非线性规划在电力系统中的应用(2012新)演示幻灯片.ppt
非线性规则在电力系统中的应用1 非线性规划问题介绍非线性规划问题介绍 非线性规划问题分类非线性规划问题分类 在电力系统中应用在电力系统中应用最优潮流最优潮流 经典算法分析对比经典算法分析对比结语结语概要2非线性规划定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题一般形式:其中 ，是定义在En 上的实值函数。有约束问题有约束问题无约束问题无约束问题局部最优和全局最优解：局部最优和全局最优解：局部最优解：局部最优解：一部分可行域上的极值点一部分可行域上的极值点全局最优解：全局最优解：整个可行域上的极值点整个可行域上的极值点3二次规划定义 二次规划(QP)是指目标函数为决策变量x的二次函数，而约束是线性函数的非线性规划。一般模型为：二次规划问题是最早被研究的一类非线性规划，也是最简单的一类非线性规划约束优化问题。4非线性规划的求解方法 非线性规划一维优化方法约束最优化方法 黄金分割法 切线法 插值法 斐波那契法 拉格朗日乘子法 制约函数法 可行方向法 近似型算法 无约束优化方法解析法直接法梯度法牛顿法 共轭梯度法 变尺度法 坐标轮换法 模式搜索法 旋转方向法 单纯形加速法 51.无约束条件的非线性规划问题对于函数关系比较简单的非线性规划问题，可按极值存在对于函数关系比较简单的非线性规划问题，可按极值存在的必要条件和充分条件，按的必要条件和充分条件，按微分法微分法求解，对函数关系比求解，对函数关系比较复杂的问题，常作较复杂的问题，常作搜索法搜索法。l直接法：爬山法、一维搜索法直接法：爬山法、一维搜索法(0.618法法)、座标轮换法、座标轮换法l解析法：梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法解析法：梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 62.等式约束条件的非线性规划问题约束方程数目约束方程数目m m 变量数变量数n n，除唯一解外无解。，除唯一解外无解。只有等式约束的非线性规划问题通常可用只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘子消元法、拉格朗日乘子法或罚函数法法或罚函数法，将其化为无约束问题求解。，将其化为无约束问题求解。73.不等式约束条件的非线性规划问题拉格朗日乘子拉格朗日乘子法法引入松驰变量的引入松驰变量的方法使不等式变方法使不等式变为等式，用求等为等式，用求等式约束非线性最式约束非线性最优化的方法来解。优化的方法来解。库恩塔克条库恩塔克条件件非线性规划领域非线性规划领域中的重要理论成中的重要理论成果之一，是确定果之一，是确定极值点的必要条极值点的必要条件。件。罚函数法罚函数法内点法内点法外点法外点法8应用最优潮流最优潮流最优潮流(Optimal Power Flow,OPF)就是当系统的结构参数及负荷情况给定时,，通过对某些控制变量的优选，所能找到的在满足所有指定约束条件，并使系统的某一个或多个性能指标达到最优时的潮流分布。多种目标函数多种目标函数 电力系统网损最小电力系统网损最小发电费用最小发电费用最小无功补偿经济效益最大无功补偿经济效益最大可进行有功优化、无功优化及有功无功混合优化计算9数学模型电力系统最优潮流的数学模型可以表示为：目标函数，通常为发电成本或网损；等式约束集，通常为以节点注入功率表示的潮流方程；不等式约束集，通常为运行的约束条件。10经典方法 1968年由Dommel和Tinney提出，是能够成功地求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第一个算法。Sun D.I.等人于1984年提出，得到了国内外学者高度评价，成为上世纪九十年代发展最优潮流程序时优先予以选用的算法之一。