，C第k列恰为k表示系数 线性表示有传递性 被表示者秩数表示者秩数向量组等价：对于向量组S，T，以下条件等价1.S和T等价，即S,T能够相互表示2.S,T极大无关组等价3.S,T秩数相等，且其中之一可由另一表示23第23页线性相关与线性表示：1,.,r线性相关当且仅当其中之一可由其余线性表示若,1,.,r线性相关,而1,.,r线性无关,则可由1,.,r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组1,.,r以下条件等价 1,.,r线性无关 当c1,.,cr不全为0时，必有c11+.+crr0 当c11+.+crr0时，必有c1.cr0 1,.,r秩数等于r(1,.,r)是列满秩矩阵24第24页极大无关组与秩数：1.1,.,rS是S一个极大无关组当且仅当1,.,r线性无关S每个向量都可由1,.,r线性表示2.秩S极大无关组中向量个数3.若秩Sr,则任何r个无关向量都是极大无关组4.矩阵秩数行向量组秩数列向量组秩数25第25页有非零解有非零解判定方程判定方程线性相关性判别线性相关性判别尤其当向量组尤其当向量组“向量个数向量维数向量个数向量维数”时，则有：时，则有：当当向量维数向量维数向量个数向量个数”时，则有向量组必时，则有向量组必线性相关线性相关.第26页u“短短”向量组无关必有向量组无关必有“长长”向量组无关向量组无关u“长长”向量组相关必有向量组相关必有“短短”向量组相关向量组相关u向量组向量组“部分相关部分相关”必有必有“整体相关整体相关”u向量组向量组“整体无关整体无关”必有必有“部分无关部分无关”u“大大”向量组被向量组被“小小”向量组表出，向量组表出，“大大”向量组向量组线性相关线性相关.u“线性无关线性无关”向量组只可能被向量组只可能被“大于大于”它向量组线性它向量组线性表出表出.u任何向量组只可能被任何向量组只可能被“秩大于它秩秩大于它秩”向量组线性表向量组线性表出出.u“等价无关组等价无关组”含有相同含有相同“大、小大、小”通俗记忆通俗记忆第27页求向量组秩、极大无关组，表示方式求向量组秩、极大无关组，表示方式行阶梯行阶梯型矩阵型矩阵一个极大无关组一个极大无关组原向量组一个极大无关组原向量组一个极大无关组第28页第一等价链第一等价链第29页第二等价链第二等价链第30页与初始向量组等价与初始向量组等价第31页正交矩阵正交矩阵定义：定义：正交矩阵性质：正交矩阵性质：第32页线性方程组线性方程组表示方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)mn,x=(xi)n1,b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b,其中i是xi系数列33第33页解判定:1.n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵秩数相等.具体地，当秩A秩(A b)时，方程组无解当秩A秩(A b)n时，方程组有唯一解当秩A秩(A b)n时，方程组有没有穷解2.线性方程组有解常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示系数34第34页解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形写出行最简形对应方程组取每个方程第一个变量为主变量，其余为自由变量，并解出主变量写出参数解或通解35第35页解结构齐次线性方程组Ax=0：解空间：解集合基础解系：解空间基底通解：设1,s是一个基础解系,则通解为=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常数解空间维数未知数个数系数矩阵秩数设秩A=r,则Ax=0任何n-r个无关解都是基础解系36第36页普通线性方程组Ax=b：Axb和Ax=0解关系：Axb两个解之差是Ax=0解Axb解与Ax=0解之和是Ax=b解Ax=b解线性组合是设Sb和S0分别表示Axb和Ax=0解集合，则SbS0+，Sb通解：设1,s是一个基础解系,是Ax=b一个解,则通解为=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常数Ax=0解，当系数和0时；Ax=b解，当系数和1时.37第37页矩阵计算行列式：化三角形；展开+递推求逆矩阵：行变换；伴随求秩数：初等变换；定义38计算第38页方程组计算1.求基础解系：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)已知秩Ar，则任何r个无关解都是基础解系2.求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)3.带参数方程组：先化简，再判定.可先考虑唯一解情形.尤其是有系数行列式时.39第39页向量计算设S：1,.,s是n元向量组(不论行或列)求S秩数：S秩数=它组成矩阵秩数 判断S相关性：设x11+.+xss=0,将其转化成x方程组.若方程组有非零解，则S相关；不然，无关.求S秩数.若秩Ss,则相关；若秩Ss,则无关 线性表示：令=x11+.+xss,将其转化成x方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组解就是表示系数；不然，不可由S表示.40第40页 求极大无关组：若已知秩Sr，则在S中找出r无关向量即可 将S中向量写成列形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形，则S与阶梯矩阵列向量组线性关系一致.41第41页第42页第43页第44页第45页第46页1错（最少有一组，非任意）2对3错（同1）4错（是当且仅当，即只存在唯一一组）5对6对7错（无穷不等于任意）8错（或 ）9对10错（整体无关，部分无关；部分相关，整体相关。反之皆未必）11错（同上）12错（这么不全为0数组不唯一）13错（是最少有一组，不是全部）14错（还要条件：线性无关）15错（同上）16错（比如3行4列矩阵，秩为3 时）17错18错19错20对第47页第48页第49页第50页 学习过程中常见失误学习过程中常见失误1.未必可换 有意义，但 无意义，有意义，均为 阶矩阵，但 第51页2.A2=A A=0 或 A=E AB=0,A 方阵|A|=0 或 B 0 第52页 3.Ax=b 中 求错,原因直接在 Ax=b 中 令自由未知量为 4.求初等变换时,作 参数 可能为零 第53页 5.矩阵与行列式记号混同 等于“”与“”混同.6.7.第54页