物理光学与应用光学(00007)市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性第 4 章 光在各向异性介质中传输特征4.1 晶体光学各向异性晶体光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中传输理想单色平面光波在晶体中传输4.3 平面光波在晶体界面上反射和折射平面光波在晶体界面上反射和折射4.4 晶体光学元件晶体光学元件 4.5 晶体偏光干涉晶体偏光干涉例题例题 第1页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.1 晶体光学各向异性晶体光学各向异性 4.1.1 4.1.1 张量基础知识张量基础知识 1.1.张量概念张量概念 张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联量。比如，矢量p与矢量q相关，则其普通关系应为(4.1-1)pTq第2页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性式中，T是关联p和q二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上式可表示为矩阵形式(4.1-2)式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量T和矢量q。二阶张量有9个分量，每个分量都与一对坐标(按一定次序)相关。(4.1-1)式分量表示式为第3页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(4.1-3)其普通分量形式为(4.1-4)按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为pi=Tijqji,j=1,2,3(4.1-5)由上述讨论能够看出，假如T是张量，则p矢量某坐标分量不但与q矢量同一坐标分量相关，还与其另外两个分量相关。第4页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性假如矢量p与两个矢量u和v相关，则其普通关系式为(4.1-6)分量表示式为pi=Tijkujvk i,j,k=1,2,3(4.1-7)式中，uv为并矢；T为三阶张量，包含27个分量，其矩阵形式为(4.1-8)第5页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性 实际上，一个标量能够看做是一个零阶张量，一个矢量能够看做是一个一阶张量。从分量标识方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。所以，下标数目等于张量阶数。第6页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性 2.2.张量变换张量变换 如上所述，因为张量分量与坐标相关，因而当坐标系发生改变时，张量表示式也将发生改变。假若在原坐标系 中，某张量表示式为Tij，在新坐标系 中，该张量表示式为Tij,则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系坐标变换矩阵为aij时，与 关系为(4.1-9)第7页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性其分量表示形式为i,j,k,l=1,2,3(4.1-10)这就是张量变换定律。假如用张量新坐标分量表示原坐标分量，可经过逆变换得到(4.1-11)假如考虑是矢量，则新坐标系中矢量表示式A与原坐标系中表示式A间矩阵变换关系为(4.1-12)第8页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性其分量变换公式为i,j=1,2,3(4.1-13)第9页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性 3.3.对称张量对称张量 一个二阶张量Tij，假如其Tij=Tji，则称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即可对角化。比如，某一对称张量第10页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性经上述主轴变换后，可表示为最终应指出，张量与矩阵是有区分，张量代表一个物理量，所以在坐标变换时，改变只是表示方式，其物理量本身并不改变，而矩阵则只有数学意义。所以，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区分。第11页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.1.2 晶体介电张量晶体介电张量由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特征参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足以下关系：在此，介电常数=0r是标量，电位移矢量D与电场矢量E方向相同，即D矢量每个分量只与E矢量对应分量线性相关。对于各向异性介质(比如晶体)，D和E间关系为(4.1-15)(4.1-14)第12页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性介电常数 是二阶张量。