《线性代数实验》课件.pptx

线性代数实验线性代数实验 制作人：时间：2024年X月目录目录第第1 1章章 线性代数实验简介线性代数实验简介第第2 2章章 线性代数基础线性代数基础第第3 3章章 线性变换线性变换第第4 4章章 线性空间线性空间第第5 5章章 线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法第第6 6章章 线性代数实验总结线性代数实验总结第第7 7章章 线性代数实验线性代数实验 0101第第1章章 线线性代数性代数实验简实验简介介 课程介绍课程介绍课程介绍课程介绍本课程是针对线性代数实验的课程，旨在帮助学生更好地掌握线性代数实验本课程是针对线性代数实验的课程，旨在帮助学生更好地掌握线性代数实验相关知识。本课程将包括实验内容、实验规则、实验计划表等方面，帮助学相关知识。本课程将包括实验内容、实验规则、实验计划表等方面，帮助学生更好地掌握实验相关知识。生更好地掌握实验相关知识。实验设备实验设备操作系统为Windows或Linux计算机计算机MATLAB或Octave线性代数软件线性代数软件包包Sublime Text或VS Code文本编辑器文本编辑器 实验环境实验环境提供计算机和网络环境自习室自习室MATLAB或Octave线性代数软件线性代数软件包包Sublime Text或VS Code文本编辑器文本编辑器 实验规则实验规则实验报告需独立完成，任何形式的抄袭都会被严肃处理禁止抄袭禁止抄袭按时提交实验报告和作业时间管理时间管理遵守实验室相关规定实验室管理实验室管理 矩阵运算及应用实验实验1 10103矩阵特征值和特征向量实验实验3 302线性方程组及其解法实验实验2 2作业布置方式作业布置方式每周布置一次作业，内容主要为课堂内容的巩固和拓展。作业需要独立完成，按时提交。作业成绩占总评成绩的30%。实验报告要求实验报告要求包括封面、目录、正文、参考文献等内容，并保证格式规范统一格式要求格式要求详细陈述实验步骤，并保证实验步骤正确无误实验步骤实验步骤数据结果以表格和图形等形式展示数据展示数据展示 课堂表现考核课堂表现考核积极回答问题并提出问题课堂提问课堂提问正确操作实验设备和软件实验操作实验操作认真记录课堂笔记课堂笔记课堂笔记 期末实验考试期末实验考试考察基本概念的掌握情况概念解释概念解释考察实验操作的熟练程度实验操作实验操作考察实验知识的综合应用能力综合应用综合应用 0202第第2章章 线线性代数基性代数基础础 向量和矩阵向量和矩阵向量和矩阵向量和矩阵向量是空间中的一种基本概念，可以进行加法、数乘等运算。矩阵是一种特向量是空间中的一种基本概念，可以进行加法、数乘等运算。矩阵是一种特殊的矩形数组，可以表示一组向量的线性组合。殊的矩形数组，可以表示一组向量的线性组合。向量的运算向量的运算定义及性质向量加法向量加法定义及性质向量数乘向量数乘定义及计算方法向量点积向量点积 矩阵的运算矩阵的运算定义及性质矩阵加法矩阵加法定义及性质矩阵数乘矩阵数乘定义及计算方法矩阵乘法矩阵乘法 线性方程组的解法线性方程组的解法基本思想及步骤高斯消元法高斯消元法定义及计算方法矩阵求逆矩阵求逆定义及计算方法LULU分解分解 定义及性质行列式的计算方法行列式的计算方法0103 02解线性方程组，求逆矩阵行列式的应用行列式的应用特征值和特征向特征值和特征向特征值和特征向特征值和特征向量量量量特征向量是一个向量在矩阵作用下的不变方向，而特征值是特征向量所在直特征向量是一个向量在矩阵作用下的不变方向，而特征值是特征向量所在直线的长度。线的长度。特征向量的求解特征向量的求解特征向量的求解特征向量的求解利用特征值求解特征向量利用特征值求解特征向量矩阵对角化矩阵对角化应用应用应用应用求解差分方程求解差分方程主成分分析主成分分析工具工具工具工具MATLABMATLABPythonPython特征值和特征向量的求解特征值和特征向量的求解特征值的求解特征值的求解特征值的求解特征值的求解求解特征多项式求解特征多项式利用特征多项式求解特征值利用特征多项式求解特征值 0303第第3章章 线线性性变换变换 线性变换的定义线性变换的定义线性变换是指在向量空间内从一个向量到另一个向量的变换，且保持向量空间的加法和数乘运算不变。