2024山西省吕梁市文水县九年级上期中考试数学试题含答案.doc

2024学年山西省吕梁市文水县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并填到表格内）1已知函数：y=ax2；y=3（x1）2+2；y=（x+3）22x2；y=+x其中，二次函数的个数为（）A1个B2个C3个D4个2一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）3下列命题中的真命题是（）A全等的两个图形是中心对称图形B关于中心对称的两个图形全等C中心对称图形都是轴对称图形D轴对称图形都是中心对称图形4对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A1B2C3D45已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x1013y5131则下列判断中正确的是（）A抛物线开口向上B抛物线与y轴交于负半轴C当x=4时，y0D方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间64张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A第一张、第二张B第二张、第三张C第三张、第四张D第四张、第一张7抛物线y=x2x的顶点坐标是（）A（1，）B（1，）C（，1）D（1，0）8关于x的一元二次方程x26x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）ABCD9如图，将ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B位置，A点落在A位置，若ACAB，则BAC的度数是（）A50°B60°C70°D80°10二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3）8a+7b+2c0；（4）若点A（3，y1）、点B（，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程a（x+1）（x5）=3的两根为x1和x2，且x1x2，则x115x2其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个二、填空题（每题3分，共15分）11三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x213x+36=0的根，则三角形的周长为 2-1-c-n-j-y12将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若AOD=110°，则COB= 度13如图是“靠右侧通道行驶”的交通标志，若将图案绕其中心顺时针旋转90°，则得到的图案是“ ”交通标志（不画图案，只填含义）14若函数y=（a1）x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 15已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C，我们称以A为顶点且过点C，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 三、解答题（共75分）16（10分）解一元二次方程（1）x22x1=0（2）（2x3）2=（x+2）217（7分）实践与操作： 一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定角度（小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，叫做这个旋转对称图形的一个旋转角，请根据上述规定解答下列问题：（1）请写出一个有一个旋转角是90°旋转对称图形，这个图形可以是 ；（2）尺规作图：在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写做法）18（8分）如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标19（8分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？20（8分）某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据（1）求此抛物线的解析式；（2）计算所需不锈钢管的总长度21（8分）某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵（1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？22（12分）操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点如图、是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图说明理由（2）三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由21教育网23（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2+ax2经过点Bwww.21-cn-（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由-2018学年山西省吕梁市文水县九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并填到表格内）21世纪教育网版权所有1B；2B；3B；4C；5D；6A；7B；8B；9C；10B；二、填空题（每题3分，共15分）1113； 1270；13靠左侧通道行驶；141或2或1；15y=x22x3；2024山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1（3分）用配方法解一元二次方程x26x10=0时，下列变形正确的为（）A（x+3）2=1B（x3）2=1C（x+3）2=19D（x3）2=192（3分）关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1且k0Dk1且k03（3分）如图，A、B、C是O上的三点，BOC=70°，则A的度数为（）A70°B45°C40°D35°4（3分）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABCD5（3分）PA，PB分别切O于A，B两点，点C为O上不同于AB的任意一点，已知P=40°，则ACB的度数是（）A70°B110°C70°或110°D不确定6（3分）如图所示，O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，垂足为N，则ON=（）A5B7C9D117（3分）已知二次函数y=x22x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x22x+m=0的两个实数根是（）Ax1=1，x2=2Bx1=1，x2=3Cx1=1，x2=2Dx1=1，x2=38（3分）如图，在ABC中，CAB=65°，将ABC在平面内绕点A旋转到ABC的位置，使CCAB，则旋转角的度数为（）A35°B40°C50°D65°9（3分）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2（m是常数，且m0）的图象可能是（）ABCD10（3分）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A3B6C3D611（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n如果m，n满足|mn|1，那么就称甲、乙两人 “心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）ABCD12（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A4米B3米C2米D1米13（3分）已知、是方程x23x4=0的两个实数根，则2+3的值为（）A0B1C2D314（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：abc0；a+cb；3a+c0；a+bm（am+b）（其中m1），其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15（3分）方程x2=x的解是 