(4.1-14)式分量形式为i,j=1,2,3(4.1-16)即电位移矢量D每个分量均与电场矢量E各个分量线性相关。在普通情况下，D与E方向不相同。又由光电磁理论，晶体介电张量e是一个对称张量，所以它有六个独立分量。经主轴变换后介电张量是对角张量，只有三个非零对角分量，为(4.1-17)第13页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性11,22,33(或经常表示为e1、e2、e3)称为主介电系数。由麦克斯韦关系式还能够对应地定义三个主折射率n1,n2,n3。在主轴坐标系中，(4.1-16)式可表示为(4.1-19)(4.1-18)第14页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性深入，由固体物理学知道，不一样晶体结构含有不一样空间对称性，自然界中存在晶体按其空间对称性不一样，分为七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、正方晶系、单斜晶系、三斜晶系。因为它们对称性不一样，所以在主轴坐标系中介电张量独立分量数目不一样，各晶系介电张量矩阵形式如表4-1所表示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主相对介电系数123,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主相对介电系数1=23,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性，其主相对介电系数1=2=3。第15页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性表表 4-1 各晶系介电张量矩阵各晶系介电张量矩阵 第16页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.2 理想单色平面光波在晶体中传输理想单色平面光波在晶体中传输 4.2.1 4.2.1 光在晶体中传输特征解析法描述光在晶体中传输特征解析法描述 依据光电磁理论，光在晶体中传输特征依然由麦克斯韦方程组描述。1.1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 在均匀、不导电、非磁性各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为(4.2-1)(4.2-2)第17页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(4.2-3)(4.2-4)物质方程为(4.2-5)(4.2-6)为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中传输特征。这么处理，可不考虑介质色散特征，同时，对于任意复杂光波，因为光场能够经过傅里叶变换分解为许多不一样频率单色平面光波叠加，所以也不失其普遍性。第18页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性2.光波在晶体中传输特征普通描述光波在晶体中传输特征普通描述1)单色平面光波在晶体中传输特征(1)晶体中光电磁波结构设晶体中传输单色平面光波为式中，是真空中光速;k是波法线方向单位矢量；c/n=v，是介质中单色平面光波相速度。对于这么一个光波，在进行公式运算时，能够以-i代替 ，以(in/c)k代换算符。经过运算，(4.2-1)(4.2-4)式变为(4.2-7)第19页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(4.2-8)(4.2-9)(4.2-10)(4.2-11)由这些关系式能够看出：D垂直于H和k，H垂直于E和k，所以H垂直于E、D、k，所以，E、D、k在垂直于H同一平面内。而且，在普通情况下，D和E不在同一方向上。第20页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性由能流密度定义S=EH可见，H垂直于E和s(能流方向上单位矢量)，故E、D、s、k同在一个平面上，而且在普通情况下，s和k方向不一样，其间夹角与E和D之间夹角相同(图4-1)。由此，我们能够得到一个主要结论：在晶体中，光能量传输方向通常与光波法线方向不一样。(2)能量密度依据电磁能量密度公式及(4.2-8)式、(4.2-9)式，有(4.2-12)(4.2-13)第21页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-1平面光波电磁结构第22页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性于是，总电磁能量密度为(4.2-15)对于各向同性介质，因s与k同方向，所以有(4.2-14)(4.2-16)第23页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(3)相速度和光线速度相速度vp是光波等相位面传输速度，其表示式为(4.2-17)光线速度vr是单色光波能量传输速度，其方向为能流密度(玻印廷矢量)方向s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上一个单位面积能量除以能量密度，即(4.2-18)由(4.2-15)(4.2-18)式能够得到(4.2-19)即如图4-2所表示，单色平面光波相速度是其光线速度在波阵面法线方向上投影。