充分条件与必要条件（五大题型）.docx

1. 4充分条件与必要条件【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分条件求参数取值范围题型三：根据必要条件求参数取值范围题型四：根据充要条件求参数取值范围题型五：充要条件的证明【知识点梳理】知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念符号p n q与p与q的含义“若夕，则。为真命题，记作：p n q ,“若p,则q "为假命题，记作：p4q.充分条件、必要条件与充要条件若夕二9，称夕是夕的充分条件，q是P的必要条件.如果既有png,又有q n p ,就记作p =这时夕是q的充分必要条件，称P是q的充要条 知识点诠释：对png的理解：指当夕成立时，q一定成立，即由P通过推理可以得到小“若夕，则9”为真命题；p是q的充分条件；q是P的必要条件以上三种形式均为“p => 这一逻辑关系的表达.知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若夕，则q”,其条件P与结论q之间的逻辑关系若p=>q,但g至夕，则p是q的充分不必要条件，q是P的必要不充分条件；若p * q , 4且q n p ,则夕是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；若p n q ,且q=>p,即p = 则夕、q互为充要条件；若p力q ,且q力夕，则夕是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p： xA, q： xGB,若/ 1瓦则"是q的充分条件，q是P的必要条件;若方程/+日+ 2 = 0与/+2x +左=0有一个公共实数根，设公共实根为玉，X2 -4-+2 = 0则< ；J ，两式相减得（1一2）再+（2左） = 0,（左一2）斗二左一2,%1 + 2玉 + k 0由于左一2，0 ,所以X1 =1 ,所以1 +左+ 2 = 0,4=一3.当左=_3时，两个方程分别为31+ 2 = 0、x2+2x-3 = 0 ,方程12一31+ 2 = 0的两个根为1,2；方程/+ 2%3 = 0的两个根为1,-3 ；即方程+而+ 2 = 0与/ +21+左=0有一个公共实数根.综上所述，方程+京+ 2 = 0与/+2X +左=0有一个公共实数根的充要条件是攵=-3.故选：D例11.（2023高一单元测试）设集合。=（工/）,£h/£火,若集合A = （x/）|2x-y +加0,加£火,B = y）x + y-n<0,nR9则（2,3）£的充要条件是（）A. m>- 9n <5B. m < -1 , n <5C. m>-l, n>5D. m < -1, n>5【答案】Az、 fz Jf2x-y + m>0【解析】由题意，可得/c&8）=+,因为（2,3）c（”），所以2 + 3_>0，解得2>-L<5,反之亦成立，所以（2,3）e 4 c但町的充要条件是m >-l9n<5.故选：A.例12. （2023高一单元测试）方程办2+2工+ 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是（）A. 0< tz < 1 B. a < 1C. a < 1D. 0<。（1 或。<0【答案】C【解析】当。=0时，方程为2x + l = 0有一个负实根1 = -工，反之，x =-工时，则。=0,于是得。=0； 22当时，A = 4-4q,若q<0,则>（），方程有两个不等实根须,/，x,x2= -<0 ,即当与巧一正一负，a反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积,小于0, a<09于是得<0,aXj + % =< 0若。>0,由A20,即0<1知，方程有两个实根玉62,必有 “，此时玉与巧都是负数，x（x2= > 0 aA = 4-0一2反之，方程a/+2x + l = 0两根王,都为负，贝叫X+M=-一<0,解得于是得axx2 = > 0I - a综上，当q41时，方程"2+2工+ 1 = 0至少有一个负实根，反之，方程办2+21+ 1 = 0至少有一个负实根，必 有.所以方程办2+2工+ 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是故选：C变式 12.（2023,全国高一专题练习）已知 p：x|x + 2>0 且x-10«0 , q:x4-m<x<4-m, m > 0,若 p 是q的充要条件，则实数机的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由两个集合相等可求得参数加.