方程求根计算方法课件及实验教学.pptx

方程求根计算方程求根计算方法课件及实方法课件及实验教学验教学制作人：时间：2024年X月contents目目 录录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 方程求根基础知识方程求根基础知识第第3 3章章 复杂情况下的方程求根方法复杂情况下的方程求根方法第第4 4章章 方程求根算法的数值分析方程求根算法的数值分析第第5 5章章 方程求根在实际问题中的应用方程求根在实际问题中的应用第第6 6章章 总结总结第第7 7章章 附录附录 0101第第1章章 简简介介课程背景课程背景本課程旨在介紹方程求根的基本方法、算法以及實際應用方程求根概述方程求根概述常用方法：二分法、牛頓迭代法、割線法、弦截法等。方程求根應用：科學、工程、商業和經濟等領域课程目标课程目标理解方程求根基本方法、算法以及實際應用。掌握方程求根相關的計算工具和技巧教学方法教学方法理論講授。實驗操作。實際應用案例分析二分法也叫折半法二分法二分法0103割线法是不需初值的迭代法之一割线法割线法02牛顿迭代法又叫牛顿-拉弗森方法牛顿迭代法牛顿迭代法方程求根的应用方程求根的应用在科学领域，方程求根方法被广泛应用在各种实验和计算中，如物理学、化学等科学科学在工程领域，方程求根方法被广泛应用在各种计算和优化中，如机械制造、土建工程、电路设计等工程工程在商业领域，方程求根方法被广泛应用在各种数据分析和风险评估中，如金融、保险等商业商业在经济领域，方程求根方法被广泛应用在各种模型的解析和预测中，如宏观经济学、市场分析等经济经济优点优点优点优点适用范围广适用范围广收敛速度快收敛速度快收敛速度较快收敛速度较快在初值附近有较快的收敛速度在初值附近有较快的收敛速度无需初值无需初值缺点缺点缺点缺点使用次数较多使用次数较多需要一阶导数需要一阶导数收敛速度较慢收敛速度较慢需要二阶导数需要二阶导数收敛速度不稳定收敛速度不稳定应用应用应用应用适用于方程有单根且连续适用于方程有单根且连续适用于导数存在的方程适用于导数存在的方程适用于二阶连续可微方程适用于二阶连续可微方程适用于导数不断变化的方程适用于导数不断变化的方程适用于函数具有单调性的方程适用于函数具有单调性的方程各种方法的比较各种方法的比较方法方法方法方法二分法二分法牛顿迭代法牛顿迭代法割线法割线法弦截法弦截法迭代法迭代法方程求根的应用举例方程求根的应用举例方程求根的应用举例方程求根的应用举例在物理学中，有很多方程需要求根来解决问题。例如，哈密顿系统有时需要求出能量的在物理学中，有很多方程需要求根来解决问题。例如，哈密顿系统有时需要求出能量的本征值，这就需要用到方程求根方法。在化学中，也有很多方程需要求根来解决问题。本征值，这就需要用到方程求根方法。在化学中，也有很多方程需要求根来解决问题。例如，计算化学中经常需要求分子的振动频率或者对分子的某些属性进行计算。这些方例如，计算化学中经常需要求分子的振动频率或者对分子的某些属性进行计算。这些方程都可以使用方程求根方法来求解程都可以使用方程求根方法来求解 方程求根的注意事项方程求根的注意事项初值选取要合适，否则会影响解的精度和收敛速度初值选取初值选取迭代次数也要控制在一定范围内，否则会陷入死循环迭代次数迭代次数算法效率也是需要考虑的一个因素，不同算法的效率有很大差异算法效率算法效率 0202第第2章章 方程求根基方程求根基础础知知识识方程求根基本概念方程求根基本概念方程求根是数值计算中的重要问题，指的是求解一个方程的根。在科学计算、工程设计等领域中，方程求根是基础而又常见的问题。方程求根的解法有很多，包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。方程求根的重要性方程求根的重要性方程求根是解决实际问题的重要手段，如在物理、化学、经济学、生物学等领域中，许多问题都可转化为求解方程的根。