16（3分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x21012y6.542.522.5根据表格中的信息回答问题，该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，函数值y= 17（3分）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 18（3分）若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角已知ABC是等径三角形，则等径角的度数为 19（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c2b；（3）5a+3c0；（4）若点A（2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若m2，则m（am+b）2（2a+b），其中正确的结论的序号是 三、解答题（本大题共7小题，共63分）20（7分）已知关于x的方程x22（k2）x+k2=0有两个实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=1x1x2，求k的值21（7分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为（1）试求袋中篮球的个数；（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率22（7分）如图，将ABC绕点C按顺时针方向旋转至ABC，使点A落在BC的延长线上已知A=27°，B=40°，求则ACB的度数23（8分）如图，点A是直线AM与O的交点，点B在O上，BDAM垂足为D，BD与O交于点C，OC平分AOB，B=60°（1）求证：AM是O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）24（10分）某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？25（10分）阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中ABC所示同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切O于点A，此时弦切角CAB=P（图2）证明：AB切O于点A，CAB=90°，又AC是直径，P=90°，CAB=P问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角CAB=P还成立吗？请说明理由知识运用：如图4，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F求证：EFBC26（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由-2018学年山东省临沂市莒南县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）来源:Z。xx。k.Com1（3分）用配方法解一元二次方程x26x10=0时，下列变形正确的为（）A（x+3）2=1B（x3）2=1C（x+3）2=19D（x3）2=19【解答】解：方程移项得：x26x=10，配方得：x26x+9=19，即（x3）2=19，故选D2（3分）关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1且k0Dk1且k0【解答】解：关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，k0且0，即（2）24×k×（1）0，解得k1且k0故选C3（3分）如图，A、B、C是O上的三点，BOC=70°，则A的度数为（）A70°B45°C40°D35°【解答】解：A、B、C是O上的三点，BOC=70°，A=BOC=35°故选D4（3分）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABCD【解答】解：直径所对的圆周角等于直角，从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B故选：B5（3分）PA，PB分别切O于A，B两点，点C为O上不同于AB的任意一点，已知P=40°，则ACB的度数是（）A70°B110°C70°或110°D不确定【解答】解：如图，连接OA、OB，PA，PB分别切O于A，B两点，PAO=PBO=90°，AOB=360°90°90°40°=140°，当点C1在上时，则AC1B=AOB=70°，当点C2在上时，则AC2B+AC1B=180°，AC2B=110°，故选C6（3分）如图所示，O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，垂足为N，则ON=（）A5B7C9D11【解答】解：由题意可得，OA=13，ONA=90°，AB=24，AN=12，ON=，故选A7（3分）已知二次函数y=x22x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x22x+m=0的两个实数根是（）Ax1=1，x2=2Bx1=1，x2=3Cx1=1，x2=2Dx1=1，x2=3来源:学科网【解答】解：二次函数y=x22x+m（m为常数）的对称轴是x=1，来源:Z*xx*k.Com（1，0）关于x=1的对称点是（3，0）则一元二次方程x22x+m=0的两个实数根是x1=1，x2=3故选D8（3分）如图，在ABC中，CAB=65°，将ABC在平面内绕点A旋转到ABC的位置，使CCAB，则旋转角的度数为（）A35°B40°C50°D65°【解答】解：CCAB，ACC=CAB=65°，ABC绕点A旋转得到ABC，来源:Zxxk.ComAC=AC，CAC=180°2ACC=180°2×65°=50°，CAC=BAB=50°故选C9（3分）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2（m是常数，且m0）的图象可能是（）ABCD【解答】解：A、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y=mx+m的图象可知m0，对称轴为x=0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y=mx+m的图象可知m0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；故选：D10（3分）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A3B6C3D6【解答】解：圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，2r=×2×10，解得r=6故选B11（3分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n如果m，n满足|mn|1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）ABCD【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|mn|1的有10种结果，两人“心领神会”的概率是=，故选：B12（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A4米B3米C2米D1米【解答】解：水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x，喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=x2+4x的顶点坐标的纵坐标，y=x2+4x=（x2）2+4，顶点坐标为：（2，4），喷水的最大高度为4米，故选A13（3分）已知、是方程x23x4=0的两个实数根，则2+3的值为（）A0B1C2D3【解答】解：根据题意得+=3，=4，所以原式=a（+）3=33=0故选A14（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：abc0；a+cb；3a+c0；a+bm（am+b）（其中m1），其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：由图象可知：a0，c0，0，b0，abc0，故此选项正确；当x=1时，y=ab+c=0，故a+c=b，错误；当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c=0，且x=1，即b=2a，代入得9a6a+c=0，得3a+c=0，故此选项错误；当x=1时，y的值最大此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+cam2+bm+c，故a+bam2+bm，即a+bm（am+b），故此选项正确故正确故选B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15（3分）方程x2=x的解是x1=0，x2=1【解答】解：x2=x，移项得：x2x=0，分解因式得：x（x1）=0，可得x=0或x1=0，解得：x1=0，x2=1故答案为：x1=0，x2=116（3分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x21012y6.542.522.5根据表格中的信息回答问题，该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，函数值y=4【解答】解：由表格可知当x=0和x=2时，y=2.5，抛物线的对称轴为x=1，x=3和x=1时的函数值相等，为4，来源:学.