第24页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-2vp与vr关系(AB表示波阵面)第25页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性2)光波在晶体中传输特征描述(1)晶体光学基本方程由麦克斯韦方程组出发，将(4.2-8)和(4.2-9)式H消去，能够得到再利用矢量恒等式A(BC)=B(AC)-C(AB)变换为D=0n2E-k(kE)(4.2-20)第26页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性式中，方括号E-k(kE)所表示量实际上是E在垂直于k(即平行于D)方向上分量，记为E(图4-3)。由此，(4.2-20)式能够写成D=0n2E我们还能够将(4.2-20)式、(4.2-21)式写成以下所述另外一个形式。因为E=Ecos所以(4.2-22)(4.2-23)(4.2-21)第27页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-3E和D定义第28页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性依据折射率定义能够在形式上定义“光线折射率”(或射线折射率、能流折射率)nr:(4.2-25)由此可将(4.2-23)式表示为(4.2-26)(4.2-27)(4.2-24)或第29页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(2)菲涅耳方程为了考查晶体光学特征，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为Di=0iEii=1,2,3波法线菲涅耳方程(波法线方程)。将基本方程(4.2-20)式写成份量形式Di=0n2Ei-ki(kE)i=1,2,3(4.2-29)并代入Dii关系，经过整理可得(4.2-30)(4.2-28)第30页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性因为Dk=0，因而有将(4.2-30)式代入后，得到(4.2-31)该式描述了在晶体中传输光波法线方向k与对应折射率n和晶体光学参量(主介电张量)e 之间关系。第31页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(4.2-31)式还可表示为另外一个形式。依据vp=c/n，能够定义三个描述晶体光学性质主速度：它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向x1，x2，x3相速度。由此可将(4.2-31)式变换为(4.2-33)(4.2-32)第32页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性在由(4.2-31)、(4.2-33)式得到与每一个波法线方向k对应折射率或相速度后，为了确定与波法线方向k对应光波D和E振动方向，可将(4.2-30)式展开(4.2-34)将由(4.2-31)式解出两个折射率值n和n分别代入(4.2-34)式，即可求出对应两组比值和，从而能够确定出与n和n分别对应E和E方向。再由物质方程分量关系求出对应两组比值和，从而能够确定出与n和n分别对应D和D方向。因为对应于E、E及D、D比值均为实数，所以E和D都是线偏振。第33页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性进而能够证实，对应于每一个波法线方向k两个独立折射率n和n电位移矢量D和D相互垂直。证实过程以下：利用(4.2-30)式，建立D和D标量积：第34页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性第35页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性因为(n)2和(n)2都是(4.2-31)式解，所以上式方括号中第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。所以，DD=0由此，能够得到晶体光学性质又一主要结论：普通情况下，对应于晶体中每一给定波法线方向k，只允许有两个特定振动方向线偏振光传输，它们D矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，含有不一样折射率或相速度。因为E、D、s、k四矢量共面，因而这两个线偏振光有不一样光线方向(s和s)和光线速度(vr 和vr)。通常称这两个线偏振光为对应于给定k方向两个能够传输本征模式，其方向关系如图4-4所表示。(4.2-35)第36页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-4与给定k对应D、E和s 第37页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性光线菲涅耳方程(光线方程)。上面讨论波法线菲涅耳方程确定了在给定某个波法线方向k上，特许两个线偏振光(本征模式)折射率(或相速度)和偏振态。类似地，也能够得到确定对应于光线方向为s两个特许线偏振光光线速度和偏振态方程光线菲涅耳方程(射线菲涅耳方程、光线方程)。