因此，方程求根的研究和应用具有广泛的意义和重要性。二分法二分法二分法二分法二分法是一种基本的数值计算方法，也是最简单的求根方法之一。其基本思想是在根的二分法是一种基本的数值计算方法，也是最简单的求根方法之一。其基本思想是在根的两侧摆放两个定点，通过逐步缩小两点间的距离，不断逼近根，最终得到根的值。二分两侧摆放两个定点，通过逐步缩小两点间的距离，不断逼近根，最终得到根的值。二分法的收敛速度较慢，但是具有简单、易于编程的特点。法的收敛速度较慢，但是具有简单、易于编程的特点。二分法的流程二分法的流程确定初始搜索区间的左、右端点设定初值设定初值计算搜索区间的中点中点计算中点计算将中点带入原方程计算后与零比较大小比较大小比较大小根据比较结果缩小搜索区间更新区间更新区间通过不断迭代逼近根基本思想基本思想0103满足一定条件即可结束迭代迭代条件迭代条件02通过计算斜率和截距得到下一次迭代点迭代公式迭代公式牛顿迭代法的適用牛顿迭代法的適用范圍范圍牛顿迭代法适用于任意光滑的方程，但是需要满足一定的条件，如函数单调、导数连续、二阶导数存在等。在实际应用中，我们需要对问题进行合理的建模，以满足牛顿迭代法的适用条件。计算斜率计算斜率计算斜率计算斜率利用两个端点计算斜率利用两个端点计算斜率确定截距确定截距确定截距确定截距利用一点斜率求直线截距利用一点斜率求直线截距交点计算交点计算交点计算交点计算求解直线与求解直线与x x轴的交点轴的交点割线法的流程割线法的流程设定初值设定初值设定初值设定初值确定左、右端点确定左、右端点估计根的位置估计根的位置割线法的收敛性和收敛速度割线法的收敛性和收敛速度割线法的收敛性较好，但可能出现发散情况收敛性收敛性割线法的收敛速度介于二分法和牛顿迭代法之间收敛速度收敛速度割线法具有收敛性好、迭代次数少等优点，但计算量较大，迭代速度较慢优缺点优缺点 0303第第3章章 复复杂杂情况下的方程求根情况下的方程求根方法方法多项式方程求根基本概念多项式方程求根基本概念多项式方程求根基本概念多项式方程求根基本概念多项式方程求根是求解多项式方程在实数或复数域内的根的问题。多项式方程的一般式多项式方程求根是求解多项式方程在实数或复数域内的根的问题。多项式方程的一般式是是f(x)a0 xn+a1x(n-1)+.+anf(x)a0 xn+a1x(n-1)+.+an，其中，其中aiai为常数，为常数，n n为次数。为次数。多项式方程求根的基本方法多项式方程求根的基本方法适用于高次多项式BairstowBairstow法法适用于一次多项式牛頓迭代法牛頓迭代法 非线性方程组求解的基本概念非线性方程组求解的基本概念非线性方程组求解的基本概念非线性方程组求解的基本概念非线性方程组是指系统中未知量的函数与它们的各自变化量的函数不服从线性关系的方非线性方程组是指系统中未知量的函数与它们的各自变化量的函数不服从线性关系的方程组。其一般形式为：程组。其一般形式为：f(x)=0f(x)=0，其中，其中f(x)f(x)为非线性函数。为非线性函数。拟牛頓法拟牛頓法拟牛頓法拟牛頓法算法原理：通过构造一系列逐步逼近算法原理：通过构造一系列逐步逼近HessianHessian矩阵的矩阵的矩阵序列矩阵序列BkBk来代替来代替HessianHessian矩阵，并通过矩阵，并通过BkBk和和gradientgradient来更新当前点来更新当前点xkxk，逐步逼近，逐步逼近x