线性变换的性质线性变换的性质T(0)0保持零向量不保持零向量不变变T(aV+bW)=aT(V)+bT(W)保持向量的线保持向量的线性组合性组合T(ei)=Ti（i为基向量编号）保持基向量的保持基向量的映射映射 矩阵表示的定义矩阵表示的定义矩阵表示的定义矩阵表示的定义和性质和性质和性质和性质矩阵表示是一种将线性变换转化为矩阵的形式表示，其中列向量为原向量的矩阵表示是一种将线性变换转化为矩阵的形式表示，其中列向量为原向量的映射。矩阵表示具有线性性和唯一性。映射。矩阵表示具有线性性和唯一性。矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示一种将线性变换转化为矩阵形一种将线性变换转化为矩阵形式的表示方法式的表示方法可以方便计算线性变换的性质可以方便计算线性变换的性质 线性变换与矩阵表示的关系线性变换与矩阵表示的关系线性变换线性变换线性变换线性变换将向量从一个空间映射到另一将向量从一个空间映射到另一个空间个空间保持向量空间的线性性质保持向量空间的线性性质基变换的定义和性质基变换的定义和性质是指在不改变向量空间内向量与向量之间的关系的前提下，将原向量空间的基换成另外一组基基变换的定义基变换的定义可以刻画线性变换在两个基之间的联系，不改变向量空间内向量与向量之间的关系基变换的性质基变换的性质 系数矩阵是由新基向量按列排成的矩阵列向量表示法列向量表示法0103 02新基向量是用原基向量线性表示的向量矩阵矩阵变换法矩阵变换法正交变换的定义正交变换的定义正交变换的定义正交变换的定义和性质和性质和性质和性质正交变换是指保持向量内积和向量模长度不变的线性变换。正交变换的逆变正交变换是指保持向量内积和向量模长度不变的线性变换。正交变换的逆变换是它的转置，所以正交变换是可逆的。换是它的转置，所以正交变换是可逆的。特征值特征值特征值特征值变换后向量长度的比例变换后向量长度的比例对应特征向量对应特征向量 正交变换与特征值的关系正交变换与特征值的关系正交变换正交变换正交变换正交变换保持向量内积和向量长度不变保持向量内积和向量长度不变可逆可逆 0404第第4章章 线线性空性空间间 线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间是指满足特定条件的向量集合，其中包含加法和数乘操作，并且满线性空间是指满足特定条件的向量集合，其中包含加法和数乘操作，并且满足一些基本性质，例如闭合性、结合律、分配律等。足一些基本性质，例如闭合性、结合律、分配律等。线性空间的基本性质线性空间的基本性质向量加法和数乘的结果仍在向量集合中闭合性闭合性向量加法和数乘都满足结合律结合律结合律存在加法单位元，使得向量加上该元素后不发生改变单位元单位元 实数集合构成一个线性空间实数域实数域0103所有多项式函数形成一个线性空间多项式函数空间多项式函数空间02所有矩阵形成一个线性空间矩阵空间矩阵空间子空间和维数子空间和维数子空间是指线性空间的子集，同时也是线性空间。维数是指线性空间中最小的向量组成的集合大小，通常用n表示，线性空间中任意n个线性无关向量张成一个n维子空间。计算方法计算方法计算方法计算方法对于有限维线性空间，可以使对于有限维线性空间，可以使用行列式的方法计算维数用行列式的方法计算维数对于无限维线性空间，通常使对于无限维线性空间，通常使用用HamelHamel基计算基计算应用应用应用应用维数可以帮助判断两个同维数维数可以帮助判断两个同维数的线性空间是否同构的线性空间是否同构在研究线性变换时，维数也是在研究线性变换时，维数也是一个重要的参数一个重要的参数 维数的定义和计算方法维数的定义和计算方法定义定义定义定义线性空间中最小的向量组成的线性空间中最小的向量组成的集合大小集合大小等价于子空间的基的个数等价于子空间的基的个数线性变换在线性线性变换在线性线性变换在线性线性变换在线性空间中的应用空间中的应用空间中的应用空间中的应用线性变换是指将一个向量空间的向量映射到另一个向量空间的向量的操作。线性变换是指将一个向量空间的向量映射到另一个向量空间的向量的操作。在同维空间中，线性变换可以描述旋转、平移等操作。在不同维空间中，线在同维空间中，线性变换可以描述旋转、平移等操作。