《余弦定理》教案（含答案）.docx

教学设计余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹 的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从 量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另 一边和两个角的问题力这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的 知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知 识结构,设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学.比如对于余弦定理的证 明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知 识给予证明，引起学生对向量知识的学习兴趣同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教 科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力.在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个 思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及 余弦函数的性,质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对 的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方, 那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广还要启发引导学生注 意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达 到求解、求证目的.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时，注 意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2 .余弦定理在解三角形时的应用思路；3 .勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.教具准备 投影仪、幻灯片两张第一张课题引入图片（记作1.1.2 4 ）如图，在RtA ABC中，有A2+4二C2(课本第8页练习)1 .解：(1)根据余弦定理：£2=42+82-2。/7cosc22-2x2.7x3.696xcos82.2°kl8.24,所以 g4.3 (cm).由正弦定理得0.622 1. asm C 2.7 x sin82.2° snA=仁c4.3因为4不是三角形中最大的边，所以A是锐角，利用计数器可得AW8.5。,B=180°-A-C=180o-38.5o-82.2o=59.3°.(2)根据余弦定理, 6/2=Z?+c2-2/?cc(7sA22-2xl2.9xl5.4xc6>s42.3o-109.70,所以 AR0.5 (cm).十力卬”曰. bsmA 12.9sin42.3°八门10.5由正弦7E理得 sin3=工=0.826 8.因为B不是三角形中最大的边，所以3是锐角，利用计数器可得3=55.8。,C= 180°-A-B= 180。-55.8。-42.3%81.9°.2 .解：(1)由余弦定理的推论得cosA="+c_ 一"- " 10一 +6一 一7一 大0725,所以 AF3.5。. 2bc 2x10x6cosB+= 7- +6一10-=0 *8 6,所以后100.3。2ac 2x6x7c= 180°-A-B= 180°-43.5°-100.3°=36.2°.(2)由余弦定理的推论得b2 +c2-a2 cosA =2bc15.92+21.129.420.908 6,所以上24.7。.a2+c2-b221.12 +9.42 -15.92a a o rcrI nocosB=-0.707 8,所以 属44.9。.2acC=1SO0-A-B°.备课资料一、向量方法证明三角形中的射影定理在ABC中，设三内角A、B、。的对边分别是A、B、C.v AC + CB = AB,AC<(AC+ CB) = AB AC.ACAC + ACCB = ABAC.：.|Xc|2+ ACCB cosQ80。-C) = |l|AC cosA./. AC - CB cos C = AB cos A./. b-acosC=ccosA,BP B=ccosA-acosC.类似地有 C =acosB+bcosA=bcosC +ccosB.上述三式称为三角形中的射影定理.二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：已知两角及其中一个角的对边，如A、B、A,解ABC.解：根据A+8+O兀，求出角C;根据一 =上及一 = -,求8、C.sin A sin B sin A sinC如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、C,那么先求出第三角C,然后按照来求解,求解 过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角，如A、B、ABC.解：根据(二3+"一2abeos。,求出边c；%22 _2根据sA=cosA-匕,求出角A;2bc由3=180%4-C,求出角B.求出第三边C后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是 锐角,应先求A、3较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可以用余弦定理求解.(3)已知两边及其中一条边所对的角，如、b、A,解ABCcl h解：= 经过讨论求出5;sin A sinB求出8后，由A+8+CM80。，求角C;再根据- =，求出边Csin A sin C(4)已知三边 A、B、C>A ABC.解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A+8+C=180。,求出第三个角.另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需 注意要先求较小边所对的锐角.(5)已知三角，解ABC.解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一.三、“可解三角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一 个重要工具.但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形 问题,往往不知如何下手.至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考 时间，更影响了解题的速度和质量.但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念， 则情形就不一样了.所谓“可解三角形”，是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是 指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中 必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角，从而使“需解三 角形"可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型，合理地选 择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况.