x的极小值点的极小值点优点：收敛速度快，不需要求解优点：收敛速度快，不需要求解HessianHessian矩阵矩阵高斯高斯高斯高斯-塞德尔迭代法塞德尔迭代法塞德尔迭代法塞德尔迭代法算法原理：是高斯消元法在求解线性方程组时的一种算法原理：是高斯消元法在求解线性方程组时的一种推广和拓展推广和拓展缺陷：收敛的条件较苛刻缺陷：收敛的条件较苛刻阻尼牛顿法阻尼牛顿法阻尼牛顿法阻尼牛顿法算法原理：经过修正的牛顿法，通过增加阻尼项来保算法原理：经过修正的牛顿法，通过增加阻尼项来保证步长的收敛性和方向的可靠性证步长的收敛性和方向的可靠性优点：收敛速度快，迭代次数少优点：收敛速度快，迭代次数少非线性方程组求解的基本方法非线性方程组求解的基本方法高斯高斯高斯高斯-牛頓法牛頓法牛頓法牛頓法算法原理：利用牛顿迭代法求算法原理：利用牛顿迭代法求f(x)=0f(x)=0的根的思想，将的根的思想，将非线性方程组拓展到多元非线性方程组拓展到多元缺陷：收敛速度慢，不适用于高阶方程组缺陷：收敛速度慢，不适用于高阶方程组二分法实验操作二分法实验操作二分法实验操作二分法实验操作二分法也称为折半法，是一种简单而通用的求函数零点的方法。其基本思想是：对于单二分法也称为折半法，是一种简单而通用的求函数零点的方法。其基本思想是：对于单调函数调函数f(x)f(x)，如果在区间，如果在区间a,ba,b内有内有f(a)f(b)f(a)f(b)小于小于0 0，则在，则在a,ba,b内必定有一个根。内必定有一个根。二分法实验数据处理二分法实验数据处理选择准确的起始区间，设置精度实验要点实验要点选择起始区间，计算中点，判断根的位置，重复直到满足精度要求实验步骤实验步骤计算出函数f(x)的零点实验结果实验结果 股票预测中的非线性方程组求解问题股票预测中的非线性方程组求解问题股票预测中的非线性方程组求解问题股票预测中的非线性方程组求解问题股票预测是一种复杂的非线性问题，通过对股票价格变化趋势进行分析，可以对未来股股票预测是一种复杂的非线性问题，通过对股票价格变化趋势进行分析，可以对未来股票价格做出一定的预测。而实际情况中，股票价格的变化受到众多因素的影响，这些因票价格做出一定的预测。而实际情况中，股票价格的变化受到众多因素的影响，这些因素之间互相作用，形成了一个非线性方程组。素之间互相作用，形成了一个非线性方程组。股票预测中的非线性方程组求解方法股票预测中的非线性方程组求解方法将预测数据以合适的方式进行处理，得到非线性方程组的系数矩阵数据处理数据处理通过高斯-牛頓法或拟牛頓法求解非线性方程组，得到股票价格预测值求解方法求解方法通过与实际股票价格数据进行比对，评估预测方法的准确性结果评估结果评估 0404第第4章章 方程求根算法的数方程求根算法的数值值分分析析方程求根算法收敛性分析方程求根算法收敛性分析定义和相关性质收敛性的基本收敛性的基本概念概念割线法、牛顿法等收敛性分析的收敛性分析的定理和方法定理和方法求解方程的收敛性分析收敛性分析的收敛性分析的实际应用案例实际应用案例 方程求根算法误差分析方程求根算法误差分析绝对误差和相对误差误差的基本概误差的基本概念念牛顿-拉夫逊法、二分法等误差分析的定误差分析的定理和方法理和方法求解方程的误差分析误差分析的实误差分析的实际应用案例际应用案例 方程求根算法稳定性分析方程求根算法稳定性分析定义和相关性质稳定性的基本稳定性的基本概念概念牛顿法的稳定性分析稳定性分析的稳定性分析的定理和方法定理和方法求解方程的稳定性分析稳定性分析的稳定性分析的实际应用案例实际应用案例 方程求根算法的变种与优化方程求根算法的变种与优化割线法的改进、加速收敛等方程求根算法方程求根算法的改进与优化的改进与优化牛顿-拉夫逊法、Secant法方程求根算法方程求根算法的变种及其优的变种及其优缺点缺点航空航天领域方程求根算法方程求根算法的实际应用案的实际应用案例例 根据方程的性质确定求解区间确定求解区间0103保证算法的正确性进行收敛性分析进行收敛性分析02根据方程的类型和精度要求选择适当的算法选择适当的算法牛顿牛顿牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法拉夫逊法拉夫逊法在牛顿在牛顿-拉夫逊法中，通过对函数进行二阶泰勒展开，得到迭代公式，可以加快收敛速拉夫逊法中，通过对函数进行二阶泰勒展开，得到迭代公式，可以加快收敛速度。但是，该算法在极端情况下可能会导致发散，需要进行稳定性分析。