定积分应用二市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
第十章第十章 定积分应用（二）定积分应用（二）平面曲线弧长与曲率平面曲线弧长与曲率定积分在物理中一些应用定积分在物理中一些应用第1页怎样应用定积分处理问题怎样应用定积分处理问题?第一步第一步 利用“分割（化整为零）,代替（以曲代直或以常代变）”求出局部量近似值，即微分表示式第二步第二步 利用“求和（积零为整）,取极限（无限累加）”求出整体量准确值，即得积分表示式这种分析方法成为微元法（又称元素法）法（又称元素法）微元几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳 等第2页一、平面曲线弧长一、平面曲线弧长定义定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段最大边长 0 时,折线长度趋向于一个确定极限,此极限为曲线弧 AB 弧长,即并称此曲线弧为可求长.定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长.（见P247）(证实略)则称第3页定义：设平面曲线定义：设平面曲线定义：设平面曲线定义：设平面曲线C C C C由参数方程由参数方程由参数方程由参数方程 （1 1 1 1）给出。假如给出。假如给出。假如给出。假如 与与与与 在在在在 上连续可微，且上连续可微，且上连续可微，且上连续可微，且 与与与与 不一样时为零（即不一样时为零（即不一样时为零（即不一样时为零（即 ），），），），则称则称则称则称C C C C为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都含有切线为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都含有切线为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都含有切线为一条光滑曲线。（当曲线上每一点都含有切线且切线随切点移动而连续转动）且切线随切点移动而连续转动）且切线随切点移动而连续转动）且切线随切点移动而连续转动）定理定理定理定理10.1 10.1 10.1 10.1 设曲线设曲线设曲线设曲线C C C C由参数方程由参数方程由参数方程由参数方程(1)(1)(1)(1)给出。若给出。若给出。若给出。若C C C C为一光滑为一光滑为一光滑为一光滑曲线，则曲线，则曲线，则曲线，则C C C C是可求长，且弧长为是可求长，且弧长为是可求长，且弧长为是可求长，且弧长为第4页(1)(1)曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):所以所求弧长(P249)第5页(2)(2)曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):所以所求弧长第6页(3)(3)曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:所以所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)第7页例例例例1.1.两根电线杆之间电线两根电线杆之间电线,因为其本身重量因为其本身重量,成悬链线.求这一段弧长.解解:下垂悬链线方程为第8页例例例例2.2.求连续曲线段求连续曲线段解解:弧长.第9页例例例例3.3.计算摆线计算摆线一拱弧长.解解:第10页例例例例4.4.求阿基米德螺线求阿基米德螺线对应于 02一段弧长.解解:第11页一、一、变力沿直线所作功变力沿直线所作功二、二、液体侧压力液体侧压力三、引力问题三、引力问题二、定积分在物理中一些应用 四、惯性问题四、惯性问题第12页一、一、变力沿直线所作功变力沿直线所作功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到力方向与运动方向平行,求变力所做功.在其上所作功微元为所以变力F(x)在区间 上所作功为第13页例例例例1.1.一个单求电场力所作功.解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为则功微元为所求功为说明说明:位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生电场作用下,第14页例例例例2.2.体,求移动过程中气体压力所解解:因为气体膨胀,把容器中一个面积为S 活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作功.建立坐标系如图.由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即功微元为故作用在活塞上所求功为力为在底面积为 S 圆柱形容器中盛有一定量气 第15页例例例例3.3.试问要把桶中水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.在任一小区间上一薄层水重力为这薄层水吸出桶外所作功(功微元功微元)为故所求功为设水密度为一蓄满水圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,第16页面积为 A 平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,就包括到侧压力问题.所受侧压力问题就需用积分处理.整张平板所受压力为因为各点受力均等，所以平板一侧所受压力也为这个结果.第17页小窄条上各点压强例例例例4.4.液体,求桶一个端面所受侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆利用对称性,侧压力微元端面所受侧压力为方程为一水平横放半径为R 圆桶,内盛半桶密度为 第18页三、三、引力问题引力问题质量分别为质点,相距 r,二者间引力:大小:方向:沿两质点连线若考虑物体物体对质点引力,则需用积分处理.第19页例例例例5.5.设有一长度为 l,线密度为 均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 质点 M,该棒对质点引力.解解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点引力大小为故垂直分力元素为在试计算第20页利用对称性利用对称性棒对质点引力水平分力故棒对质点引力大小为棒对质点引力垂直分力为 第21页说明说明说明说明:2)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a 2 R)水池底,水密度多少功?解解:建立坐标系如图.则对应上球薄片提到水面上微功为提出水面后微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度第46页所以微功元素为所以微功元素为球从水中提出所做功为“偶倍奇零偶倍奇零”第47页11.11.设有半径为设有半径为 R R 半球形容器如图半球形容器如图.(1)以每秒 a 升速度向空容器中注水,求水深为为h(0 h R)时水面上升速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做功最少应为多少?解解:过球心纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过 t 秒容器内水深为h,第48页(1)(1)求求由题设,经过 t 秒后容器内水量为而高为 h 球缺体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:故有两边对 t 求导,得at(升),第49页(2)(2)将满池水全部抽出所做最少功将满池水全部抽出所做最少功为将全部水提对应于微元体积:微元重力:薄层所需功元素故所求功为到池沿高度所需功.第50页说明说明说明说明:当桶内充满液体时,小窄条上压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数(P350 公式67)第51页Have a nice weekend See you on Monday第52页