由已知，：xH2<x<10,4 772 = -2,由P是q充要条件得x|2«x«10 = x|4-mKx<4 + 2,20,因此%+加70解得加=6,故选：C.变式13.（2023云南大理高一统考期末）若“不等式工-加<1成立”的充要条件为”<2则实数机的值为.【答案】1【解析】解不等式X -加< 1得X < + 1 ,因为“不等式X-加<1成立”的充要条件为“X<2%所以2 = ? + 1,解得加=1,所以，m = 1.故答案为：1.变式14.（2023重庆沙坪坝高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若"-1 < x < 1 ”是“1 < -2% +加< 5”的充要 条件，则实数，的取值是.【答案】3【解析】由1 < 一2%+加< 5得1一加<一2%<5 2 ,故一（加一5）<x< L（加一1）,因为“-1 < X < 1 ”是“1 v -2x+ 2 < 5”的充要条件,所以;，解得加=3,2（m-1） = 1所以实数加的取值是3.故答案为：3.变式15.（2023高一单元测试）当x>0时，函数歹="2 + 2工一1中的变量y随的增大而增大的充要条件 是.【答案】a>Q【解析】若。=0,贝ljy = 2x-1,变量V随X的增大而增大；a>0若QW0,则必有< 1 ，得Q0.< 0、a综上，所求的充要条件是故答案为：a>0变式16.（2023 山东济宁高一校考阶段练习）集合力=同办2+3工+ 2 = 0中至多有一个元素的充要条件 是 .Q【答案】或。=。8【解析】由已知得方程G2+3工+ 2 = 0至多一个根，A或。=0,解得 或。=0w08g故答案为或。=08【方法技巧与总结】（1 ）化简p、q两命题，（2）根据P与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围.题型五：充要条件的证明例13.（2023高一课时练习）求证：关于x的方程“2+&+ c = 0有一个根是1的充要条件是Q + b + c = O.【解析】假设夕：方程ad+4丫 + 0 = 0有一个根是1, q.a + b + c = O.证明P=>9,即证明必要性：: x = 1是方程ax2+ bx + c = 0的根, 。/+ 6 1 + c = 0 ,艮 |J 。+ b + c = 0 .再证明gnp,即证明充分性：由。+6+。=0,得。=一。一6.丁 ax2+ bx +。= 0 ,e ax2 +bx-a-b = O,B|J 6z(x2 -1)+ /)(%-1) = 0 .故(x-1)(qx + q + 6)= 0.x = l是方程的一个根.故方程Q%2 +6x + c = 0行一个根是1的充要条件是Q+b + C = 0.例14.(2023 高一课时练习)设Q, b,。为ABC的三边，求方程一+2"+ /=0与、2+2cx =0有公共 根的充要条件.【解析】必要性：设方程x2+2qx + /=0与f+2cx =0的公共根为2,则加2 + 2am+ / = 0 , m2+ 2cm -b2 - 0，两式相加得"2 - -( +。)(2 = 0舍去)，将加=一(。+。)代入加2 +2a2 + =0 ,得-(q + c)丁 + 勿-(Q + C + 6 2= 0 ,整理得/=+，.所以力=900.充分性：当4 = 90°时,a2=b2-c2于是+2ax + =o等价于+2ax + a2-c2=0 ,所以 x + (a + c) x + (q-c) = 0,该方程有两根X =-(。+。)，=一(一。).同样工2 +2cx /)2=0 等价于 f +2cx_q2+02 =0,所以x + (a + c) x + (c-a) = 0 ,该方程亦有两根刍=一(。+。)，x4=-(c-a).显然% =七，两方程有公共根.故方程/ + lax + b2=0与工2 + 2cx-b?=0有公共根的充要条件是/ = 90°.例15.(2023,全国高一假期作业)求证：等式qf+bX + q=生/+3+。2对任意实数1恒成立的充要条件是 Q =。2，=b?,C=。2.【解析】充分性：若 =2，。=%，。1 =°2,则等式a4 +* +=电工2 +4工+。2显然对任意实数X恒成立，充分性成立；必要性：由于等式2 +6X + C = a2X2+21+。2对任意实数1恒成立，。二。2分别将 X = O, x = l , x= l 代入可得 , q+4+q =。2+4+。