安徽合肥六校联盟2024年高一下学期期末联考数学试卷含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司合肥市普通高中六校联盟合肥市普通高中六校联盟 2023-2024 学年第二学期期末联考学年第二学期期末联考 高一年级数学试卷高一年级数学试卷（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分）分）命题学校：合肥五中命题学校：合肥五中一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，每小题只有一个正确答案每小题只有一个正确答案，请把正确请把正确答案涂在答题卡上答案涂在答题卡上）1“2560 xx+”是“2x”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2设函数()21,1,2,1,xxf xxx+=则()()3ff=（）A15B3 C23D1393我国北宋时期科技史上的杰作梦溪笔淡收录了计算扇形弧长的近似计算公式：22ABl=+矢弦径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径如图，已知扇形的面积为43，扇形所在圆O的半径为 2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）A32+B3 322+C4 312+D2 31+4已知zC，若()345zi+=，则z=（）A1 B2 C3 D4 5已知ABC的外接圆圆心为O，且2AOABAC=+，OAAC=，则向量CA 在向量CB 上的投影向量为（）A14CB B34CB C14CB D12CB 6若奇函数()f x在区间3,7上是增函数，且最小值为 5，则它在区间7,3上是（）学科网（北京）股份有限公司A增函数且有最大值5 B增函数且有最小值5 C减函数且有最大值5 D减函数且有最小值5 7如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，棱柱的侧面均为矩形，11AA=，3ABBC=，1cos3ABC=，P是1AB上的一动点，则1APPC+的最小值为（）A3B2 C5D78在ABC中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：coscosaAbB=；乙：22tantanaBbA=；丙：coscosaBbA=；丁：coscosabcBcA=判断结果与其它三个不一样的是（）A甲 B乙 C丙 D丁 二、多项选择题二、多项选择题：（：（本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分）9不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张，一次任意取出 2 张卡片，则与事件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A2 张卡片不全为红色 B2 张卡片恰有一张红色 C2 张卡片至少有一张红色 D2 张卡片都为绿色 10已知甲组数据为：1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（）A这两组数据的第 80 百分位数相等 B这两组数据的极差相等 C这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D甲组数据比乙组数据分散 11在OAB中，点1P，2P，1nP分别是AB上的n等分点，其中*Nn，4n，则（）A3221nnnnOPOPOPOP=B2312nnnOPOPOP=+C1111nnOPOAOBnn=+D()12121nOPOPOPnOAOB+=+三、填空题三、填空题：（本题共（本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分）12某乡镇有居民 20000 户，从中随机抽取 200 户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有_户 学科网（北京）股份有限公司 网线 动迁户 原住户 已安装 65 30 未安装 40 65 13若0a，0b，且()()4114ab=，则4ab+的最小值为_ 14如图，在矩形ABCD中，已知22ABADa=，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE，连接1AC若当三棱锥1ACDE的体积取得最大值时，三棱锥1ACDE外接球的体积为8 23，则a=_ 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（15 分）已知1a=，3b=，()3,1ab+=，求：（1）ab的值；（2）ab+与ab的夹角 16（15 分）已知函数()()2cos2 3sincossinf xxxxx=+（1）求函数()f x单调递增区间和最小正周期；（2）请选择和中的一个条件，补全下面的问题并求解，其中有解；恒成立 问题：若当0,2x时，关于x的不等式()f xm_，求实数m的取值范围 17（15 分）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如 135，256，345 等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由 1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只抽取 1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛（1）由 1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由 18（15 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，CDAB，ABBC，PAPD，1BCCDPAPD=，2AB=，平面PAD 平面PBC（1）若PB的中点为N，求证：CN平面PAD；学科网（北京）股份有限公司（2）求二面角PADB的正弦值19（17 分）n个有次序的实数12,na aa所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为()1,2,ia in=该向量的第i个分量特别地，对一个n维向量()12,naa aa=，若()11,2,iain=，称a为n维信号向量设()12,naa aa=，()12,nbb bb=，则a和b的内积定义为1niiia bab=，且0aba b=（1）直接写出 4 个两两垂直的 4 维信号向量；（2）证明：不存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量；（3）已知k个两两垂直的 2024 维信号向量12,kx xx 满足它们的前m个分量都是相同的，求证：45km 故选取规则对甲、乙两名学生不公平18（15 分）【详解】（1）设T是PA中点，连接TN，TD，如下图所示：在ABP中，TN为为中位线，所以：TNAB，12TNAB=，又因为：CDAB，12CDAB=，所以：TNCD，TNCD=，所以：四边形CDON为平行四边形，得：TDCN，TDCN=，又因为：CN 平面PAD，DT 平面PAD，所以：CN平面PAD（2）如上右图，延长AD和BC交于点Q，连接PQ过点B作BMPQ，垂足为点M，连接DM 因为：平面PAD 平面PBC，平面PAD平面PBCPQ=，所以：BM 平面BDM，因为：ADBD，ADBM，BDBMB=，且BM，BD 平面BDM，所以：AD 平面BDM，所以：BDM为所求二面角的平面角，在PDQ中，222cos5PQPDDQPD DQPDQ=+=，得：22252 13cos225210PQDQPQPQDPQ DQ+=，所以：2tan3DMDQPQD=，43MB=，所以：2 2sin3BMBDMBD=19（17 分）【解析】（1）根据题意，结合维向量的定义，学科网（北京）股份有限公司 则两两垂直的 4 维信号向量可以为：()1,1,1,1，()1,1,1,1，()1,1,1,1，()1,1,1,1（2）假设存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量1214,y yy ，因为将这 14 个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设()11,1,1y=，()21,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y=，因为130yy=，所以3y 有 7 个分量为1，设3y 的前 7 个分量中有r个1，则后 7 个分量中有7r个1，所以()()()()2317710yyrrrr=+=，可得72r=，矛盾，所以不存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量（3）任取,1,2,i jk，计算内积ijxx ，将所有这些内积求和得到S，则222122024kSxxxk=+=，设12,kx xx 的第k个分量之和为ic，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为2ic，所以222222212202412mScccccck m=+=，令22024kk m所以20242025km，所以45km