度。但是，该算法在极端情况下可能会导致发散，需要进行稳定性分析。牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法收敛速度快收敛速度快对初值敏感对初值敏感SecantSecantSecantSecant法法法法对初值敏感对初值敏感收敛速度较快收敛速度较快牛顿牛顿牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法拉夫逊法拉夫逊法收敛速度最快收敛速度最快计算复杂度高计算复杂度高不同算法的比较不同算法的比较二分法二分法二分法二分法简单易懂简单易懂收敛速度慢收敛速度慢收敛性分析的定理收敛性分析的定理和方法和方法假设$f(x)$在$x_*$处有n阶连续导数，则对于适当的初始值$x_0$，牛顿法的下降初始斜率为$f(x_0)$，当$f(x_*)0$时，$f(x_*)eq 0$时，牛顿法对于$x_*$的某个邻域内所有初始值都收敛于$x_*$，且收敛速度至少是二阶收敛的。0505第第5章章 方程求根在方程求根在实际问题实际问题中中的的应应用用方程求根在工程中的应用方程求根在工程中的应用方程求根在工程中的应用方程求根在工程中的应用方程求根在机电工程和电力系统中有广泛的应用。在机电工程中，例如计算机数控技术、方程求根在机电工程和电力系统中有广泛的应用。在机电工程中，例如计算机数控技术、机器人及其控制、汽车发动机工作过程仿真等领域中，方程求根是必不可少的基本数学机器人及其控制、汽车发动机工作过程仿真等领域中，方程求根是必不可少的基本数学工具。在电力系统中，如在计算变电站故障时，需要解方程求根以计算电压和电流等参工具。在电力系统中，如在计算变电站故障时，需要解方程求根以计算电压和电流等参数，方程求根也是必不可少的。此外，在石油勘探中也有广泛的应用。数，方程求根也是必不可少的。此外，在石油勘探中也有广泛的应用。方程求根在商业和金融中的应用方程求根在商业和金融中的应用方程求根在商业和金融中的应用方程求根在商业和金融中的应用方程求根在商业和金融等领域中的应用同样非常广泛。在股票预测中，例如通过分析历方程求根在商业和金融等领域中的应用同样非常广泛。在股票预测中，例如通过分析历史股价，可以得到一些非线性方程组，需要用方程求根的方法来求解以预测未来股价。史股价，可以得到一些非线性方程组，需要用方程求根的方法来求解以预测未来股价。在期权定价中，常需要解非线性方程组，方程求根也是必不可少的。此外，在银行贷款在期权定价中，常需要解非线性方程组，方程求根也是必不可少的。此外，在银行贷款利率计算中，方程求根也有重要的应用。利率计算中，方程求根也有重要的应用。方程求根在科学中的应用方程求根在科学中的应用方程求根在科学中的应用方程求根在科学中的应用方程求根在物理学、化学、生物学等科学领域中同样有广泛的应用。在物理学中，求解方程求根在物理学、化学、生物学等科学领域中同样有广泛的应用。在物理学中，求解非线性方程组是学习电磁学等学科的必备技能。在化学中，通过对化学反应动力学的研非线性方程组是学习电磁学等学科的必备技能。在化学中，通过对化学反应动力学的研究，可以得到一些非线性方程组，需要用方程求根的方法来求解。在生物学中，方程求究，可以得到一些非线性方程组，需要用方程求根的方法来求解。在生物学中，方程求根在逆向遗传学、药物代谢等领域有广泛的应用。根在逆向遗传学、药物代谢等领域有广泛的应用。