立体几何新定义问题--2025新高考新数学风向含答案.pdf
水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢立体几何新定义问题解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。题型一新定义坐标题型一新定义坐标1 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”下向量的斜60坐标：i,j,k分别为“斜60坐标系”下三条数轴(x轴，y轴，z轴)正方向上的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组 x,y,z一一对应，称向量n的斜60坐标为 x,y,z，记作n=x,y,z(1)若a=1,2,3,b=-1,1,2，求a+b的斜60坐标；(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3,BAD=BAA1=DAA1=60，建立“空间斜60坐标系”如下图所示若BE=EB1，求向量ED1 的斜60坐标；若AM=3,t,0，且AM AC1，求 AM 1立体几何新定义问题-2025新高考新数学风向含答案水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【跟踪训练】【跟踪训练】2已知单位向量 i，j，k两两的夹角均为(0时，截口曲线为椭圆；当=时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线如图1所示，其中,0,2，现有一定线段AB，其与平面所成角(如图2)，B为斜足，上一动点P满足BAP=，设P点在的运动轨迹是，则()A.当=6,=4时，是抛物线B.当=3,=6时，是双曲线C.当=4,=4时，是圆D.当=3,=4时，是椭圆2北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为2-33=，故其总曲率为4，则四棱锥的总曲率为()3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.2B.4C.5D.63多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足V+F-E=2的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：碳60 C60具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示碳60 C60的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的个数是()A.22B.20C.18D.164设Ox,Oy,Oz是空间中两两夹角均为 0,2的三条数轴，e1,e2,e3 分别是与x,y,z轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1+ye2+ze3 x,y,zR R，则把有序数对(x,y,z)叫作向量OP 在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是()A.若向量a=(-1,3,-7)，向量b=(3,-2,4)，则a+b=(2,1,3)B.若向量a=(2,6,-3)2，向量b=(3,-1,0)2，则ab=0C.若向量a=(x,y,0)，向量b=(1,2,0)，则当且仅当x:y=1:2时，=6D.若向量OA=(1,0,0)3，向量OB=(0,1,0)3，向量OC=(0,0,1)3，则二面角O-AB-C的余弦值为135阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12Q1PQ2+Q2PQ3+Qk-1PQk+QkPQ1，其中Qii=1,2,k,k3为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB，则下列说法正确的是()4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.四棱柱AC1在其各顶点处的离散曲率都相等B.若AC=BD，则四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为14C.若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为712，则AC1平面A1BDD.若四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为13，则BC1与平面ACC1的夹角为4618世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式V=16h(L+4M+N)(其中h,L,M,N分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为V=162R 0+4R2+0=43R3；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为V=16h 0+4a22+a2=13a2h.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球O的表面积为36cm2，若用距离球心O都为1cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为cm3.7三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程即过点P x0,y0,z0且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程为a x-x0+b y-y0+c z-z0=0，过点P x0,y0,z0且方向向量为v=m,n,tmnt0的直线l的方程为x-x0m=y-y0n=z-z0t三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为x-y+z+1=0，直线l是两个平面x-y+2=0与2x-z+1=0的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了谁知“诸葛亮”很快就算出了答案请问答案是8勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过A,B,C三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为.5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢9设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12Q1PQ2+Q2PQ3+Qk-1PQk+QkPQ1，其中Qi(i=1，2，k，k3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PO2，平面Q2PO3，平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面已知在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AA1=AB=1(1)求直四棱柱ABCD-AB1C1D1在各个顶点的离散曲率之和；(2)若直四棱柱ABCD-AB1C1D1在点A处的离散曲率为x，直四棱柱ABCD-AB1C1D1体积为 f x，求函数y=f x的解析式及单调区间6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢10球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角 边 面积等问题，其在航海 航空 卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，BC，CA所组成的图形称为球面ABC，记其面积为S球面ABC.