该方程是由(4.2-27)式出发推导出，推导过程从略，下面只给出详细结果：(4.2-36)第38页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性或(4.2-37)(4.2-36)式和(4.2-37)式描述了在晶体中传输光线方向s与对应光线折射率nr、光线速度vr和晶体光学参量e、主速度v1、v2、v3之间关系。类似前面讨论能够得出以下结论：在给定晶体中，对应于每一个光线方向s，只允许有两个特定振动方向线偏振光(两个本征模式)传输，这两个光E矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，而且，在普通情况下，有不一样光线速度、不一样波法线方向和不一样折射率。第39页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性最终，注意到(4.2-20)式和(4.2-27)式在形式上相同性，能够得到以下两行对应变量：(4.2-38)假如任何一个关系式在(4.2-38)式关系中某一行诸量成立，则将该关系式中各量用(4.2-38)式对应关系中另一行对应量代替，就能够得到对应另一个有效关系式。应用这一规则，(4.2-36)式和(4.2-37)式分别能够由(4.2-31)式和(4.2-33)式直接经过变量代换得出。而且，不论是依据波法线方程(4.2-31)式、(4.2-33)式，还是依据光线方程(4.2-36)式、(4.2-37)式，都能够一样地完成光在晶体中传输规律研究。第40页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性3.光在几类特殊晶体中传输规律光在几类特殊晶体中传输规律上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中传输各向异性特征，并未包括详细晶体光学性质。下面，结合几类特殊晶体详细光学特征，从晶体光学基本方程出发，讨论光波在其中传输详细规律。1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体主介电系数1=2=3=n02。依据前面讨论相关确定晶体中光波传输特征思绪，将波法线菲涅耳方程(4.2-31)式通分、整理,得到第41页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性代入1=2=3=n20，并注意到k21+k22+k23=1，该式简化为(4.2-39)由此得到重根n=n=n0。这就是说，在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传输光波折射率都等于主折射率n0，或者说，光波折射率与传输方向无关。深入，把n=n=n0结果代入(4.2-34)式，能够得到三个完全相同关系式k1E1+k2E2+k3E3=0(4.2-40)第42页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性此式即为kE=0。它表明，光电场矢量E与波法线方向垂直。所以，E平行于D，s平行于k。所以，在各向同性介质或立方晶体中传输光波电场结构如图4-5所表示。因为(4.2-40)式只限定了E垂直于k，而对E方向没有约束，因而在各向同性介质或立方晶体中沿任意方向传输光波，允许有两个传输速度相同线性不相关偏振态(二偏振方向正交)，对应振动方向不受限制，并不局限于某一特定方向上。第43页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-5各向同性介质中D,E,k,s关系第44页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性2)单轴晶体单轴晶体主相对介电系数为(4.2-41)其中，neno晶体，称为正单轴晶体；neno时，称为负单轴晶体。(1)两种特许线偏振光波(本征模式)为讨论方便起见，取k在x2Ox3平面内，并与x3轴夹角为，则k1=0,k2=sin,k3=cos(4.2-42)第45页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性将(4.2-41)式和(4.2-42)式关系代入(4.2-31)式，得到即(4.2-43)该方程有两个解(4.2-44)(4.2-45)第46页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性第一个解n与光传输方向无关，与之对应光波称为寻常光波(正常光波)，简称o光。第二个解n与光传输方向相关，随改变，对应光波称为异常光波(非寻常光波、非常光波)，简称e光。对于e光，当=/2时，n=ne;当=0时，n=no。可见，当k与x3轴方向一致时，光传输特征如同在各向同性介质中一样，n=n=no，并所以把x3轴这个特殊方向称为光轴。因为在这种晶体中只有x3轴一个方向是光轴，所以称之为单轴晶体。第47页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性下面确定两种光波偏振态。寻常光波。将n=n=no及k1=0,k2=sin,k3=cos代入(4.2-34)式，得到(4.2-46)第一式中，因系数为零，所以E1有非零解；第二、三式中，因系数行列式不等于零，所以是一对不相容齐次方程，此时，只可能是E2=E3=0。所以，o光E平行于x1轴，有E=E1i。对于一般k方向，o光E垂直于k与光轴(x3)所决定平面。又因为D=on2oE，所以o光D矢量与E矢量平行。第48页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性异常光波。