在不同维空间中，线性变换可以描述投影、伸缩等操作。性变换可以描述投影、伸缩等操作。线性变换在同维空间中的作用线性变换在同维空间中的作用旋转矩阵可以描述平面或空间中的旋转操作旋转旋转平移矩阵可以描述平面或空间中的平移操作平移平移缩放矩阵可以描述平面或空间中的放大或缩小操作缩放缩放 将一个n维空间的向量投影到一个m维子空间中投影投影0103将一个n维空间的向量绕着某个轴进行旋转操作旋转旋转02将一个n维空间的向量沿着某个方向进行伸缩操作伸缩伸缩像像像像线性变换的像是指映射到的向线性变换的像是指映射到的向量集合量集合像的维数可以帮助判断线性变像的维数可以帮助判断线性变换的值域换的值域计算方法计算方法计算方法计算方法可以使用矩阵的行列式和秩的可以使用矩阵的行列式和秩的计算方法来计算核和像的维数计算方法来计算核和像的维数也可以使用线性方程组的解法也可以使用线性方程组的解法来计算核和像来计算核和像 核与像核与像核核核核线性变换的核是指映射到零向线性变换的核是指映射到零向量的向量集合量的向量集合核的维数可以帮助判断线性变核的维数可以帮助判断线性变换的满秩性换的满秩性 0505第第5章章 线线性方程性方程组组的数的数值值解解法法 直接法直接法基本思想和步骤高斯消元法高斯消元法L和U的求解方法LULU分解法分解法 迭代法迭代法迭代公式和收敛性分析JacobiJacobi迭代法迭代法迭代公式和收敛性分析Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法迭代法 特征值计算方法特征值计算方法基本思想和算法流程幂法幂法基本思想和算法流程反迭代法反迭代法 高斯消元法高斯消元法高斯消元法高斯消元法高斯消元法是一种求解线性方程组的直接法，通过消元和回带的过程将系数高斯消元法是一种求解线性方程组的直接法，通过消元和回带的过程将系数矩阵化为上三角形式，再通过回代求解未知量。该方法具有精度高、计算速矩阵化为上三角形式，再通过回代求解未知量。该方法具有精度高、计算速度快等优点，但受到矩阵奇异性的影响，有可能求解失败。度快等优点，但受到矩阵奇异性的影响，有可能求解失败。JacobiJacobiJacobiJacobi迭代法迭代法迭代法迭代法JacobiJacobi迭代法是一种求解线性方程组的迭代法，通过将原方程组分成对角线迭代法是一种求解线性方程组的迭代法，通过将原方程组分成对角线和非对角线两部分，然后迭代求解，直到满足一定的精度要求。该方法具有和非对角线两部分，然后迭代求解，直到满足一定的精度要求。该方法具有易于编程、收敛速度快等优点，但需要满足一定的收敛条件。易于编程、收敛速度快等优点，但需要满足一定的收敛条件。迭代法迭代法迭代法迭代法计算精度一般计算精度一般计算时间短计算时间短受收敛条件影响大受收敛条件影响大共同点共同点共同点共同点都能求解线性方程组都能求解线性方程组都需要进行数值计算都需要进行数值计算都有优点和局限性都有优点和局限性 直接法直接法 VS VS 迭代法迭代法直接法直接法直接法直接法计算精度高计算精度高计算时间长计算时间长受矩阵奇异性影响大受矩阵奇异性影响大利用特征向量和特征值的性质基本思想基本思想0103精度高、具有普适性优点优点02选择初始向量，进行迭代求解算法流程算法流程反迭代法反迭代法反迭代法是一种特征值计算方法，通过将幂法求出的特征向量作为初始向量，再进行迭代求解，得到离所需特征值最近的特征向量和特征值。该方法具有效率高、精度高等优点，但需要进行复杂的计算。0606第第6章章 线线性代数性代数实验总结实验总结 实验心得实验心得通过本次实验，我深刻认识到线性代数在现代科学中的重要性。不仅如此，我还意识到线性代数对于我的专业研究有着不可替代的作用。通过实验，我充分掌握了矩阵的基本运算和变换方法，同时也提高了对向量空间和矩阵特征值等概念的理解。实验收获实验收获 掌握了矩阵的掌握了矩阵的基本运算和变基本运算和变换方法换方法 提高了对向量提高了对向量空间和矩阵特空间和矩阵特征值等概念的征值等概念的理解理解 加深了对线性加深了对线性代数在现代科代数在现代科学中的认识学中的认识 课程评价课程评价本次线性代数实验课程内容充实，教学方法灵活多样，老师耐心细致。实验报告的设计和要求也非常合理，让我们更好地理解线性代数的概念和应用。