2 , ax -b +q = a? -b2 +c2% CL-)解得卜二",必要性成立，q = c2故等式a4 4-x + Cj =a2x2+与工+ 02对任意实数X恒成立的充要条件是q =。24=%« =c2,变式17.(2023浙江温州高一校考阶段练习)设(1)求证：|x + 2y| =国+ 23成立的充要条件是盯NO.直接写出|x + 2R = |x-2引成立的充要条件(不要求证明).【解析】(1)证明：先证充分性：.孙20,讨论：i当中=0,继续讨论：x = 0/w。时，,+ 2引=2回，国+ 23=2回，所以k+ 2引=国+ 2回；j = 0,x w0时，|x +2H =卜|, x +2 y = x ,所以|x + 2引=国 + 23；> = 0,x = 0 时，所以卜 +2yl =国 + 23 = 0；当孙=0时，有卜+ 2引=卜| + 23成立ii 当孙>0 ,即 x > 0, j0 或 x < 0,歹 < 0当% > 0/0时,卜+ 2引=x + 2>=卜+ 2 y当 x<0,y <0时，x-2y = -x-2y , x + 2 y =-x-2y ,再证必要性：k + 24 = w + 23,两边平方有:x2+ 4y2+4 x y = x2 4-4y2 + 4xy,xy = xy , xy>0综上：|x + 2" = |x| + 23成立的充要条件是孙2 0.(2)因为 x + 2y| = x =( x + 2 0 2 =(x-2/-08孙=0o 9=(,所以|x + 2y| = |x-2引成立的充要条件盯=0.变式18.(2023 全国高一假期作业)已知。，b是实数，求证：2/=1成立的充要条件是/一=1.【解析】先证明充分性：若/ 一/=1 ,贝|j一/ -2=(a2 -b2)(a2+/)-2=q2+/-2b2 =a2 -b2=1 成立.所以“ / _ =是" / _ 一 2b2=成立的充分条件；再证明必要性：若 4 一 力4 - 2 =1 ,贝 |Jq4一21 = 0,即 6z4-(64+2/>2+1) = 0,.q4_（62+1）2=0,.（6z2+Z）2+l）（tz2-62-l） = 0,。2 + + 1。0 ,a1 -h2 -1 =0 ,B|J 262 =1 成立.所以“ / = 1 "是“ / 一/一 2b2 = 1 ”成立的必要条件.综上：/一/_2=1成立的充要条件是/=1.变式19. （2023上海黄浦高一格致中学校考阶段练习/关于X的方程尔+&+ C = 0（。W 0）有实数根”是“QC < 0 的什么条件？请证明你的结论.【解析】“关于%的方程&+云+ £ = 0（。=0）有实数根”是“4<0”必要非充分条件.证明：先证充分性不成立：取a = c = l力=2 ,此时方程f +2工+ 1 = 0有实数根 =%=-1，但此时ac = l>0 9因此充分性不成立.再证必要性成立：当ac<0时， = 一4qc0恒成立，所以方程分+&+ c = 0（。w 0）有实数根，即必要性成立.所以“关于x的方程尔+反+。= 0（。工0）有实数根”是“。<0”必要非充分条件.【方法技巧与总结】（1）证明充分性；（2）证明必要性.【过关测试】一、单选题1. （2023全国高一课堂例题）下列语句中，为真命题的是（）A.直角的补角是直角B.同旁内角互补C.过直线/外一点A作直线于点8 D.两个锐角的和是钝角【答案】A【解析】对选项A,直角的补角是直角，所以A选项为真命题；对选项B,缺少两直线平行条件，结论不成立.如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于180“，所以B选项为假命题；对选项C,是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；对选项D, 30。与20。的和为锐角，所以D选项为假命题.故选：A.2. （2023青海海东高一统考阶段练习）249"是“"7”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由/<49,得-7<<7,因为区间（-7,7）真包含于（-*7）,所以“/ < 49，是“< 7 ”的充分不必要条件.故选：C3. （2023 云南,高一统考期末）已知。、bwR,且必。0,则武是：成立的（） a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】C【解析】取a = 1, b = 2 ,则但 > ,即< a ba b取q = 1, b = 2 ,则一但即“叱色"_1<1，.a ba h所以，"心b»是"<成立的既不充分也不必要条件，C对. a b故选：C.4. （2023湖北黄冈高一校联考期中）若集合/ = “/, 5 = 2,9,则“加=3”是“，c3 = 9的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由Zc3 = 9,可得加2=9,解得 ? = ±3,因为3 -3,3,所以2 = 3是“/c8 = 9”的充分不必要条件.