1984年，AT&T贝尔实验室数学家Karmaikar提出了内点法。现已广泛应用于电力系统最优潮流问题研究。梯度类算法梯度类算法牛顿法牛顿法内点法内点法11简化梯度法基本原理基本原理目标函数的梯度方向是它最陡的上升方向，其负梯度方向便是目标函数最陡的下降方向。如果将负梯度方向取作搜索方向，即：则目标函数可以得到最快的下降速度。最优潮流计算的简化梯度算法是以极坐标形式的牛顿潮极坐标形式的牛顿潮流算法流算法作为基础的。12(1)仅有等式约束条件时的算法对于仅有等式约束的最优潮流计算，可以表示为 应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束g(u,x)0 中方程式数同样多的拉格朗日乘子,则构成拉格朗日函数为 式中：为由拉格朗日乘子所构成的向量13 这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无约束最优化问题。采用经典的函数求极值的方法，即将L L分别对变量x、u及求导并令其等于零，从而得到求极值的一组必要条件为 最优潮流的解必须同时满足这三组方程。14迭代求解算法的基本要点如下：(1)令迭代记数k=0 (2)假定一组控制变量u(0)；(3)由于式就是潮流方程，所以通过潮流计算就可以由已知的u 求得相应的x(k)(4)再观察式，就是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵J，利用求解潮流时已经求得的潮流解点的J及其LU三角因子矩阵，可以方便地求出 15(5)将已经求得的u、x及 代入式，则有 (6)若 ，则说明这组解就是待求的最优解，计算结束。否则，转入下一步；(7)若 ，为此必须按照能使目标函数下降的方向对u进行修正然后回到步骤(3)。这样重复进行上述过程，直到式得到满足，即 为止。16该算法证明，是在满足等式约束条件（潮流方程）的情况下目标函数在维数较小的u空间上的梯度，所以也称为简化梯度。由于某一点的梯度方向是该点函数值变化率最大的方向，因此若沿着函数在该点的负梯度方向前进时，函数值下降最快，所以最简单方便的办法就是取负梯度作为每次迭代的搜索方向，即取 式中c为步长因子。对收敛过程影响大17第一类是关于自变量或控制变量u的不等式约束；第二类是关于因变量的不等式约束条件，通称为函数不等式约束。(2)不等式约束条件时的算法18（一）控制变量不等式约束（一）控制变量不等式约束 控制变量的不等式约束比较容易处理，若按照 对控制变量进行修正，如果得到的 使得任一个 超过其限值时，则该越界的控制变量就被强制在相应的界上，即19（二）函数不等式约束（二）函数不等式约束u函数不等式约束 h(u,x)0 无法采用和控制变量不等式约束相同的办法来处理，因而处理起来比较困难。目前比较通行的一种方法是采用罚函数法罚函数法来处理。u罚函数法的基本思路是将约束条件引入原来的目标函数而形成一个新的函数，将原来有约束最优化问题的求解转化成一系列无约束最优化问题的求解。20简化梯度法缺点u工作量大工作量大简化梯度法解算最优潮流缺点之一表现在其状态变量维数较高,意味着每次迭代用牛顿拉夫逊法解算潮流的工作量较大。u收收敛敛性性差差同时由于控制变量中一些分量的变动与另一些分量变动同样比例所引起的目标函数值的变化很不相同,这易使目标函数的Hessian矩阵的条件数较大,进一步使得算法的收敛性变坏。u收收敛敛速速度度慢慢简化梯度法虽然从局部看,每次迭代目标函数值下降最快,但从全局看,该法存在锯齿现象,在最优解附近收敛相当缓慢。21牛顿法基本原理基本原理牛顿法OPF算法充分利用了电力网络的物理特征,开发了Hessian矩阵的导纳稀疏结构,把等式约束和起作用的函数不等式约束用Lagrange乘子引入到目标函数中,直接对Lagrange函数的Kuhn-Tucker 条件进行牛顿法迭代求解,而起作用的简单变量不等式约束用二次罚函数来处理。