将n=n及k1=0，k2=sin，k3=cos代入(4.2-34)式，得到(4.2-47)在第一式中，因系数不为零，只可能是E1=0；在第二、三式中，因系数行列式等于零，E2和E3有非零解。可见，e光E矢量位于x2Ox3平面内。对于普通k方向，e光E矢量位于k矢量与光轴(x3)所确定平面内。同时，因为D1=01E1=0，因而D矢量也在x2Ox3平面内，但不与E矢量平行。另外，e光s矢量、k矢量和光轴共面，但s与k不平行。仅当=/2时，E2=0,E矢量与光轴平行，此时，DE,ks，对应折射率为ne。第49页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性总而言之，在单轴晶体中，存在两种特许偏振方向光波(本征模式)：o光和e光。对应于某一波法线方向k有两条光线：o光光线so和e光光线se，如图4-6所表示。这两种光波E矢量(和D矢量)彼此垂直。对于o光，E矢量和D矢量总是平行，而且垂直于波法线k与光轴所确定平面；折射率不依赖于k方向；光线方向so与波法线方向重合。这种特征与光在各向同性介质中传输特征一样，所以称为寻常光波。对于e光，其折射率随k矢量方向改变；E矢量与D矢量普通不平行，而且都在波法线k与光轴所确定平面内，它们与光轴夹角伴随k方向改变；折射率随k矢量方向改变；光线方向se与波法线方向不重合。这种特征与光在各向同性介质中传输特征不一样，所以称为异常光波或非常光波。第50页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-6单轴晶体中o光和e光第51页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(2)e光波法线方向和光线方向由上分析已知，单轴晶体中e光波法线方向与光线方向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，对于晶体光学元件制作和许多应用非常主要。所以，下面对该角度问题进行较详细讨论。由光电磁理论，对应于同一e光光波E,D,s,k均在垂直于H同一平面内。若取图4-6中x3轴为光轴，E,D,s,k均在主截面x2Ox3平面内，k与x3轴夹角为,s与z轴夹角为j，且所取坐标系为单轴晶体主轴坐标系，则有第52页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性因而有(4.2-49)依据图4-6中几何关系，有(4.2-50)(4.2-48)第53页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性将(4.2-49)式中两个式子相除，并利用(4.2-50)式，可得(4.2-51)深入，依据离散角定义，应有以下关系：(4.2-52)将(4.2-51)式代入，整理可得(4.2-53)第54页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性由该式可见：当=0或90，即光波法线方向k平行或垂直于光轴时，=0。这时，s与k、E与D方向重合。no,0，e光光线较其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，neno,0，e光光线较其波法线远离光轴。能够证实，当k与光轴间夹角满足(4.2-54)时，有最大离散角(4.2-55)第55页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性证实以下：将=-j对求导，可得由(4.2-51)式，有第56页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性为得到最大离散角M，应令d/d=0，即由此得到下面方程：求解该方程可得：将该式代入(4.2-51)式，并由(4.2-52)式求出最大离散角为第57页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性在实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散角情况下，同时满足正入射条件，这就应该如图4-7所表示，使通光面(晶面)与光轴夹角=90满足(4.2-56)第58页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图47实际晶体元件方向第59页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性3)双轴晶体双轴晶体三个主相对介电系数都不相等，即123,因而n1n2n3。通常主相对介电系数按12no，则称为正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了旋转椭球；若neno，则称为负单轴晶体(如方解石晶体)，折射率椭球是沿着x3轴压扁了旋转椭球。第84页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性设晶体内一平面光波k与x3轴夹角为，则过椭球中心作垂直于k平面(k)与椭球交线必定是一个椭圆(图4-13)。其截线方程可用下述方法得到：因为旋转椭球x1(x2)轴任意性，能够假设(k，x3)面为x2Ox3平面。若建立新坐标系O-x1x2x3，使x3轴与k重合，x1轴与x1轴重合，则x2轴在x2Ox3平面内。