方程求根的实际应用案例分析方程求根的实际应用案例分析例如音乐的生成算法中利用方程求根来计算音符的频率和节奏等艺术领域中的艺术领域中的方程求根问题方程求根问题例如计算身体质量指数（BMI）时需要用到方程求根生活中的方程生活中的方程求根问题求根问题例如利用深度学习等技术来优化方程求根的算法，从而实现更快更准确的计算方程求根的发方程求根的发展趋势展趋势 机电工程中的方程求根问题机电工程中的方程求根问题例如在数控加工中需要预测加工轨迹，需要用到方程求根来计算加工点的坐标计算机数控技计算机数控技术术例如在机器人运动学中需要解方程求根以计算机器人各关节的运动学参数机器人及其控机器人及其控制制例如在汽车发动机模拟中需要解非线性方程组以计算出各参数的值汽车发动机工汽车发动机工作过程仿真作过程仿真 电力系统中的方程求根问题电力系统中的方程求根问题例如在计算电压和电流等参数时需要解方程求根变电站故障计变电站故障计算算例如通过对历史数据的分析，可以建立非线性方程组来预测未来负荷，需要用方程求根的方法电力负荷预测电力负荷预测例如在计算系统稳定边界时需要解非线性方程组，方程求根也是必不可少的电力系统稳定电力系统稳定性分析性分析 股票预测中的方程求根问题股票预测中的方程求根问题例如通过对历史股价的分析，可以建立非线性方程组来预测未来股价历史股价分析历史股价分析例如在计算期权价格时需要解非线性方程组，方程求根也是必不可少的期权定价中的期权定价中的非线性方程组非线性方程组求解求解例如在股票交易决策中需要计算一些非线性方程，需要用方程求根的方法股票交易决策股票交易决策 方程求根在化学中的应用方程求根在化学中的应用例如通过对化学反应动力学的研究，可以得到一些非线性方程组，需要用方程求根的方法来求解化学反应动力化学反应动力学学例如在计算化学平衡常数时需要解非线性方程组，方程求根也是必不可少的化学平衡常数化学平衡常数计算计算例如通过计算分子的能量和电子结构等参数来预测分子的化学结构，需要用到方程求根的方法化学结构预测化学结构预测 生物学中的方程求根问题生物学中的方程求根问题例如通过比对基因表达谱，可以建立非线性方程组来推断基因间的关系，需要用方程求根的方法逆向遗传学逆向遗传学例如计算药物的代谢速率时需要解非线性方程组，方程求根也是必不可少的药物代谢药物代谢例如在设计基于生物材料的医疗器械时需要计算一些非线性方程，需要用方程求根的方法生物医学工程生物医学工程 方程求根的未来发展方程求根的未来发展方程求根的未来发展方程求根的未来发展随着计算机技术的不断发展，方程求根的算法也在不断优化。例如利用深度学习等技术随着计算机技术的不断发展，方程求根的算法也在不断优化。例如利用深度学习等技术来优化方程求根的算法，从而实现更快更准确的计算。此外，在未来的研究中，我们还来优化方程求根的算法，从而实现更快更准确的计算。此外，在未来的研究中，我们还可以将方程求根应用于更多的领域，为人类解决更多的实际问题。可以将方程求根应用于更多的领域，为人类解决更多的实际问题。0606第第6章章 总结总结课程回顾课程回顾本章节主要回顾了方程求根的基础知识、复杂情况下的方程求根方法、方程求根算法的数值分析以及方程求根在实际问题中的应用。方程求根基础知识方程求根基础知识在区间a,b中寻找方程f(x)0的解二分法二分法在区间a,b中寻找方程f(x)=0的连续近似解割线法割线法用复合函数的形式迭代求解方程f(x)=0牛顿迭代法牛顿迭代法 复杂情况下的方程求根方法复杂情况下的方程求根方法解决非单调区间上函数零点的定位问题上下文法上下文法在区间a,b中寻找方程f(x)=0的连续近似解弦截法弦截法一种求方程根的间接数值方法反复加倍法反复加倍法 方程求根算法的数值分析方程求根算法的数值分析比较各种方程求根算法的优劣优化算法优化算法分析方程求根算法的收敛性和收敛速度收敛性分析收敛性分析分析方程求根算法的稳定性稳定性分析稳定性分析 方程求根在实际问题中的应用方程求根在实际问题中的应用如负荷潮流计算、短路计算等电力系统中的电力系统中的应用应用如化学反应 kinetics 方程等化学反应及化化学反应及化工过程中的应工过程中的应用用如行星运动等物理学中的应物理学中的应用用 作者：Steven C.Chapra,Raymond P.CanaleNumerical Methods for EngineersNumerical Methods for Engineers0103作者：William H.Press,et al.Numerical Recipes in CNumerical Recipes in C02作者：Steven L.Trefethen,David Bau IIINumerical Analysis Using MATLAB Numerical Analysis Using MATLAB and Exceland Excel 0707第第7章章 附附录录符号表示符号表示本页为方程求根计算方法课件的附录。