科.网故答案为：417（3分）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是【解答】解：如图，点M，N分别是AB，AC的中点，MN=BC，当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交O于点C，连接AC，BC是O的直径，BAC=90°ACB=45°，AB=5，ACB=45°，BC=5，MN最大=故答案为：18（3分）若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角已知ABC是等径三角形，则等径角的度数为30°或150°【解答】解：如图边AB与半径相等时，则AOB=60°，当等径角顶点为C时，C=AOB=30°，当等径角顶点为D时，C+D=180°，D=150°，故答案为：30°或150°19（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c2b；（3）5a+3c0；（4）若点A（2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若m2，则m（am+b）2（2a+b），其中正确的结论的序号是（1）（3）（5）【解答】解：称轴为直线x=2，b=4a，4a+b=0，故（1）正确，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，当x=2时，y=4a2b+c0，4a+c2b，故（2）错误，图象过点（1，0），b=4a，c0，ab+c=0，5a+c=0，5a+c+2c0，5a+3c0，故（3）正确，点A（2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，对称轴为直线x=2，图象开口向下，y1y2y3，故（4）错误，当x=2时，y取得最大值，当x=m2时，am2+bm+c4a+2b+c，m（am+b）2（2a+b），故（5）正确，故答案为：（1）（3）（5）三、解答题（本大题共7小题，共63分）20（7分）已知关于x的方程x22（k2）x+k2=0有两个实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=1x1x2，求k的值【解答】解：（1）由题意0，4（k2）24k20，k1（2）x1+x2=2（k2），x1x2=k2，2（k2）=1k2，解得k=1+或1，k1，k=121（7分）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为（1）试求袋中篮球的个数；（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率【解答】解：（1）设袋中蓝球的个数为x个，从中任意摸出一个是白球的概率为，=，解得：x=1，袋中蓝球的个数为1；（2）画树状图得：共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，两次都是摸到白球的概率为： =22（7分）如图，将ABC绕点C按顺时针方向旋转至ABC，使点A落在BC的延长线上已知A=27°，B=40°，求则ACB的度数【解答】解：A=27°，B=40°，ACA=A+B=27°+40°=67°，ABC绕点C按顺时针方向旋转至ABC，ABCABC，ACB=ACB，ACBBCA=ACBBCA，即BCB=ACA，BCB=67°，ACB=180°ACABCB=180°67°67°=46°23（8分）如图，点A是直线AM与O的交点，点B在O上，BDAM垂足为D，BD与O交于点C，OC平分AOB，B=60°（1）求证：AM是O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）【解答】解：（1）B=60°，BOC是等边三角形，1=2=60°，OC平分AOB，1=3，2=3，OABD，BDM=90°，OAM=90°，AM是O的切线；（2）3=60°，OA=OC，AOC是等边三角形，OAC=60°，OAM=90°，CAD=30°，CD=2，AC=2CD=4，AD=2，S阴影=S梯形OADCS扇形OAC=（4+2）×2=624（10分）某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？【解答】解：（1）根据题意得，解得：，一次函数的表达式为y=x+110；（2）W=（x50）（x+100）=x2+160x5500，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，即50x50×（1+40%），50x70，当x=80时不在范围内，当x=70时，W最大=800元，答：销售单价定为70元时，商场可获得最大利润，最大利润是800元25（10分）阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中ABC所示同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切O于点A，此时弦切角CAB=P（图2）证明：AB切O于点A，CAB=90°，又AC是直径，P=90°，CAB=P问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角CAB=P还成立吗？请说明理由知识运用：如图4，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F求证：EFBC【解答】解：问题拓展：CAB=P成立理由如下：作直径AD，连接CD，如图3，则D=P，AD为直径，ACD=90°，D+CAD=90°，AB切O于点A，ADAB，CAB+CAD=90°，CAB=P；知识运用：如图4，连接DF，AD是ABC中BAC的平分线，BAD=CAD，经过点A的O与BC切于点D，CDF=CAD，BAD=CDF，BAD=DFE，CDF=DFE，EFBC26（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由【解答】解：（1）抛物线的顶点C的坐标为（1，4），可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4，点B（3，0）在该抛物线的图象上，0=a（31）2+4，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3，点D在y轴上，令x=0可得y=3，D点坐标为（0，3），可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=1，直线BD解析式为y=x+3；（2）设P点横坐标为m（m0），则P（m，m+3），M（m，m2+2m+3），PM=m2+2m+3（m+3）=m2+3m=（m）2+，当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Q（x，x2+2x+3），则G（x，x+3），QG=|x2+2x+3（x+3）|=|x2+3x|，BOD是等腰直角三角形，DBO=45°，HGQ=BGE=45°，当BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，QG=×2=4，|x2+3x|=4，当x2+3x=4时，=9160，方程无实数根，当x2+3x=4时，解得x=1或x=4，Q（1，0）或（4，5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，0）或（4，5）