这时，(k)截面即为x1Ox2面，其方程为(4.2-78)新旧坐标系变换关系为(图4-14)第85页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-13单轴晶体折射率椭球作图法第86页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-14两个坐标系关系第87页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性将上面关系代入(4.2-77)式，再与(4.2-78)式联立，就有经过整理，可得出截线方程为(4.2-79)其中(4.2-80)第88页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性或表示为(4.2-81)第89页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性下面讨论两种特殊情况：=0时，k与x3轴重合，这时，ne=no，中心截面与椭球截线方程为这是一个半径为no圆。可见，沿x3轴方向传输光波折射率为no，D矢量振动方向除与x3轴垂直外，没有其它约束，即沿x3轴方向传输光能够允许任意偏振方向，且折射率均为no，故x3轴为光轴。因为这类晶体只有一个光轴，所以称为单轴晶体。(4.2-82)第90页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性=/2时，k与x3轴垂直，这时，ne=ne,e光D与x3轴平行。中心截面与椭球截线方程为(4.2-83)因为折射率椭球是旋转椭球，x1、x2坐标轴可任意选取，所以包含x3轴中心截面都可选作x3Ox1平面(或x3Ox2平面)。对于正单轴晶体，e光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e光有最小折射率。利用图4-12所表示几何作图法，能够得到DE,ks。第91页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(3)双轴晶体双轴晶体中光轴。对于双轴晶体，介电张量三个主介电系数不相等，即123，因而n1n2n3，所以折射率椭球方程为(4.2-84)若约定n1n2n3，则折射率椭球与x1Ox3平面交线是椭圆(图4-15)，它方程为(4.2-85)第92页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-15双轴晶体折射率椭球在x1Ox3面上截线第93页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性式中，n1和n3分别是最短、最长主半轴。若椭圆上任意一点矢径r与x1轴夹角为，长度为n，则(4.2-85)式能够写成或(4.2-86)n大小伴随在n1和n3之间改变。因为n1n2no，球面内切于椭球；对于负单轴晶体，neno，球面外切于椭球。两种情况切点均在x3轴上，故x3轴为光轴。当与x3轴夹角为波法线方向k与折射率曲面相交时，得到长度为no和ne()矢径，它们分别是对应于k方向两个特许线偏振光折射率，其中ne()可由(4.2-98)式求出：第112页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-20单轴晶体折射率曲面(a)正单轴晶体；(b)负单轴晶体第113页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性对于双轴晶体，n1n2n3,(4.2-95)式所表示四次曲面在三个主轴截面上截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们方程分别是：x2Ox3面x3Ox1面x1Ox2面(4.2-100)(4.2-99)第114页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性按约定，n1n2n3，则三个主轴截面上截线能够表示如图4-21所表示。折射率曲面两个壳层仅有四个交点，就是x3Ox1截面上四个交点，在三维示意图中能够看出四个“脐窝”。第115页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-21双轴晶体折射率曲面在三个主轴截面上截线第116页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-22双轴晶体折射率曲面在第一卦限中示意图第117页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性依据光轴方向为二特许线偏振光折射率相等k方向定义，双轴晶体光轴在x3Ox1面内，如图4-21所表示，是两个壳层交点与原点连线OA和OA方向。能够证实，折射率曲面在任一矢径末端处法线方向，即与该矢径所代表波法线方向k对应光线方向s。应注意，折射率曲面即使能够将任一给定k方向所对应两个折射率直接表示出来，但它表示不出对应两个光偏振方向。所以，与折射率椭球相比，折射率曲面对于光在界面上折射、反射问题讨论比较方便，而折射率椭球用于处理偏振效应问题比较方便。对于折射率曲面，假如将其矢径长度乘以/c，则组成一个新曲面矢径r=(nc)k，这个曲面称为波矢曲面，通常记为(k,k)曲面。第118页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性3.菲涅耳椭球菲涅耳椭球上面讨论折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方向k而言。因为晶体中k与s可能分离，而在有些应用中给定是s方向，因而利用相对s而言曲面讨论光传输规律比较方便。菲涅耳椭球就是相对光线方向s引入几何曲面。