浙江杭州市2024年高一下学期6月质检数学试题含答案.pdf

第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 2023 学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷数学试题卷 考生须知：考生须知：1本试卷分试题卷和答题卡两部分本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用并用 2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项是在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知复数1 i1 iz+=（i是虚数单位，2i1=），则z=（）A.1 B.1 C.2 D.2 2.已知向量()()1,1,3,akbkk=+，若/ab，则实数k的值为（）A.3 B.1 C.3或1 D.3212 3.已知,表示两个不同的平面，,a b c表示三条不同的直线，（）A.若/,ba a，则/b B.若,abca cb，则c C.若,/,/abab，则/D.若,/,aab b，则 4.已知0,Rab，则“ab”是“ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c若2,45,75bAC=，则=a（）A.63 B.2 63 C.33 D.2 33 6.为了得到函数()sin2f xx=的图象，可以把()cos2g xx=的图象（）A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度.第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度 7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（）个小时才会“药物失效”（参考数据：lg20.3010）A.4 B.5 C.6 D.7 8.已知sin,cos是方程222sinsin0 xx+=的两个实根，则cos2cos2=（）A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对得全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知ab，则（）A.0.10.1ab B.1010ab C.4433ababa b+D.()()22ln1ln1aabb+10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形 设直角三角形的两个锐角分别为,()，若小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 5，则（）A.每一个直角三角形的面积为 1 B.sin2sin=C cos2cos=D.()4cos5=11.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点()(),0P a bOPm m=，定义函数()abfm+=，则（）A.2x=是函数()yf=的一条对称轴 B.函数()()yff=是周期为的函数.第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 C ()()222ff+D.若2ab=，则()()12212ff+=三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12 已知集合21,2,3ABa a=+若1,2,4AB=，则实数=a_ 13.已知ln1xy+=，则exy+的最小值为_ 14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为6 3的正三角形，高为 6，有一个半径为 1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数()21xf xx=+（1）判断函数()f x在区间1,1上的单调性，并用定义证明结论；（2）若1,32x，求函数()()()22fxg xfx=的值域 16.如图，点,P Q分别是矩形ABCD的边,DC BC上的点，2,3ABAD=（1）若,01DPDC BQBC=，求AP AQ 的取值范围；（2）若P是DC的中点，122024,M MM依次为边AB的 2025 等分点求122024PAPMPMPMPB+的值 17.已知实数a=，则“ab”是“ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可.【详解】当2,3ab=时，满足ab，但ab，当0b 时，必有ab成立，当0b，故必要性成立，故“ab”是“ab”的必要不充分条件，故 B 正确.故选：B 5.在ABC中，角,A B C对应的边分别为,a b c若2,45,75bAC=，则=a（）A.63 B.2 63 C.33 D.2 33【答案】B【解析】第3页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【分析】先根据内角和求 B 的值，然后再根据正弦定理求 a的值.【详解】由题意得180457560B=,由正弦定理得 sinsinabAB=,则 22sin2 62sin332bAaB=,故选:B.6.为了得到函数()sin2f xx=的图象，可以把()cos2g xx=的图象（）A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度【答案】D【解析】【分析】()sin2cos 22f xxx=，异名变同名，再由()g x平移个单位得到()()cos2g xx=+，两个解析式相等即可.【详解】()sin2cos 22f xxx=，()g x平移个单位得到()()cos2g xx=+()cos 22x=+，2,242kk+=+=，的一个取值可以为4.向右平移4个单位长度.故选：D.7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（）个小时才会“药物失效”（参考数据：lg20.3010）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】第4页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.