河南金科新未来2024年高二下学期期末质检数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 金科金科新未来新未来 20232024 学年度下学期期末质量检测学年度下学期期末质量检测 高二数学高二数学 全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1、答题前，先将、答题前，先将自己自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。的指定位置。2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。题区域均无效。3、选择题用、选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。作答；字体工整，笔迹清楚。4考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知等差数列 na满足3616aa+=，且534aa=，则首项1a=（）A1 B0 C1 D3 2已知曲线()ln2fxaxx=+在点()()1,1f处的切线方程是2yxb=+，则b=（）A3 B2 C1 D-1 3在各项为正的等比数列 na中，8a与10a的等比中项为 2，则26212loglogaa+=（）A4 B3 C1 D2 4函数()()321303fxxxx x=的最大值是（）A53 B0 C2 D3 5 已知双曲线2222:1xyCab=的一条渐近线与圆22:(10)25Exy+=相交于,A B两点，且8AB=，则双曲线C的离心率为（）A2 B3 C5 D10 6若函数()22exfxax=在区间()2,1上单调递减，则a的取值范围是（）A)2e,+B41,2e+C21,e D21,0e 7已知*211,212nnnabnnn=+N，数列 na与数列 nb的公共项按从大到小的顺序排列组成一个 学科网（北京）股份有限公司 新数列 nc，则数列 nc的前 99 项和为（）A12 B99199 C99197 D198199 8在平面坐标系xOy中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动 6 次后所在坐标为()2,0，则该质点移动的方法总数为（）A120 B135 C210 D225 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知等差数列 na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项积为nT，则（）Annab+不可能为等比数列 Bnna b可能为等差数列 CnSn是等差数列 D2nnT是等比数列 10已知抛物线2:4C yx=的焦点为F，准线为l，点P是C上位于第一象限的动点，点M为l与x轴的交点，则下列说法正确的是（）AF到直线l的距离为 2 B以P为圆心PF为半径的圆与l相切 C直线MP斜率的最大值为 2 D若FMFP=，则FMP的面积为 2 11已知函数()()e,lnxfxx g xxx=，则下列说法正确的是（）A()exg在()0,+上是增函数 B1x，不等式()()2lnf axfx恒成立，则正实数a的最小值为2e C若()fxt=有两个零点12,x x，则120 xx+D若()()12(2)fxg xt t=，且210 xx，则21lntxx的最大值为1e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知变量x和y的统计数据如下表：x 1 2 3 4 5 y 1.5 2 m 4 4.5 若由表中数据得到经验回归直线方程为0.80.6xy=+，则m=_ 学科网（北京）股份有限公司 13已知函数()2exfxax=，若()fx的图象经过第一象限，则实数a的取值范围是_ 14不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出 2 个球（不放回），学生乙在剩下的 3 个球中随机取一个，已知甲至少取走了 1 个黑球，则乙取出白球的概率为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15（本小题满分 13 分）已知数列 na是公差不为零的等差数列，111a=，且256,a a a成等比数列（1）求 na的通项公式；（2）设nS为 na的前n项和，求nS的最小值 16（本小题满分 15 分）如图，在三棱锥PABC中，AB 平面,PAC E F分别为,BC PC的中点，且22PAACAB=（1）证明：PC 平面ABF；（2）若ACPA，求平面AEF与平面PAC的夹角的余弦值 17（本小题满分 15 分）某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复已知食堂今天供应套餐甲，（1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量X表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X的分布列与期望 18（本小题满分 17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，离心率为22，过F的直线交C于,A B两点，O为坐标原点，当ABOF时，2AB=（1）求C的方程；（2）过F的另一条直线交C于,D E两点，设直线AB的斜率为()110kk，直线DE的斜率为2k，若122kk=，求ABDE的最大值 19（本小题满分 17 分）已知函数()()()e1,ln1xfxg xx=+学科网（北京）股份有限公司（1）若()()fxkg x在()0,+上恒成立，求k的取值范围；（2）设()()111,0A x yx 为()yfx=图象上一点，()()222,0B xyx 为()yg x=图象上一点，O为坐标原点，若AOB为锐角，证明：221xx 学科网（北京）股份有限公司 金科金科新未来新未来 20232024 学年度下学期期末质量检学年度下学期期末质量检高二数学高二数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D A D B B D BC ABD ABD 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1【答案】C【解析】设等差数列 na的公差为d，因为3616aa+=，且534aa=，所以36153271624aaadaad+=+=，所以112ad=故选 C 2【答案】A【解 析】函 数()ln2fxaxx=+，求 导 得()1fxax=+，依 题 意，()112fa+=，得()1,lnafxxx=+2，显然()11f=，因此12b=+，所以3b=故选 A 3【答案】D【解 析】因 为8a与10a的 等 比 中 项 为2，所 以281024a a=，所 以()()26212261228102logloglogloglog 42aaaaaa+=故选 D 4【答案】A【解析】因为()()321303fxxxx x=，所以()223fxxx=，令()0fx，得1x ，令()0fx，得10 x，此时函数为1ln,10ytt yt=，所以函数lnytt=在()1,+上是单调增函数，即()exg在()0,+上是增函数，所以 