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和A；若球面上A，B，C的对径点分别为A，B，C，则球面ABC与球面ABC全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧AB和AC所在平面交成的锐二面角B-AO-C的大小为，圆弧BA和BC所在平面 圆弧CA和CB所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记S=S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC.(1)请写出S，S2，S3的值，并猜测函数S 的表达式；(2)求S球面ABC(用，R表示).7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢11类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，APC=，BPC=，APB=，二面角A-PC-B的大小为，则cos=coscos+sinsincos(1)当、0,2时，证明以上三面角余弦定理；(2)如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60，BAC=45，求A1AB的余弦值；在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢12北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为2-33=，故其总曲率为4(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢立体几何新定义问题解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。解题要点：根解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。后解决问题。题型一题型一新定义坐标新定义坐标1空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60，我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60坐标系”下向量的斜60坐标：i,j,k分别为“斜60坐标系”下三条数轴(x轴，y轴，z轴)正方向上的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组 x,y,z一一对应，称向量n的斜60坐标为 x,y,z，记作n=x,y,z(1)若a=1,2,3,b=-1,1,2，求a+b的斜60坐标；(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3,BAD=BAA1=DAA1=60，建立“空间斜60坐标系”如下图所示若BE=EB1，求向量ED1 的斜60坐标；若AM=3,t,0，且AM AC1，求 AM【解】(1)a=1,2,3,b=-1,1,2，a+b=i+2j+3k+-i+j+2k=3j+5k=0,3,5,a+b的斜60坐标为 0,3,5(2)设 i,j,k分别为与AB,AD,AA1 同方向的单位向量，则AB=2i,AD=2j,AA1=3k，ED1=AD1-AE=AD+AA1-AB+12AA1=-AB+AD+12AA1=-2i+2j+32k=-2,2,32由题AC1=AB+AD+AA1=2i+2j+3k，由M=3,t,0，知AM=3i+tj，1水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢由AM AC1，知：AM AC1=2i+2j+3k 3i+tj=0,6i2+2tj2+6+2ti j+9k i+3tk j=0，6+2t+6+2t12+92+3t2=0，解得t=-3，则 AM=3i-3j=3i-3j2=3【跟踪训练】【跟踪训练】2已知单位向量 i，j，k两两的夹角均为(0时，截口曲线为椭圆；当=时，截口曲线为抛物线：当时，截口曲线为双曲线如图1所示，其中,0,2，现有一定线段AB，其与平面所成角(如图2)，B为斜足，上一动点P满足BAP=，设P点在的运动轨迹是，则()5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢A.当=6,=4时，是抛物线B.当=3,=6时，是双曲线C.当=4,=4时，是圆D.当=3,=4时，是椭圆【答案】D【解析】AB为定线段，BAP=为定值，P在以AB为轴的圆锥上运动，其中圆锥的轴截面半顶角为，与圆锥轴AB的夹角为，对于A，平面截圆锥得椭圆，故B错误；对于C，=，平面截圆锥得抛物线，故C错误；对于D，平面截圆锥得椭圆，故D正确；故选：D.2北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为2-33=，故其总曲率为4，则四棱锥的总曲率为()A.2B.4C.5D.6【答案】B【解析】由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为4+2=6，故总曲率为52-6=4故选B.6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢3多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足V+F-E=2的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：碳60 C60具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示碳60 C60的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的个数是()A.22B.20C.18D.16【答案】B【解析】由题意可知V=60，F=32，由V+F-E=2可得E=90，设正五边形的个数为x，正六边形的个数为y，则x+y=32，因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数E=125x+6y=90，联立125x+6y=90 x+y=32，解得x=12y=20，即32个面中正六边形面的个数是20，故选B.4设Ox,Oy,Oz是空间中两两夹角均为 0,2的三条数轴，e1,e2,e3 分别是与x,y,z轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1+ye2+ze3 x,y,zR R，则把有序数对(x,y,z)叫作向量OP 在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是()A.若向量a=(-1,3,-7)，向量b=(3,-2,4)，则a+b=(2,1,3)B.