不区分状态变量和控制变量Hessian矩阵是对x二阶导数22用牛顿法对非线性代数方程组求解，于是得到优化的迭代格式为式中f(x(k)为目标函数f(x)的梯度向量；k为迭代次数；H(x)=2f(x)为目标函数f(x)的海森矩阵，是目标函数对于x的二阶导数，故牛顿法又称为海森矩阵法。算法的收敛判据是，算法的收敛判据是，|f(x(k)|。23OPF 牛顿法的算法:(1)置主迭代次数k=0 和给定收敛判别误差E,并给各变量和Lag rang e 乘子(K)赋初值;(2)选择各变量的当前起作用集;(3)形成梯度向量;(4)根据各变量的当前起作用集,修正梯度向量;(5)判断是否满足Kuhn-T ucker 条件,若满足则输出优化结果并停止,否则转(6);(6)判断是否为可行解,若是则转(7),否则转(9);(7)置试验迭代次数l=0;(8)计算牛顿法OPF 列式左端矩阵W(k),并重新因子化形成因子表,转(10);(9)根据各变量的当前起作用集,修正W(k)阵的部分元素,然后对其进行部分因子化,并修正梯度向量;(10)利用前代、回代法求解方程组,得到寻优方向;(11)更新各变量的值;(12)若是试验迭代l=l+1,否则k=k+1,转(2)。24牛顿法优缺点2、海森矩阵是稀疏矩阵,可以充分应用稀疏技术,适合大规模网络计算。1、方程组求解过程中由于系数矩阵的“病 态”特性而导致的数值不稳定性;2、难以准确识别起作用的不等式约束集。1、利用了目标函数的二阶导数信息,收敛快;缺缺点点优优点点25内点法基本思想基本思想从内点出发,沿可行方向求出使目标函数值下降的后继内点,再从得到的内点出发,沿另一个可行方向求出使目标函数值下降的内点,重复得出一个由内点组成的序列,使得目标函数值严格单调下降,当满足终止准则时停止迭代。避免了对不等式约束集的处理。避免了对不等式约束集的处理。投影尺度法(projective scaling,即Karmarkar原型算法)仿射尺度法(affine scaling)路径跟随法(path following,又称原原对偶内对偶内点算法点算法)。三大类算法26原对偶内点算法一般步骤:首先引入松弛变量,将不等式约束化为等式约束,然后在目标函数中引入对数障碍函数,消除松弛变量的不等式约束,再运用Lagrange 乘子法引入等式约束,把问题化为无约束的优化问题。对该问题求得其Kuhn-Tucker条件,然后用牛顿法求取各变量的寻优方向,并在每步迭代中选取一定的迭代步长求解各变量,以保持解的原始可行性和对偶可行性。27OPF 原对偶内点算法为:(1)置主迭代次数k=0 和给定收敛判别误差E,同时选择合适的障碍参数值及希望每次迭代减少的对偶间隙倍数,并给各变量和对偶变量赋初值;(2)计算主OPF 列式右端矩阵;(3)计算主OPF 列式左端矩阵,并对该矩阵进行因子化形成因子表;(4)利用前代、回代法求解主OPF列式方程组,进而求出各原变量和对偶变量的迭加量,得到寻优方向;(5)确定各类变量的迭代步长;(6)更新各变量的值;(7)对障碍参数条件,最大失配条件和梯度条件加以校验,若满足,则输出优化结果并停止;否则转(8);(8)k=k+1,更新障碍参数值,转(2)。28三种算法对比简化梯度法牛顿法内点法原理简单，易于实现具有二阶收敛性计算速度快收敛速递慢充分利用稀疏技术收敛性好罚因子选择不当，收敛性变差处理不等式约束能力不佳有效处理不等式约束集29解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。以上主要介绍了非线性规划方法在电力系统最优潮流计算中的应用，今后的研究中，应针对研究问题的实际情况和特点，结合各种算法的优缺点，将不同算法整合，研究具快速计算、可靠收敛的算法，不断满足新环境下电力系统发展的需要。结语30Thank You！31