【详解】物实验中，100ml血液中药物含量为20mg的浓度为0.2，设至少经过t个小时才会“药物失效”，根据题意()0.8 1 0.20.2t，两边取对数得1ln0.8ln4=t.所以至少经过7个小时才会“药物失效”.故选：D.8.已知sin,cos是方程222sinsin0 xx+=的两个实根，则cos2cos2=（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可.【详解】sin,cos是方程222sinsin0 xx+=的两个实根，sincos2sin+=，22sin2sinsinsin0+=，22cos2sincossin0+=，式+式得：201sincoss)2 in(2sin+=+，即2201 4sin2sin+=，22i24sin1 2s n=，即2cos2cos2=，得cos22cos2=.故选：C.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对得全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.已知ab，则（）A.0.10.1ab B.1010ab C.4433ababa b+D.()()22ln1ln1aabb+，得0.10.1ab，得1010ab，B正确；()()()()()44333333ababa baabbbaabab+=+=，因为ab，根据3yx=在R上单调递增，所以33ab，则0ab，330ab，则()()330abab，则4433ababa b+，C错误；函数()()22ln1ln1yxxxx=+=+，因为21txx=+为增函数，且210 xx+恒成立，所以()2ln1yxx=+为减函数，而ab，则()()22ln1ln1aabb+，D正确.故选：BD 10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形 设直角三角形的两个锐角分别为,()），由112ab=，可得2ab=，则222()252 21babaabab=+=，联立方程组，解得1,2ab=，又因为12sin,sin55=，所以1sinsin2=，所以 B 不正确；对于 C中，由21cos,cos55=，所以cos2cos=，所以 C 正确；对于 D中，由()21124coscoscossinsin55555=+=+=，所以 D正确.故选：ACD.11.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点()(),0P a bOPm m=，定义函数()abfm+=，则（）A.2x=是函数()yf=的一条对称轴 B.函数()()yff=是周期为的函数 C.()()222ff+D.若2ab=，则()()12212ff+=【答案】BCD【解析】【分析】根据题意分别求出cosam=，sinbm=，则()2sin4f=+，代入法判断 A；由()()cos2fg=可判断 B；利用换元法令sincos2sin2,24t=+=+可对 C判断；化简()()12cos12sinff+=，可判断 D.【详解】由题意得(),P a b在角的终边上，且()0OPm m=，第7页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 所以cosam=，sinbm=，则()sincos2sin4bafm+=+=+，2sin2224f=+，所以2x=不是函数()yf=的一条对称轴，A错误；()()()()22sincossincossincoscos2fg=+=，因为cos2y=为周期为的函数，故 B正确；()()()22sincossincosff+=+，令sincos2sin2,24t=+=+，所以()()2221124ffttt+=+=+，当2t=时，取到最大值为22+，所以()()222ff+，故 C 正确；因为2ab=，则cos2sin=，则()()()()121 sin2cos2121 sin2cos2ff+=2212sincos2cos1cos212sincos12sinsin+=+，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：根据题意求出cosam=，sinbm=，则()2sin4f=+.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知集合21,2,3ABa a=+若1,2,4AB=，则实数=a_【答案】1【解析】【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可.【详解】因为1,2,4AB=，故 4 必定在2,3Ba a=+中，当234a+=时，解得1a=或1a=，而此时有1a=或2a=，第8页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 解得1a=或2a=，故此时1a=，当4a=时，解得4a=，此时4,19B=，不满足1,2,4AB=，故排除，综上1a=，即实数a的值为1.故答案为：1 13.已知ln1xy+=，则exy+的最小值为_【答案】2 e【解析】【分析】根据给定条件，利用对数运算结合基本不等式求出最小值.【详解】由ln1xy+=，得0y，ln(e)1xy=，则eexy=，因此e2 e2 exxyy+=，当且仅当eexy=时取等号，所以当1,e2xy=时，exy+取得最小值2 e.