故选：A.5. （2023江苏高一假期作业）以下选项中，夕是q的充要条件的是（）A. p： 3x + 25 , q：2x 35B. p： ”2,6<2, q- a>bC. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D. p： awO, q：关于x的方程仪=1有唯一解【答案】D【解析】对于A, p:3x + 2>5=>x>l, :-2x-3>-5=>x<l,所以夕推不出q, q推不出p,所以P是夕既不充分也不必要条件；对于B, p:a>2,b<2 = q.a>b当。=1,6 = 0时，满足。方，但q推不出夕，故p是q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；对于D,若qwO,则关于x的方程ox = l有唯一解；若关于x的方程ox = l有唯一解，则所以P =故P是q的充分必要条件.故选：D.6.（2023 高一课时练习）关于x的方程*2+以+。= 0（4。0）,以下命题正确的个数为（）上>o（1）方程有二正根的充要条件是 61; （2）方程有二异号实根的充要条件是g<0； （3）方程两根均大c Aa>0A>0于1的充要条件是-2>2.a£>1A.0个B.1个C. 2个D. 3个【答案】Bbc【解析】对于，令d2x + 2 = 0满足=2>0,= 2>0,但A = 4 8 = 4<0,方程无实数解，（1） aa错；对于（2）,必要性：.方程a/+bx + c = 0 ,有一正根和一负根，,x 4=< 0.充分性:由£<o可得ac<o, a所以-4qc>0及*工2 ='<°, a方程q/+bx + c= 0有一正根和一负根，（2）对;73I对于（3）, x2- - x + = 0,两根为X= 3 ,A>0满足-22,但不符合方程两根均大于1, （3）错.a£> 1故选：B7. （2023上海浦东新高一上海市进才中学校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，9是的充分条件,S是尸的必要条件，是S的必要条件，现有下列命题：S是4的充要条件；"是q的充分不必要条件；一是q的必要不充分条件；是$的充分不必要条件；正确的命题序号是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为夕是的充分不必要条件，所以夕=> 尸，P,因为夕是的充分条件，所以q 尸，因为§是的必要条件，所以 =>s,因为0是$的必要条件，所以snq,因为0 rns ,所以qns,又snq,所以§是0的充要条件；命题正确，因为 pnr,/ ns, s=>9,所以若qn P ,则rns, s = q , qn P ,故r二>P,与P矛盾，所以"P ,所以P是9的充分不必要条件，命题正确；因为ns, snq,所以rn心是1的充分条件，命题错误；因为snq, qnr ,所以snr,又尸ns,所以一是s的充要条件，命题错误；故选：B.8. （2023辽宁沈阳高一沈阳市回民中学校考期末）使得不等式“|x + l|-x-1。”成立的一个必要不充分条件是（）A. x + 2 < 0B. < 0C. x <0D. %2- 4 > 0x + 1【答案】c【解析】由可得k+i|>x+i,所以x + l<0,解得x<l,即|x + l| x 1>0成立的充要条件为：x<-l,对于A,由x + 2<0,得xv-2,是“卜+ 1卜工-1。”成立的充分不必要条件；对于B,由7<0,得x<-l,是“|x + l|-x-1>0»成立的充要条件；对于C, x<0是“卜+ 1|-1-1>0”成立的必要不充分条件；对于D, x2-4>0,得xV 2或x>2,是小+ 1|-1-10”成立的既不充分也不必要条件.故选：C.二、多选题9. （2023 全国高一随堂练习）若非空集合4B, C满足ZUB = C,且5不是力的子集，则下列结论不正确的是（A.“xeC”是“xe力”的充分条件但不是必要条件B. £ C ”是“x e 4 ”的必要条件但不是充分条件C. “丁£。”是的充要条件D,“xwC”既不是的充分条件，也不是的必要条件【答案】ACD【解析】:非空集合4B,。