虽然实验任务较为繁琐，但是通过实验我深刻认识到线性代数在现代科学中的重要性。教学效果教学效果 提高了对线性提高了对线性代数基础知识代数基础知识的掌握程度的掌握程度 加深了对线性加深了对线性代数在科学中代数在科学中的应用的认识的应用的认识 提高了实验报提高了实验报告撰写和表达告撰写和表达的能力的能力 增强了团队合增强了团队合作意识作意识未来发展未来发展未来发展未来发展随着科学技术的不断发展，线性代数在各个领域中的应用也越来越广泛。在随着科学技术的不断发展，线性代数在各个领域中的应用也越来越广泛。在医学领域，线性代数被应用于人脑和人体器官的成像和研究；在工程领域，医学领域，线性代数被应用于人脑和人体器官的成像和研究；在工程领域，线性代数被应用于控制系统和电力系统的建模和分析；在金融领域，线性代线性代数被应用于控制系统和电力系统的建模和分析；在金融领域，线性代数被应用于风险评估和证券分析等方面。可以预见，随着科学技术的不断进数被应用于风险评估和证券分析等方面。可以预见，随着科学技术的不断进步，线性代数的应用范围还将不断扩大。步，线性代数的应用范围还将不断扩大。线性代数基础线性代数基础线性代数基础线性代数基础作者作者:Stephen H.Friedberg:Stephen H.Friedberg、Arnold J.InselArnold J.Insel、Laurence Laurence E.SpenceE.Spence线性代数线性代数线性代数线性代数作者作者:小林亮小林亮实用线性代数实用线性代数实用线性代数实用线性代数作者作者:Heywood T.Dudley:Heywood T.Dudley推荐书目推荐书目线性代数及其应用线性代数及其应用线性代数及其应用线性代数及其应用原书第原书第4 4版版作者作者:Gilbert Strang:Gilbert Strang作者:吴小平线性代数习题集线性代数习题集0103作者:麻晋萍、贺光荣、高松线性代数线性代数02作者:杨振宁线性代数自学与实验指导线性代数自学与实验指导 0707第第7章章 线线性代数性代数实验实验 实验内容实验内容包括加、减、乘等运算的实现矩阵运算实验矩阵运算实验涉及平移、旋转和缩放等变换的实现矩阵变换实验矩阵变换实验使用高斯消元法和矩阵求逆法求解线性方程组线性方程组求线性方程组求解实验解实验求解矩阵的特征值和特征向量特征值与特征特征值与特征向量实验向量实验矩阵运算实验矩阵运算实验矩阵运算实验矩阵运算实验矩阵运算是线性代数的基础，包括加、减、乘等运算。在实验中，我们会实矩阵运算是线性代数的基础，包括加、减、乘等运算。在实验中，我们会实现这些运算，并应用到线性方程组求解、图像处理等领域。现这些运算，并应用到线性方程组求解、图像处理等领域。旋转旋转旋转旋转旋转矩阵的实现旋转矩阵的实现应用实例：旋转图像应用实例：旋转图像缩放缩放缩放缩放缩放矩阵的实现缩放矩阵的实现应用实例：图像缩放应用实例：图像缩放综合应用综合应用综合应用综合应用多个线性变换的组合应用多个线性变换的组合应用应用实例：图像变形应用实例：图像变形线性变换实验线性变换实验平移平移平移平移平移矩阵的实现平移矩阵的实现应用实例：平移图像应用实例：平移图像高斯消元法求解线性方程组高斯消元法求解线性方程组通过逐步消去未知量，将方程组化为上三角矩阵，再回代求解高斯消元法的高斯消元法的原理原理包括矩阵初等变换、主元消去等步骤高斯消元法的高斯消元法的实现实现通过求解矩阵的逆矩阵，得到线性方程组的解矩阵求逆法求矩阵求逆法求解线性方程组解线性方程组 特征值和特征向量的定义和性质特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的概念0103使用特征值和特征向量进行PCA降维，并应用于图像处理和数据分析应用实例：应用实例：PCAPCA降维降维02通过求解矩阵的特征方程来得到特征值和特征向量求解特征值和特征向量的方法求解特征值和特征向量的方法奇异值分解实验奇异值分解实验奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵为对角矩阵，对角线上的元素为奇异值。在实验中，我们会实现奇异值分解，并应用于图像压缩和数据降维等领域。THANKS 谢谢观看！