由折射率椭球方程(4.2-65)出发，利用(4.2-38)式矢量对应关系，可得(4.2-101)第119页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性式中，vr1、vr2、vr3表示三个主轴方向上光线主速度。这个方程就是用来描述光在晶体中传输特征菲涅耳椭球。在描述光传输特征时，它与折射率椭球作图方法完全相同，只是以光线方向s取代波法线方向k。对于任一给定光线方向s，过菲涅耳椭球中心作垂直于s平面，它与菲涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆长、短轴方向表示与s方向对应二特许线偏振光电场强度E振动方向，半轴长度表示该二光光线速度。假如把长、短半轴矢径记作ra(s)和rb(s)，则第120页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性(4.2-102)(4.2-103)(4.2-103)式中，e表示与光线方向s对应E矢量振动方向上单位矢量。菲涅耳椭球可记为(e,vr)曲面。第121页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.射线曲面射线曲面射线曲面是和折射率曲面相对应几何图形，它描述与晶体中光线方向s对应两个光线速度分布。射线曲面上矢径方向平行于给定s方向，矢径长度等于对应两个光线速度vr，所以可简记为(s,vr)曲面。实际上，射线曲面就是在晶体中完全包住一个单色点光源波面。射线曲面在主轴坐标系中极坐标方程就是(4.2-37)式，现重写以下：(4.2-104)第122页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性在形式上，它与折射率曲面方程(4.2-94)式相仿，所以曲面形状相同，也是一个双壳层曲面。不过因为波速与折射率成反比，两壳层里外次序与折射率曲面恰好相反。图4-23表示是单轴晶体射线曲面，图4-24表示是双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上截线，图4-25为双轴晶体射线曲面在第一卦限中示意图。第123页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-23单轴晶体射线曲面(a)正单轴晶体；(b)负单轴晶体第124页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图424双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上截线第125页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-25双轴晶体射线曲面在第一卦限中示意图第126页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性至此，我们介绍了四种描述晶体光学性质几何图形：折射率椭球(d,n)曲面；折射率曲面(k,n)曲面，菲涅耳椭球(e,vr)曲面；射线曲面(s,vr)曲面。实质上，这几个曲面作用完全等效，只是某种场所应用其中某一个曲面处理问题较为方便而已。第127页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.3 平面光波在晶体界面上反射和折射平面光波在晶体界面上反射和折射 4.3.1 光在晶体界面上双反射和双折射光在晶体界面上双反射和双折射众所周知，一束单色光入射到各向同性介质界面上时，将分别产生一束反射光和一束折射光，而且遵从熟知反射定律(1.2-7)式)和折射定律(1.2-8)式)。人们在试验中发觉，一束单色光从空气入射到晶体表面(比如方解石晶体)上时，会产生束同频率折射光(图4-26)，这就是双折射现象；当一束单色光从晶体内部(比如方解石晶体)射向界面上时，会产生两束同频率反射光(图4-27)，这就是双反射现象。而且，在界面上所产生两束折射光或两束反射光都是线偏振光，它们振动方向相互垂直。显然，这种双折射和双反射现象都是晶体中光学各向异性特征直接结果。第128页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-26方解石晶体双折射现象第129页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-27方解石晶体中双反射现象第130页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性假设一束单色平面光波自空气射向晶体，ki、kr、kt分别为入射光、反射光、折射光波矢，则由光电磁场理论可得(4.3-1)(4.3-2)(4.3-1)式是反射定律矢量形式，可表述为：反射光与入射光波矢差与界面垂直。(4.3-2)式是折射定律矢量形式，可表述为：折射光与入射光波矢差与界面垂直。由该二式可见，ki、kr、kt和界面法线共面，或者说，反射光和折射光波法线都在入射面内。第131页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性若设i、r、t分别为入射角、反射角、折射角，则有kisini=krsinr=ktsint(4.3-3)或 nisini=nrsinr(4.3-4)nisini=ntsint(4.3-5)(4.3-4)式和(4.3-5)式就是光在晶体界面上反射定律和折射定律。