满足ZU8 = C,且8不是力的子集，由 x £ / => x w ZU B n x eC ,即：“xcC”是“xe/”的必要条件.由 x £ Cn x £ AJ B n x e A ,或 xeB.二.8不是/的子集，不一定有xeN,即所以“x £ C”不是“x e A”的充分条件.即仅有B正确.故选：ACD.210. （2023 江西景德镇高一统考期中）已知命题夕：关于1的不等式 20,命题q：q<x< + 1,若夕是 x-夕的必要非充分条件，则实数。的取值可以为（）A. （7>0B. a>C. a>2D. a>3【答案】BCD【解析】由？一20可得：x-l>0,解得：%>1,设/=人工1, x-1iB = xa<x<a,若是1的必要非充分条件，所以8真包含于A,所以或或q23均满足.故选：BCD.11. （2023河北沧州高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合4 = xq + 1<x<2q-3,8= x|x<-2或x>7,则4cB = 0的必要不充分条件可能是（）A. a <7B. a <6C. a <5D. q<4【答案】AB【解析】因为集合4 = x|q + 1vx<2-3,3=2或xN7,当 4 = 0 时， + 122一 3,解得 W4,此时/0夕二。，1a +1 2 2当 4w0 时，a + l<2”3,解得。4,右 4n3 = 0,则。i解得14a <5,2a-3<7又。> 4 ,则 4 < a W 5 ,则/f|B = 0的充要条件为q«5,若力是3的真子集，则夕是q的充分不必要条件；若4=5,则P、互为充要条件；若Z不是8的子集且8不是/的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论；尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件.知识点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必 要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若夕，则q”如果夕是q的充分条件，则原命题喏P，则。与其逆否命题“若心 则，'为真命题；如果P是q的必要条件，则其逆命题“若小 则”'与其否命题“若夕，则为真命题；如果夕是q的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1.（2023高一课时练习）设xeR,则使x>3.14成立的一个充分条件是（）A. x>3B. x<3C. x>4D. x<4【答案】C【解析】设加是x>3.14的一个充分条件，则根据充分条件的判定得m23.14,则x>4,故选：C.例2.（2023高一课时练习）“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（）A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.故选：B所以40|8 = 0的必要不充分条件可能是。7,。6,故选：AB.12.（2023江苏苏州高一校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为人的所有整数组成一个“类。记 为四，即冈= x|x = 6 +左,eZ , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,则（）A. -5 £ 5B. Z = 0ulu2u3u4u5C.“整数q, b属于同一“类”的充要条件是北网”D.“整数q, b满足。£1,642卜是“4 +北31的必要不充分条件.【答案】BC【解析】对A,因为5 = 6 + 5|eZ,由6" + 5 = -5可得 =3 = 2eZ,所以5比，A错；63对 B, 031u2u3u4u5=6 | e Z U 6% +11 % £ Z U 63 + 21 4 e Z U 64 + 31 4 e Z U 6% + 41 % £ Z U 64 + 51 4 e Z = Z ,B对；对C,充分性：若整数mb属于同一“类"，则整数a, b被6除所得余数相同，从而Q-6被6除所得余数为0,即"bw®必要性：若”尾网，则6被6除所得余数为0,则整数a, 6被6除所得余数相同，所以“整数。、人属于同一'类的充要条件是“"北网”，C对；对 D,若整数 a, 6 满足 qc1,6£2,则。=64+1, w Z, b = 6%+2, Z ,所以4 + /? = 6（勺+2）+ 3, nx+ h2 e Z ,故 + 北冈；若。