故答案为：2 e 14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为6 3的正三角形，高为 6，有一个半径为 1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为_【答案】72 3【解析】【分析】依题意得，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：16 324 3tan30=，侧面部分是底边长为4 3，高为4的矩形，即可求解【详解】解：因为直三棱柱的密闭容器的底面边长为6 3，且为正三角形，容器的高为6，小球的半径为1，如图所示：第9页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 则小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：16 324 3tan30=，其面积为：324 34 324 34=；侧面部分是底边长为4 3，高为4矩形，其面积为：34 3448 3=；则小球能接触到的容器内壁的最大面积为：24 348 372 3+=故答案为：72 3 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数()21xf xx=+（1）判断函数()f x在区间1,1上的单调性，并用定义证明结论；（2）若1,32x，求函数()()()22fxg xfx=的值域【答案】（1）函数()f x在1,1上单调递增；证明见解析 （2）50，241【解析】【分析】（1）通过定义法作差判断正负求解；（2）由()422244212()11211xxxg xfxxx+=+=+，由复合函数的单调性知函数()g x在1,12上单调递增，在13，上单调递减，即可求解 的 第10页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】函数()f x在1,1上单调递增；证明：任取12,1,1x x ，且12xx，则()()()()()()221221121222221212111111xxxxxxf xf xxxxx+=+()()()()12122212111xxx xxx=+因为1211xx，所以12120,10 xxx x，所以()()120f xf x，得()()12f xf x，故min50()41g x=，所以函数()g x的值域为：50，241 16.如图，点,P Q分别是矩形ABCD的边,DC BC上的点，2,3ABAD=（1）若,01DPDC BQBC=，求AP AQ 的取值范围；（2）若P是DC的中点，122024,M MM依次为边AB的 2025 等分点求122024PAPMPMPMPB+的值【答案】（1）0,7；（2）2026 3.【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即得.（2）取AB的中点E，利用中点向量公式求和即可得解.【小问 1 详解】在矩形ABCD中，,APADDPADAB AQABBQADAB=+=+=+=+，ADAB，即0AD AB=，所以22()()70,7AP AQADABADABADAB=+=+=【小问 2 详解】取AB的中点E，连接PE，由122024,M MM依次为边AB的 2025等分点，3PEAD=，.第12页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 得1202422023101210132PMPMPMPMPMPMPAPBPE+=+=+=+=，所以122024|2026|2026 3|PAPMPMPMPBPE+=.17.已知实数a0，设函数22()cossin2f xxaxa=+，且3()64f=（1）求实数a，并写出()f x的单调递减区间；（2）若0 x为函数()f x的一个零点，求0cos2x【答案】（1）32a=，,(Z)63kkk+；（2）1 3 58.【解析】【分析】（1）代入求出a值，再利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求出单调减区间.（2）利用函数零点的意义，结合和角的余弦公式求解即得.【小问 1 详解】函数22()cossin2f xxaxa=+，由3()64f=，得2333424aa+=，而a=讨论分段函数零点即可得解.【小问 1 详解】函数()g x与()h x关于()f x“1维交换”，理由如下：显然22()(1),()1f g xxh f xx=+=，令()()f g xh f x=，即22(1)1xx+=，解得=1x，因此()()f g xh f x=有唯一解=1x，所以()g x与()h x关于()f x“1维交换”【小问 2 详解】依题意，对任意xR，恒有()()f g xh f x=成立，即对任意xR，存在函数()h x，2221)2(2)(xbxh aax+=+，显然等式左边是关于x的 4次多项式，则设2()h xpxqxr=+，于是4322242222(2)23(4)42axabxa bxabxapa xpaqa xpaqar+=+，的.第16页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 由奇次项系数得20ab=，又0a，则0b=，22242423paapaqaapaqara=+=+=，解得1611paqra=，因此存在21()611h xxxaa=+，使得()g x与()h x关于()f x“任意交换”，所以0b=.【小问 3 详解】令()()()()()F xf g xh f xg xh x=，依题意，函数()F x在 R 上有 3个零点，显然(0)(0)0gh=，即0 x=是函数()F x的零点，当0k 时，若0 x，则()0,()1g xh x，()0时无零点，若0 x，则222()(2)1(1)21F xk xxxkxkx=+=+在(,0)上单调递增，(1)30,(0)10FkF=，函数()F x在0 x，当2x 时，222()(2)1(1)21F xk xxxkxkx=，显然函数2(1)21ykxkx=的图象恒过点(0,1),(2,5)，则当1k 时，函数2(1)21ykxkx=的图象开口向上，()F x在2x 时仅只一个零点，当01k时，2(1)210kxkx 时没有零点，当02x时，222()(2)1(1)21F xkxxxkxkx=+=+，显然函数2(1)21ykxkx=+的图象恒过点(0,1),(2,5)，24(1)kk=，当152k+=，即0=时，()F x在02x，即0 时，()F x在02x时有 2 个零点，当1502k+，即0时，()F x在02x时没有零点，当0 x 时，222()(2)1(1)21F xk xxxkxkx=+=+，显然函数2(1)21ykxkx=+的图象恒过点(0,1),(2,3)，当1k 时，()F x在0 x 时无零点，当01k时，()F x在0 x 时有 1 个零点，第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，当152k+=时，()F x有 3个零点，所以当()g x与()h x关于()f xx=“3 维交换”时，152k+=.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.