在形式上，它们与各向同性介质反射、折射定律相同，不过，第132页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性式中i、r、t都是对波法线方向而言，尽管反射光、折射光波法线均在入射面内，但它们光线有可能不在入射面内。在晶体中，光折射率因传输方向、电场振动方向而异。假如光从空气射至晶体，则因折射光折射率nt不一样，其折射角t也不一样；假如光从晶体内部射出，对应入射光和反射光折射率ni和nr不相等，所以在普通情况下入射角不等于反射角。因为双折射和双反射现象存在，满足(4.3-4)式nr和r以及满足(4.3-5)式nt和t都有两个可能值。第133页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向几何作图法描述光在晶体界面上反射和折射方向几何作图法描述 1.惠更斯作图法惠更斯作图法惠更斯作图法是利用射线曲面(即波面)确定反射光、折射光方向几何作图法。对于各向同性介质，惠更斯原理曾以次波包迹是新波阵面观点，说明了光波由一个介质进入另一个介质时为何会折射，并经过作图法利用次波面单层球面特征，确定了次波包迹波阵面，从而确定了折射光传输方向。第134页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性对于各向异性介质(晶体)，情况就复杂多了。由上一节讨论已知，晶体空间对于光传输来说，是一个偏振化空间，一束入射光不论其偏振性质怎样，它一进入晶体，就要按晶体所要求方式分成取向不一样两种特许线偏振态，而且这两种振动所产生次波沿任一方向都以不一样速度传输。所以，在晶体界面上次波源向晶体内发射次波波面是双壳层曲面，每一壳层对应一个振动方式，这就是上节介绍射线曲面。这么，对于两种不一样振动方式次波包迹，就是各自波阵面，它们按不一样方向传输，从而形成两束折射光。第135页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性下面以单轴晶体为例，说明惠更斯作图法。假设有一束平行光由各向同性介质(n1)斜入射到正单轴晶体表面上，晶体光轴为普通取向，即光轴与入射面不平行，也不垂直。当入射波波面上B抵达A点时，A点发出次波波面如图4-28所表示，其中半径为AR=v1球面是在入射介质(各向同性)中波面，晶体中o光波面是半径为AR0=vo球面，这两个球面与入射面截线都是圆。因为晶体光轴为普通取向，所以晶体中e光波面与入射面截线是一个如图所表示椭圆，但它并不以入射面(图平面)为对称面，其一个半轴长为vo，另一个半轴长介于vo和ve之间。第136页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-28惠更斯作图法第137页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性将SA延长与入射光波面相交于R，过R作切平面AR，它就是入射光次波面包迹入射光波波阵面。因为入射介质是各向同性介质，所以入射光光线方向和波法线方向均为AR方向。在晶体中，折射光方向能够经过A向折射光波面作切平面确定：过A作o光波面切平面A0，R0为切点，该平面就是寻常折射光波阵面，AR0方向是寻常折射光能流(光线)方向。因为o光波面是球面，所以AR0垂直于A0切平面，而且AR0在入射面内，所以，它既是寻常折射光光线方向，又是其波法线方向；过A作e光波面切平面A，它就是非常折射光波阵面。因为在普通情况下，e光波面与A面切点不在图面内，所以非常光线普通不在入射面上，但过A作A面法线AN却在图面上，AN就是非常折射光波法线方向。第138页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性由上述惠更斯原理和惠更斯作图法说明了单轴单体中两个折射光性质：o光折射光波法线方向与光线方向一致，并在入射面内；e光折射光波法线方向在入射面内，但e光光线方向普通不在入射面内。在使用惠更斯原理和惠更斯作图法说明晶体中折射光方向时，有两种很有实际意义双折射现象：图4-29(a)表示晶体表面垂直于光轴方向切割，光线沿光轴方向传输，不发生双折射现象；图4-29(b)和(c)表示晶体表面平行于光轴方向切割，当光线垂直表面入射时，折射光方向也只有一个，但沿该方向传输o光和e光速度不一样，所以经过晶片后，它们之间将产生一定相位差。利用这种晶片制作光学元件，在光电子技术中有主要用途。第139页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-29正入射时晶体中折射现象(负单轴晶体)第140页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性2.斯涅耳作图法斯涅耳作图法利用折射率曲面也能够确定与入射光对应反射光、折射光传输方向。但为了简明起见，通常是采取波矢曲面进行。斯涅耳作图法就是利用波矢曲面确定反射光、折射光传输方向几何作图法。图4-30给出了以界面上任一点A为原点，在晶体一侧按同一百分比画出入射光所在介质中波矢面和晶体中波矢面(双壳层曲面)。自A点引一直线平行于入射光波法线方向，与入射光所在介质波矢面交于Ni，该ANi即为入射光波ki。以Ni点作面垂线交晶体中波矢面于Nt和Nt,ANt和ANt就是与入射光ki对应两个折射光波矢kt和kt。每一个折射光对应着一个光线方向和一个光线速度，这就是双折射现象。第141页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性图4-30斯涅耳作图第142页第 4 章 光在各向异性介质中的传播特性对于晶体内部双反射现象，能够类似处理：以界面上任一点为原点