在本课程中，会使用一些特定的符号来表示不同的数学概念，这些符号的含义将在本页进行解释。实验指导书实验指导书本页为方程求根计算方法课件的附录。在学习方程求根算法时，实践操作非常重要。在本页中，将提供二分法、牛顿迭代法和割線法实验操作的详细指导书，帮助学生更好地理解算法的实际应用。附加资料附加资料本页为方程求根计算方法课件的附录。在学习方程求根算法时，还需要了解更多相关的资料。在本页中，将提供方程求根相关的附加资料，以及方程求根算法的Python代码，帮助学生深入学习和探究。题目解答题目解答本页为方程求根计算方法课件的附录。在学习方程求根算法时，需要练习和巩固所学知识。在本页中，将提供课程中涉及的题目和实践操作的详细解答，帮助学生更好地掌握知识。确定初始区间步骤步骤1 10103判断根的位置步骤步骤3 302计算中点步骤步骤2 2牛顿迭代法特点牛顿迭代法特点收敛速度快优点优点理论上收敛到一阶优点优点初始值不好确定时可能不收敛不足不足需要求导数，计算量大不足不足牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代法收敛速度快，理论上收敛到一阶收敛速度快，理论上收敛到一阶需要求导数，计算量大需要求导数，计算量大可能会出现震荡现象可能会出现震荡现象割線法割線法割線法割線法不需要求导数不需要求导数不需要预先确定两个端点不需要预先确定两个端点可能会出现不收敛或收敛速度慢的情况可能会出现不收敛或收敛速度慢的情况二次插值法二次插值法二次插值法二次插值法收敛速度较快收敛速度较快需要保证函数在区间内进行三次连续微分需要保证函数在区间内进行三次连续微分可能会出现跳动现象可能会出现跳动现象方程求根算法比较方程求根算法比较二分法二分法二分法二分法适用于函数单调、有根的情况适用于函数单调、有根的情况需要确定初始区间需要确定初始区间收敛速度较慢收敛速度较慢二分法算法流程二分法算法流程二分法算法流程二分法算法流程二分法算法是解方程的常见方法之一。下图是二分法算法的流程图，可以看到，二分法二分法算法是解方程的常见方法之一。下图是二分法算法的流程图，可以看到，二分法算法的关键在于确定初始区间，然后计算中点，判断根的位置，更新区间，继续迭代，算法的关键在于确定初始区间，然后计算中点，判断根的位置，更新区间，继续迭代，直到满足精度要求。直到满足精度要求。割線法步骤割線法步骤确定迭代起始点a和b步骤步骤1 1计算f(a)和f(b)步骤步骤2 2计算斜率步骤步骤3 3计算交点步骤步骤4 4二分法优缺点二分法优缺点适用于函数单调、有根的情况优点优点收敛速度较慢，但收敛稳定优点优点需要确定初始区间不足不足不适用于函数发生变化的情况不足不足选择初始估计值步骤步骤1 10103计算下一个近似值x1步骤步骤3 302计算f(x)和f(x)步骤步骤2 2PythonPython代码代码以下是方程求根算法的Python代码，供大家参考：python#二分法求方程根def bisection(f,a,b,tol):f:函数 a,b:初始区间 tol:精度要求 fa f(a)fb=f(b)if fa*fb 0:return None while abs(b-a)tol:c=(a+b)/2 fc=f(c)if fa*fc 0:a=c fa=fc else:b=c fb=fc return c THANKS