A 项正确；B 项中，1x 时，2ln0 x，又a为正实数，所以0ax，又()e10 xfx=，所以()fx单调递增，所以不等式等价于2lnaxx对1x 恒成立，即max2lnxax，令()2lnxxx=，知()222lnxxx=，所以()x在()1,e上递增，在()e,+上递减，所以()()max2()eex=，所以B项正确；C项中，易知()exfxx=在(),0上递减，在()0,+上递增，()min()01f xf=，所以1t，不妨设12xx，则必有120 xx 0，则 等 价 于210 xx，等 价 于()()21fxfx，等 价 于()()11fxfx，令()()()F xfxfx=，()()()(),0,ee20 xxxFxfxfx=+=+，即()F x在(),0上递增，所以()()00F xF=，则()1,0 x 时，()()11fxfx不成立，即 C 错误；D 项中，由()exfxx=在(),0上递减，在()0,+上递增，()g x在()0,1上递减，在()1,+上递增，易知()()fxg x=有唯一的解()00,1x，又()1e12f=，由()()12fxg x=，即12ln1222elnelnxxxxxx=，即 有()()12lnfxfx=，所 以12lnxx=，即12exx=，所 以1211lnlnlnextttxxxt=，又2t，所以21minln1etxx=，所以 D 正确 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12【答案】3 学科网（北京）股份有限公司【解析】易知3x=，经验回归直线0.80.6xy=+过样本点的中心(),x y，所以0.8 30.63y=+=，所以5244.3.515m+=，解得3m=13【答案】e,2+【解析】由()fx的图象经过第一象限，得0 x，使得()0fx，即e2xax，设()e(0)xg xxx=，求导得()()2e1xxgxx=，当01x时，()0gx时，()0gx，函数()g x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，则()min()1eg xg=，有2ea，所以实数a的取值范围是e,2+14【答案】49【解析】甲取走 1 个黑球 1 个白球的方法数为1123C C6=，取走 2 个黑球的方法数为23C3=，所以乙取出白球的概率为613246336339P=+=+四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15【答案】（1）213nan=（2）36【解析】（1）设 na的公差为d，则25611,114,115ad ad ad=+=+=+，依题意，2526aa a=，即()()2(114)11115ddd+=+，整理得，()1120d d=，解得，2d=或0d=（舍），所以()1121213nann=+=；（2）21112131222nnaanSnnnn+=，因为2212(6)3636nSnnn=，当且仅当6n=时，等号成立，所以nS的最小值为36 学科网（北京）股份有限公司 16【答案】（1）略（2）63【解析】（1）因为F为PC的中点，PAAC=，所以PCAF，因为AB 平面,PAC PC 平面PAC，所以ABPC，又,AFABA AF AB=平面ABF；所以PC 平面ABF；（2）若ACPA，则,AB AC AP两两垂直，建立如图所示分别以,AB AC AP为,x y z轴的空间直角坐标系，()()()()10,0,0,1,0,0,1,1,1,0,0,0,2,02AEFBC，()()()10,2,0,1,0,0,1,1,1,0,02ACAEAFAB=，设平面AEF的法向量为()111,nx y z=，则有0,0,AE nAF n=即111110,20,xyyz+=+=令11y=，则112,1xz=，所以平面AEF的一个法向量为()2,1,1n=，易知AB 平面,PAC 平面PAC的法向量为()1,0,0AB=，设平面AEF与平面PAC夹角为，则26cos36AB nABn=，所以平面AEF与平面PAC夹角的余弦值为63 17【答案】（1）14 （2）98 学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）记事件A=“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则()1111224P A=，所 以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为14；（2）X的所有可能取值分别为 0，1，2，则()111102228P X=，()11121224P X=()11511488P X=X的分布列为 X 0 1 2 P 18 58 14 所以X的期望为()15190128848E X=+=18【答案】（1）2212xy+=（2）23【解析】（1）设焦距为2c，当ABOF时，将xc=代入椭圆方程可得，22221cyab+=，解得2bya=，所以222bABa=，又22ca=，解得2,1ab=，所以C的方程为2212xy+=；（2）设直线()()11112211:1,AB xm ymA x yB xyk=+=，与椭圆线方程联立1221220 xm yxy=+=可得，()22112210mym y+=，由韦达定理，11212221121,22myyy ymm+=+，所以()22211211212114ABmyymyyy y=+=+()22112222111411142 2 1222mmmmm=+=+，学科网（北京）股份有限公司 同理可得，2212 2 12CDm=+，2212112 222ABDEmm=+，因为122kk=，所以212mm=，故2122421111113 22 2242252mABDEmmmm=+21213 23 22245325mm=+，当且仅当11k=时，等号成立，所以|ABDE的最大值为23 19【答案】（1）1k（2）略【解析】（1）先证明()fxx，构造函数()()e1xF xfxxx=，则()e10 xFx=，故()F x单调递增，从而()()00F xF=，即e1xx+，因此()ln1xx+，当1k 时，()()ln1ln1e1xkxxx+时，构造函数()()()()e1ln1xG xfxkg xkx=+，则()()e,1xkGxGxx=+单调递增，且()()010,ln01lnkGkGkkk=+，故存在()00,lnxk，使得()00Gx=，且()00,xx时，()0Gx，即()G x单调递减，则当()00,xx时，()()00G xG，则0OA OB ，即12120 x xy y+，学科网（北京）股份有限公司 即()()1122e1 ln1xx xx+因为12,0 x x，则不等式为()1212ln1e1xxxx+，设11e1xx=，则不等式为()()22ln1ln11xxxx+，设()()ln1xh xx+=，则()()2ln11xxxh xx+=，设()()ln11xH xxx=+，则()22110(1)1(1)xHxxxx=+，因此()()00H xH=，即()0h x，可得12xx，即12e1xx+，设()2e1xt xx=，则()e2xtxx=，由（1）可知1e1,exxxx+，从而ee2xxx，故()()0,txt x单调递增，因此()()00t xt=，从而2e1xx+，因而12211e1xxx+，故221xx