+ 6目3,则可能有qe24e1,故整数a, b满足。卜是“。+北3”的充分不必要条件,D错故选：BC三、填空题13. （2023高一课时练习）一次函数 =履+仅。0）的图象不过第三象限的一个充分条件是（答 案不唯一）【答案】k = -T,b = T【解析】要使y = + b（左。0）不过第三象限，则 0且尸0,这是一个等价条件，而要写出一个充分条件，故可取女=-1/ = 1.故答案为：左=-11=1.14. (2023高一课时练习)下列“若小 则必形式的命题中，0是2的必要条件的命题有(1)若。+ 5是无理数，则。是无理数.(2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等.(3)若卜一祖-6) = 0 ,则x = q.(4)若。和人都是偶数，则仍是偶数.【答案】(1) (2) (4)【解析】(1)若。+ 5是无理数，则。+ 5是无限不循环小数，所以。是无限不循环小数，所以。是无理数，所以夕=。，所以9是的必要条件.(2)全等三角形面积相等，所以夕=乡，所以q是2的必要条件.(3)若(工一初工一6)= 0,则x = a或x = b；所以夕所以是夕的不必要条件.(4)两个偶数的乘积仍是偶数.所以夕=>9,所以q是，的必要条件.故答案为：(1) (2) (4).15. (2023高一单元测试)设4 8是有限集，定义d(4,B) =力(ZU3)-c”d(Zn3),其中card(/)表示 有限集4中的元素个数.贝Zw夕是"或43)>0”的 条件.【答案】充分必要【解析】若ZW3,则则。析(力UB)cwd(Zn3),故或析3)>0成立,若c”d(/U3)> CG力(/口3),则力所以所以F。夕是“"(48) > 0 ”的充要条件，故答案为：充分必要16. (2023糊北宜昌高一校联考期中)已知集合/ =卜|白<，,3=引q *。+3,若“xe/”是“xeB” 的必要条件，则实数。的取值范围是.【答案】-4或。>2【解析】V <1,1<0,即(x 2)(x + l)>0,解得x2 或x<1x+lX+1二.4=x | x < -1 或 x > 2是“xeB”的必要条件，且a + 3>a恒成立则 + 3<1或。2,解得 q一4 或 a > 2 .故答案为：。-4或q2四、解答题17. (2023高一课时练习)指出下列各组命题中，p是乡的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、 充要条件、既不充分又不必要条件).夕：数。能被6整除，或数。能被3整除；(2) p ：x > 1 , q：x2 >；(3)p：-48C有两个角相等，/8C是正三角形；(4)a/£R, /?:|/)| = ab, q :ab>0,【解析】(1)因为“数。能被6整除”能推出"数a能被3整除、所以但“数，能被3整除”推不出“数能被6整除"，如。=9,所以qRp, 所以P是q的充分不必要条件.(2)因为xl能推出一>1,即P = q；但当工21时，如工=一2,推不出X>1,即所以2是9的充分不必要条件.(3)因为“力8C有两个角相等”推不出“力8。是正三角形，因此夕但“ ABC是正三角形”能推出“ ABC有两个角相等"，即9 n P ,所以P是的必要不充分条件.(4)因为仍=0时，|闻=仍，所以“心耳二”不能推出“ "> 0 "，即P44 ,而当曲0时,有阿二如即9np.所以P是夕的必要不充分条件.18.(2023全国高一随堂练习)在充分而不必要，必要而不充分，充要，这三个条件中任选一个条 件补充到下面问题中，若问题中的实数加存在，求出实数加的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：己 知集合4 = x|lW5,非空集合5 =何1一加 W1 + 2加 ,是否存在实数加,使得工力是工台的 条件？【解析】因为集合8 = x|l-加 工工41 + 2加非空，所以1 一根41 + 2加，?20 选择条件：因为xe/是的充分而不必耍条件，所以A是3的真子集，1 - m < 1所以Q、, (两个等号不同时取到)， 1 + 2/72 >5解得加22,故实数加的取值范围是2,+8).选择条件：因为xe /是x e B的必要而不充分条件，所以8是A的真子集，所以有加20且(两个等号不同时取到)，l + 2m < 5解得m = 0.综上，实数机的取值范围是网.选择条件：因为xe 4是xe 3的充要条件，所以有加20且/ = 3,f 1 m = 1即k G 此方程组无解，1 + 2加=5则不存在实数2,使得XG/是xeB的充要条件.19. (2023高一课时练习)集合Z = xl<x</%, 5 = x|l<x<4.