人教A版选修11教案141生活中的优化问题举例（2）（含答案）.docx
§1. 4. 2生活中的优化问题举例(2)【学情分析】：在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。【教学目标】：1 .掌握利用导数求函数最值的基本方法。2 .提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能 力3 .体会导数在解决实际问题中的作用.【教学重点】：利用导数解决生活中的一些优化问题.【教学难点】：将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。【教法、学法设计】：练讲练.【教学过程设计I教学环 节教学活动设计 意图复 习引 入：1、建立数学模型(确立目标函数)是解决应用性性问题的关键2、要注意不能漏掉函数的定义域为课 题作 铺 垫.典 型例题 讲解例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5)/4=(3.2-2x)m则 3.2-2x>0, x>0,得 0<x<1.6.设容器体积为y m，则y = x (x+0.5) (3.2 - 2x)32= -2x +1.6x (0<x<1.6)y* = - 6x2+4.4x+1.6,令 y'= 0 得 x = 1 或 x =-4/15(舍去)，当 0<x<l 时，y、0,当 l<x<L6 时，y*<0,在x=l处，y有最大值，此时高为l.2m,3O选择 一个 学生 感觉 不是 很难 的题 目作 为例 题， 让学 生自 己体 验一 下应 用题 中最 优化 化问 题的 解。例2、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧， 乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边 合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问 供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？(注：不计河宽)40TC7T解：设N3CO = &则3C =，-(0<6><-),sin 夕 22/. AC = 50-40cot 0.设总的水管费用为/ (。).依题意，有(4)加 强巩固 140f (6>)=3a(50-40cot6> ) +5x sin夕(。尸40(5-3cos0sin-(5-3cos9)(sin外sin* 1 20口 3-5cos<9=40asin26»使学生能熟练步骤.33令/' (8)=0,得cos。=.根据问题的实际意义，当cos。=时，函数取得最小值，此4 3X+ 200 + .40时，sin<9 = -,/. cot8 = w,AC = 50-40cot0 = 20(初。，即供水站建在 A、D 之 间距甲厂20km处，可使水管费用最省。'25000+ 200 +土 40 J-25000 191x240(5)加强巩固2令 V，得为=1000,X2 = 1000(舍去)当在玉=1000附近左侧时，y'vo；在=1000附近右侧时,了0,故当x =1000时,y取得最小值，因此，耍使平均成本最低，应生产1000件产品.(2)利润函数为 L = 500x 25000+ 200x +I40 Jx= 300%-25000- - , 40提iWj提高问题的综合性， 锻炼 学生 能 力。(YXI =300x - 25000 =300 .(40)20令 =0,解得 x = 6000.当在x = 6000附近左侧时，>0;在x = 6000附近右侧时，r<0.故当x = 6000 Z/ = 0的点，且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值,因此，要使利润最大,应生产6000件产品.(6)课堂小结1、让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有：立体几何、解析几何、三角函数等。2、自变量的引入不是固定的，要注意引入自变量的技巧。(7)作业布置:教科书P104 A组4, 5, 6。(8备用题目:1、用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为 (B )A 6cm b 8cm q 16cm p 12cm3、做一个容积为256m3底面为正方形的无盖长方体水箱，它的高为4 加时，最省料。4、某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为280元，对于多于150的订购合同, 每超过一件，则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为 215o5、某宾馆有5 0个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为1 8 0元时，房间会全部住满；房间 的单价每增加1 0元，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费2 0元的各 种维修费.房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180 + 10x)元时，宾馆的利润W最大W = (180 +1 Ox)(5O - x) - (50 - x) 20 = IOjc2 -f340a: + 8000其中当 W，(x)0 时,x<17；当 W，(x)<0时/>17当x = 17,利润W最大x £(0,50)令卬，(幻=0,求得x = 17此时房价为：180 +10 x 17 = 350(元)6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6 元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时，能使航行1km的费用总 和最小？解:设船速为x(x0),航行1km的费用总和为儿设每小时燃料费为月则2L3y = Ax , x = 10时y =6 k =3gl 32 96x +96 一 =x + 1 5003500x 500 x (其中x>0)；,696y -x y500%2令y=°,解得工=20 当0 < x < 20时,V < 0此时函数为减函数;当x > 20时,V > 0此时函数为增函数;66.x = 20时函数有最小值为一25 ,即以每小时20公里的速度航行时，航行1km的费用总和最小。1 9例3、已知某厂生产x件产品的成本为C=25000 + 200x + x2(元)，问:40(1) 要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2) 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y元，则1 925000 + 200% HXg cnnn4025000y