若向量a=(2,6,-3)2，向量b=(3,-1,0)2，则ab=0C.若向量a=(x,y,0)，向量b=(1,2,0)，则当且仅当x:y=1:2时，=6D.若向量OA=(1,0,0)3，向量OB=(0,1,0)3，向量OC=(0,0,1)3，则二面角O-AB-C的余弦值为13【答案】BD【解析】对于A，若向量a=(-1,3,-7)=-e1+3e2-7e3，向量b=(3,-2,4)=3e1-2e2+4e3，则a+b=2e1+e2-3e3=(2,1,-3)，故A错误；对于B，若向量a=(2,6,-3)2，向量b=(3,-1,0)2，7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢此时在空间直角坐标系中ab=23+6-1=0，故B正确；对于C，若向量a=(x,y,0)=xe1+ye2，向量b=(1,2,0)=e1+2e2，当x:y=1:2时，y=2x，则a=(x,y,0)=xe1+2xe2=x e1+xe2=xb，此时ab，显然=6不成立，故C错误；对于D，若向量OA=(1,0,0)3，向量OB=(0,1,0)3，向量OC=(0,0,1)3，则三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，取AB中点H，连接OH,HC，在等边OAB,ABC中，易知OHAB,HCAB，OH=HC=32,则OHC即为二面角O-AB-C的平面角，在OHC中，由余弦定理得，cosOHC=OH2+HC2-OC22OHHC=34+34-1234=13，所以二面角O-AB-C的余弦值为13，故D正确.故选：BD5阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12Q1PQ2+Q2PQ3+Qk-1PQk+QkPQ1，其中Qii=1,2,k,k3为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1=AB，则下列说法正确的是()A.四棱柱AC1在其各顶点处的离散曲率都相等B.若AC=BD，则四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为14C.若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为712，则AC1平面A1BDD.若四棱柱AC1在顶点A处的离散曲率为13，则BC1与平面ACC1的夹角为4【答案】BC【解析】A：当直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢B：若AC=BD，则菱形ABCD为正方形，因为AA1平面ABCD，AB,AD平面ABCD，所以AA1AB，AA1AD，所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为1-122+2+2=14，故B正确；C：在四面体A1ABD中AA1AB，AA1AD，AA1=AB=AD，所以AA1B=AA1D=4，所以四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为1-124+4+BA1D=712，解得BA1D=3，易知A1B=A1D=2AB，所以BD=2AB，所以ABAD，所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，因为C1D1平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以C1D1A1D，又AD1A1D,AD1C1D1=D1,AD1,C1D1平面AC1D1，所以A1D平面AC1D1，又AC1平面AC1D1，所以AC1A1D，同理BDAC1，又A1DBD=D,A1D,BD平面A1BD，所以AC1平面A1BD，故C正确，D：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为1-122+2+DAB=13,则DAB=3,即DAB是等边三角形,设ACBD=O,则BC1O即为BC1与平面ACC1的所成角,sinBC1O=12AB2AB=24,故D错误;故选：BC.618世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式V=16h(L+4M+N)(其中h,L,M,N分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为V=162R 0+4R2+0=43R3；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为V=16h 0+4a22+a2=13a2h.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球O的表面积为36cm2，若用距离球心O都为1cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为cm3.9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【答案】523【解析】如图所示，设上下截面小圆的圆心分别为E,F，上底面截面小圆上一点A，连接OA，因为球O的表面积为4R2=36，解得R=3，所以OA=R=3，又因为OE=1且OEEA，所以截面小圆半径r=EA=OA2-OE2=9-1=2 2,根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为：V=162 8+49+8=523.7三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程即过点P x0,y0,z0且一个法向量为n=a,b,c的平面的方程为a x-x0+b y-y0+c z-z0=0，过点P x0,y0,z0且方向向量为v=m,n,tmnt0的直线l的方程为x-x0m=y-y0n=z-z0t三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为x-y+z+1=0，直线l是两个平面x-y+2=0与2x-z+1=0的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了谁知“诸葛亮”很快就算出了答案请问答案是【答案】23【解析】因为平面的方程为x-y+z+1=0，故其法向量可取为p=(1,-1,1)，平面x-y+2=0的法向量可取为m=(1,-1,0)，平面2x-z+1=0的法向量可取为n=(2,0,-1)，直线l是两个平面x-y+2=0与2x-z+1=0的交线，设其方向向量为 =(s,t,q)，则m=s-t=0n=2s-q=0，令s=1，则 =(1,1,2)，故设直线l与平面所成的角为,0,2，则sin=|cos|=p|p|=23 6=23，10水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢8勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过A,B,C三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为.