“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间.一题到手 后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确 定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究.问题:在图(2)、(3)中，能否用。、c、A求解?B)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍.形式-k: a2=h2+c2-2hccosA, h2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+h2-2ahcosC,1r-h2 +c2-a1 c2 +a2-h2 a2 +h2-c2形式一:cosA =,cosB=,cosC=.2bc2ca2ah三维目标一、知识与技能1 .掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；2 .会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；3 .能利用计算器进行运算.二、过程与方法1 .利用向量的数量积推出余弦定理及其推论；2 ,通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1 ,培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2,通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与 辩证统一.教学过程导入新课师A,如图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意 三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有 关知识来研究这一问题.在ABC中，设=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形， 在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作垂直于AB于D,那么在 RS3OC中，边A可利用勾股定理用C。、表示，而CD可在RSA。中利用边角关系 表示,08可利用AB-AD转化为AO,进而在RtA ADC内求解.解：过。作COLAB,垂足为。，则在RtA CDB中，根据勾股定理可得A2=CD2+BD2.在 RtA ADC中,CZ)2=32-AQ2 又 B£>2=(c_AD)2=C2-2cAO+AZ)2,.A2=32_aq2+C2_2cAo+A+gcA。又在 RtA ADC中工。=8COsA, /. 4z2=Z72+c2-2abcosA.类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.c2-4z2+/?2-2abcosC.另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角H寸，+岳="5)推进新课1 .余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍.B中我们可以看到它的两种表示形式： 形式一：2=2+，_2/7cCOSA,Z?2=C+q2-2cQCOS3, c-c+k-labcos C. 形式二：.b2 +c2-a2 cos A =,2bcn c2 +a2-b2 cos B =,2caa1 +b2 -c2 cos C =.2ab师 在余弦定理中，令C =90。时，这时cosC=0,所以。2=层+炉,由此可知余弦定理是勾股定理的推 广.另外，对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进 一步体会向量知识的工具性作用.合作.探究2 .向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、3均未知，所以较难求边C由于余弦定理中涉及到的角是以 余弦形式出现，从而可以考虑用向量来研究这个问题.由于涉及边长问题，那么可以与哪些 向量知识产生联系呢？生 向量数量积的定义式aS=|a|Mcos0,其中。为A、5的夹角.师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、 余弦形式的转换，也就少去添加辅助向量的麻烦,当然，在各边所在向量的联系上仍然通过向 量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C, 则构造CB CA这一数量积以使出现C0sC同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同 起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在ABC中，设45、BC、C4的长分别是c、a、b.+ 2ABBCcos(180o-B) + |Bcj2由向量加法的三角形法则，可得衣=M +前，AC AC = (AB+ BC)(AB+ BC) = AB2 + 2AB BC+ BC220=c -2accosB + a ,即 B2=C2+A2-2AC COs B.由向量减法的三角形法则，可得BC = AC A3,前就二(元_ 丽.(n_ 丽 =13_2元.标+行=冈2_2网网(：0$71+国2=b2 - 2bccosA + c2BP。2=/；2+。2-2/7ccosA.由向量加法的三角形法则，可得AB = AC-CB = AC-BCy茄标二证所(就所=击 2就就+苑二启 2元 无cosC + |可 =b2 -2bacosC + a即 c2=a2+b2-2abcosC.方法引导（1）上述证明过程中应注意正确运用向量加法（减法）的三角形法则.（2）在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，:忆 与AB属于同起点向量，则 夹角为A;而与BC是首尾相接，则夹角为角B的补角180。3;衣与BC是同终点，则夹 角仍是角C.合作探究师思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能 否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：.b2 +C2 -a2 n 2+。2匕2Z?2+612-C2cos A =, cos B =, cos C =.2bc2ac2ba师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如.何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若ABC中,C=90°,则cosOO,这时学二出+庆.由此可知 余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的 平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对 的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知, 余弦定理可以看作是勾股定理的推广.现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变 成可定量计算的公式了.师在证明了召）通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理，可以解决以下两类有关 三角形的问题：（1）已知三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定,解唯一，课本P8例4属这类情况.