(1)当加=2时，求ZuB；(2)从下面条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数加的取值范围条件：XE B是XE 4的充分条件；条件：AuB = A；条件：AHB=B .注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】(1)当加=2时, = x|-l<x<2,则/U8 = x|_l<x<4；(2)若选，则有8=4,即加24；若选，则有Bq 4加>4；若选，则有8c4加24.20. (2023江西赣州高一上犹中学校考周测)已知集合/ 二卜 | + 5工 _ 6 = 0, 3 = x | / + 2(m + l)x + /n2 - 3 = 01(1)若z = 0,写出AuB的所有子集若是“xcB”的必要条件，求实数加的取值范围.【解析】(1) A = xx2 +5x-6=0 =-6,1,若2 = 0,贝iJ8 = x,+2x3=0 =3，此时力U3 = 6,1,3,所以 子集为 0,_6,1,_3,_6,1,_6,_3,1,_3,_6,13.(2)若匕£4'是"工£夕的必要条件，只需B=A.若8中没有元素即3=0,则 = 4("?十一4(加2 3)= 8加十16 < 0 ,此时m < -2 ,满足5 = A；若8中只有一个元素，则 = (),此时加=一2.则8 =卜|/一2工+ 1 = 0 = 1,此时满足3右/；若8中有两个元素，则A0,止匕时加>2.因为A中也有两个元素，且8右4,则必有8 = / = -6,1,由韦达定理得-6x1 =/一3 ,则加2 = _3 ,矛盾，故舍去.综上所述，当?<-2时，B±A.所以实数机的取值范围：.21. （2023全国高一专题练习）设。=R,已知集合/= x|2WxW5, B = xm-<x<2m-l.（1）当4e8时，求实数加的范围；设p：X£%；q:xeB ,若是9的必要不充分条件，求实数加的范围.【解析】（1 ）由题可得2 + 1 < 4 < 2m - 1 ,则*加43；2（2）由题可得8是A的真子集，当B = 0 ,则2 +1 > 2m -1 => m < 2 ；当B w 0 ,m > 2 ,则<（等号不同时成立），解得2«加3+1 > -2综上：加 3 .22. （2023 重庆高一校联考期末）在“xe/是xe 8的充分不必要条件；入B = B；4c8 = 0这三 个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合A= 1x| 77? -1 < x < m! ? 5 = 1x| -1 < x < 2|（1）当2 = 1 时，求/u3；（2）若选,求实数2的取值范围.【解析】（1）当机=1时，集合4 =k|0（1<1,3 =卜|一1（工42,所以 408 =何l«xW2；（2）选择：因为“xeZ”是“代十的充分不必要条件，所以A B,因为4 = x|加一 1 WxW加,所以4千0,又因为8 = 引一 1 W2,"2 12 1所以/个（等号不同时成立），解得。工加42,m < 2因此实数机的取值范围是0«加2.选择：因为力。8 = 3,所以因为 4 = x| 加一1 ,所以 470.又因为3 = x|-lx<2,所以<m 1 > 1m<2角翠得0<加<2,因此实数m的取值范围是0 V相4 2.选择：因为 Nc8 = 0,而 4 = x| 加一 1，且/w0, 5 = x|-l<x<2）,所以加一 12或？ < 一1,解得加> 3或m <-1, 所以实数加的取值范围是2 >3或m<-l.例3.（2023全国高一假期作业）已知夕是尸的充分不必要条件，夕是尸的充分条件，s是尸的必要条件，q 是s的必要条件，现有下列命题：s是q的充要条件；夕是夕的充分不必要条件；尸是q的必要不充 分条件；一是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为夕是的的充分不必要条件，所以夕=>，推不出P,因为是的的充分条件，所以夕=>一，因为§是一的必要条件，所以因为夕是§的必要条件，所以snq,因为qnr,所以夕ns,又s = q,所以s是夕的充要条件，命题正确，因为 pnr,r ns, s n q ,所以推不出夕，故夕是<7的充分不必要条件，正确；因为 ns, snq ,所以rnq, 是的充分条件，命题错误；因为snq, q n r ,所以sn，又rns,所以是$的充要条件，命题错误；故选：B.变式1. （2023全国高一专题练习）设。力为实数，则“a > b > 0”的一个充分非必要