【答案】1-64-32【解析】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图1，点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球球心，由正四面体的性质可知该该球球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，则B,O,E三点共线，此时BE=1，BO为正四面体的外接球的半径，由于正四面体ABCD的棱长为1，其可以在棱长为22的正方体中截出，所以正四面体ABCD的外接球的半径即为棱长为22的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，则BO=64，故勒洛四面体能够容纳的最大球的半径OE=1-64；空2：如图2，根据勒洛四面体的构成可知，过A,B,C三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为60的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，所以所得截面的面积为-32.9设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12Q1PQ2+Q2PQ3+Qk-1PQk+QkPQ1，其中Qi(i=1，2，k，k3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PO2，平面Q2PO3，平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面已知在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AA1=AB=111水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(1)求直四棱柱ABCD-AB1C1D1在各个顶点的离散曲率之和；(2)若直四棱柱ABCD-AB1C1D1在点A处的离散曲率为x，直四棱柱ABCD-AB1C1D1体积为 f x，求函数y=f x的解析式及单调区间【解】(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1AD=A1AB=2，底面ABCD为菱形，由离散曲率的定义知：A,A1,C,C1的离散曲率相等，B,B1,D,D1的离散曲率相等，所以A处的曲率为1-122+2+BAD=12-BAD2，而D处的曲率为1-122+2+ADC=12-ADC2，又BAD+ADC=，所以A、D两处的曲率和为12-BAD2+12-ADC2=1-BAD+ADC2=12，故直四棱柱ABCD-AB1C1D1在各个顶点的离散曲率之和412=2.(2)由题设，A处的曲率1-122+2+BAD=12-BAD2=x，故BAD=(1-2x)，所以直四棱柱底面面积为2SABD=21212sin(1-2x)=sin(1-2x)=sin2x，故直四棱柱ABCD-AB1C1D1高为1，故体积为 f(x)=sin2x，令2k-22x2k+2，kZ，可得k-14xk+14，kZ，即 k-14,k+14，kZ上 f(x)递增；令2k+22x2k+32，kZ，可得k+14xk+34，kZ，即 k+14,k+34，kZ上 f(x)递减；所以 f(x)增区间为 k-14,k+14，减区间为 k+14,k+34，kZ.10球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角 边 面积等问题，其在航海 航空 卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，BC，CA所组成的图形称为球面ABC，记其面积为S球面ABC.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和A；若球面上A，B，C的对径点分别为A，B，C，则球面ABC与球面ABC全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧AB和AC所在平面交成的锐二面角B-AO-C的大小为，圆弧BA和BC所在平面 圆弧CA和CB所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记S=S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC.12水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(1)请写出S，S2，S3的值，并猜测函数S 的表达式；(2)求S球面ABC(用，R表示).【解】(1)S=4R2，S2=2R2，S3=43R2.猜测S=4R2.(2)S+S+S=S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC+S球面ABC=S球+2S球面ABC+2S球面ABC因为S球面ABC=S球面ABC，所以4R2+4R2+4R2=4R2+4S球面ABC，即S球面ABC=+-R2.11类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，APC=，BPC=，APB=，二面角A-PC-B的大小为，则cos=coscos+sinsincos(1)当、0,2时，证明以上三面角余弦定理；(2)如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60，BAC=45，求A1AB的余弦值；在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由【解】(1)证明：如图，过射线PC上一点H作HMPC交PA于M点，作HNPC交PB于N点，连接，MN13水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢则MHN是二面角A-PC-B的平面角在MNP中和MNH中分别用余弦定理，得MN2=MP2+NP2-2MPNPcos，MN2=MH2+NH2-2MHNHcos，两式相减得MP2-MH2+NP2-NH2-2MPNPcos+2MHNHcos=0，2MPNPcos=2PH2+2MHNHcos，两边同除以2MPNP，得cos=coscos+sinsincos(2)由平面AA1C1C平面ABCD，知=90，由(1)得cosA1AB=cosA1ACcosCAB，cosA1AC=60，cosBAC=45，cosA1AB=1222=24在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1连结B1C，延长C1C至P，使CP=C1C，连结BP，在棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B1/AB，AB/CD，A1B1/DC，四边形A1B1CD为平行四边形，A1DB1C在四边形B1BPC中，B1B/CP，四边形B1BPC为平行四边形，B1CBP，A1DBP，又A1D平面DA1C1，BP平面DA1C1，BP平面DA1C1当点P在C1C的延长线上，且使CP=C1C时，BP平面DA1C112北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为2-33=，故其总曲率为414水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数【解】(1)由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：25-4+2=4.(2)设顶点数、棱数、面数分别为n、l、m，所以有n-l+m=2设第i个面的棱数为xi，所以x1+x2+xm=2l所以总曲率为：2n-x1-2+x2-2+xm-2=2n-2l-2m=2 n-l+m=4所以这类多面体的总曲率是常数.15