（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形 所产生的判断取舍等问题.接下来，我们通过例题来进一步体会一下.例题剖析【例1】在aABC中，已知8=60 cm, C=34 cm, A=41°,解三角形（角度精确到1。，边长 精确到1 cm）.解：根据余弦定理，济=2+8_2/7“,/4=602+342-26034。成41%3 600+1 156-4 080x0.754 7句 676.82 ，所以 AE1 cm.百十力士由/日.csinA 34xsin41° 34x0.656 八八由正弦定理得sinC=k=0.544 0,a4141因为C不是三角形中最大的边，所以CO33。，B=180°-A-C=l 80°-41 °-33°= 106°.【例 2】在A3C 中，已知 =134.6cm, /?=87.8 cm, c =161.7 cm,解三角形.解：由余弦定理的推论，得b2 +c2 -a2 cosA=2bc-0.554 3餐56。20'87.82 +161.72 -134 6c2 +a2 -h2 cosB=2ca9 8年32。53'C = 180°-（A+B）= 180°-（56°20%32053 >90047;知识拓展补充例题：【例1】在 ABC中，已知。=7力=10,c=6,求A、B和C（精确到1。）分析:此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的 形式二.解:cosA =b2 +c2 -a22bc 102 +62 -722x10x6=0.725 ,AA44°.从一：72+1。2-6：丝皿807lab 2x7x10140J C36°./. B= 180°-(A+C)= 180o-(44o+36°)= 100°.教师精讲为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180。,可用余弦定理求出两角, 第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算.例2在ABC中，已知。=2.730力=3.696尸82。28；解这个三角形(边长保留四个有效数字, 角度精确到1)分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边，在 第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利 用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据LL1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两 种结果进行判断取舍，而在0。180。之间，余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解:由 c2=42+o2-2abcosC22-2x2.730x3696xcos82°28',得 84.297.b2 +c2-a2 3.6962 + 4.2972-2.7302cosA=-0.776 7,2bc2 x 3.696 x 4.297公39。2。3=180。-04+0=180。-(39。2'+82。28'尸58。30'.教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用，那么求边用 两个定理均可，求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.例3在 ABC中，已知A=8乃=7,8=60。,求C及Sabc.分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角人再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式- acsinB可以求出.2若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=ca2-2cacosB建立关于C的方程，亦 能达到求。的目的.下面给出两种解法.Q7解法一:由正弦定理得=,sin A sin 60°4=8L8°,A2=98.2。，。产38.2。,。2=218。.由一-=-，得 C1=3,C2=5,sin 60° sinC:S/i A8C= 一G sinB = 6j5 或 SABc= aQ sinB = 10V3.22 -解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,.72=c+82-2x8xcws60o,整理得理-80+15=0,解导 ci=3,C2=5. Sa abcaq sin B 6S. abc= ac? sinB = 10V3.教师精讲在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏;而解法二更有耐人寻味 之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程,从而运用方程 的观点去解决，故解法二应引起学生的注意.综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知 两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解 法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1 .在 ABC 中：(1)已知 c=8,/?=3,b=60。,求 A;(2)已知。=20,b8=29,c=21,求 B;(3)已知 =33,c=2力=150。,求 B;(4)已知 =2力=2, c=3+l,求 A.解：(1)由 a2=b2-i-c2-2bccosA,tz2=82+32-2x8x3c(7s60°=49. .A=7,+ n c2+a2-b2ZB D 202 +212 -292n(2)由 cosB =，得 cosB = 0 .B=90°.lea2x20x21(3)由 /?2=c2+a2-2cQcosB,得 Z?2=(33)2+22-2x33x2csl50°=49. /. b-1.百 , b2+c2-a2,曰 4 (V2)2+(V3 + l)2 - 2241 . o(4)由 cos A =，得 cos4 =产-j= A=45 .2bc2V2(V3 + 1)2评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题 效率.2 .根据下列条件解三角形(角度精确到1。).(1)。=31 /=42”27;(2)6z=9,Z?=10,c=15.解：(1)由 cos A = "+c j.，得 cos A = 42+273P 0.675 5,，AE8。. 2bc2x42x27由 cos 3 二c2 +a2 -b2lea 312 +272 -422一 _2x31x27-0.044 2,，酸93。.：.C= 180°-(A+B)=l 80o-(48°+93o)-39°.由h2 +c2-a22bc102 +152 -922x10x15=0.813 3,：.A-36°.由 cosB =c2 +a2 -b2lea152 +92 -1022x9x15-0.763 0,A 540°.，C=180°-(y4+B)=180o-(36o+40o>104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行 较复杂的运算,同时，增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法洞时又进一步了解了向量的工具性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边、一角解三角形.布置作业 课本第8页练习第1 (1)、2 (1)题.板书设计余弦定理1 .余弦定理2 证明方法：(1)平面几何法;(2)向量法3 .余弦定理所能解决的两类问题:已知三边求任意角;.已知两边、一角解三角形习题详解