2023年河南省郑州市统招专升本高数自考模拟考试(含答案).docx

2023年河南省郑州市统招专升本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（20题）Jim -=（）Q5A.上B. 4ClD.O53.曲线y =皿-的渐近线的条数为（：JiA. 1B. 2C. 3D, 4设向量 Q _ b* Fl I a I = 1 I b I = 2.则(。+ b) (a + 2&)=()A. 9B. 15C. 0D. 5已知 /(i) = j则 lim /(“ + 21)一八a)=()aojtA.B. 1C. 2D. - 2, y =/In/在点彳=I处的切线方程是()A< J： + y 1 = 0B. J 2y 1=0Ca t - y- 1 = 01) K +- 1 = 09.D答案D【精析】 因为 lim/Q ) = lim (2j+ 3) = 5,= lim (j - - I) = lim/(x)丰J- - J,所以不存在.II10.C答案【精析】lim而出=。,舟F>LX>jIn(十 2)满足莱布尼茨定理.所以A项级数收敛；2白是公比q =R= JV < 1的等比级数,收敛所以B项级数收敛；lim= 5,不满足级数收敛的必要条件,故C项级数发散；li 3 H 13r/- +1IIa I 33号=1，由比值审敛法可知D项级数收敛.答案C2、【精析】A =因为r(A) = 2.所以54JL JL v-z13.C-4=0 所以入=5.答案c【精析】 由定积分的几何意义知C正确.【精析】联立2j: / )。一1。W 2 7 一 ，、取二者交集可得 一三父& 3【精析】A中.广学业. ooIn.rdln.r =2-y(lnj')2=+8,发散;2B中次=2 y/x1=+ 00，发散;'+8d.r = (T) Ir+«>Dn15.Acosxdx = lim sin.r - sinl 不存在.发散.故选 C.答案【精析】lim /(,r) = lime” = 1r-»P limr-*HJQ) = lim (6 + sin2.r)r f I，/(O).由/（）在1 = 0处可导知/（r）在0处连续所以。1.=lim(l + s3 1 = 2.又/'十（0）lim 人以7.亚)l/XA豆 =3,( 1 )lo3*o+/1(0) = lim 八")，=limT 0 ./-*0" U所以“ =2故选A.【精析】 | cos' -yd = I 1dr =si nr + C.16.B- 一-17 .D答案D【精析】 直线的方向向量可取为$=（1.-4.2）,又直线过点（2.5.1）.所以直线的对称式方程为续=安=与 1 4 Z18 .A答案1 A【精析】 /(.r) = (,r - l)(.r + 1) vf(.r) = 2w.当 1 V、r <+ z 时./(?) > 0./()>0.故应选A.L答案1c【精析】 由函数/（1）在点=1处可导，则1- f(l + 2才)二/(1，)19 c J。才20.A答案A【精析】 平面与已知直线垂直，则平面的法向量 =（12.1） ,又平面过点（3.一22）.则平面方程为R-3 + 2（y + 2） +之一2 = 0,即工+ 2y+之一1 = 0.y(snjc + C) = 1【精析】a=/cosw,则,dy = cosidiq两边积分,得一'=sinw + C即 y(sin、r +dw ky、y答案43【精析】1111d(2z + 3)7 (2w + 3)2 TJ-)(23)2=_11= 22(2+ 3) -i T*(8 9 + 8)【精析】p=lim(%1产"一87="m( 一)"n-*oo 十 1 lim j- = lim门-.8 "1 -811ihm -TT(+L8 > 1n=0,所以R=+8,故得级数收敛域为(-8+8).24.1/2答案I【精析】因函数在(一8+00)上连续故函数在分段点1=0处一定连续则 lim/( jc) = lim f(x)= /(0)；而 lim/(.r) = lim (.r + t?cos2.r) = a ,= lim (c" a) = I a J(0) = 1 a .心«n,z.i-n.， »<i故 a = 1 a £/ = y.125.2/2(x = ky2,11P)【精析】 由 ，解得交点为(0,0),(:，一；)，则面积为§= (-y-ky2)dy = y=-xkkT(一° =2=2,则 £ = M23+6公48'人3 -【精析】 因为“工)是连续可导函数.故 八工)在1 = 3处连续.所以有=/，又二 2存在故 lim(/(1)-2 /F+T) = 0,故 /(3) =，1.则.r 3.L 9J -3iim £3二2 ” = lim二4(3)jc 9+ lim1f3/ -2工-9=lim ”43/() 一/(3) J+ lim.，34-2 77+1储 q-2=。 + lim：一 16工3LX=9' 一5914_ 1一邛，j>:g= VVindo解得 /(3) =O27.【精析】 设jQ)ch = J,对题中等式两边取一 1,口上的定积分.得1 =苧&一21.J-1 1 +/Zm.i 111 + sinj'11 f11t . 1 f1 sin.r>11, nn则 / = vdj，+ 亏T-；_Z&c = .arctan/+0 = ,3 .一】1 + .广3 J t 1 + i o J -j 1 + .r-ib故 /(i)cLr =会J-ib28.1【精析】lim /(j) = lim ( j a) = l-a» lim/(j) = limlnx = Ini = 0 = /，由j-*ri-»i+3i+/(T)在(=1 处连续，得 1- = 0 Jfl £1 = 1.29.In32- ln38【精析】2N= i(ln3)w2”是公比为当 V】的等比级数且收敛则2 乙M= I(ln3V2nln3y ln3 一 , i2ln32 ln330.-FC答案【精析】-yz/(V7) dr = 29 COS G _|_2 b十°31.N答案X【精析】由题可知/ = 2-两边积分可得），=/十。.将点（1,4）带人可得4 = 1C 解得C=3,故所求积分曲线为y = M -3.32.N答案1 x【精析】J II./XL x/ +d.r-d.r = arcsine - J”答案【精析】33.Nx/xdj- = lim/2，丁 一 12,)=2,是收敛的.34.N答案【精析】lini.r 1I.二zr = lim -=1 § lini=lim = 1 一厂1 工由于lim广,因此极限不存在.35.Y【精析】 因为在-1J上连续，在（- 1,1）上可导.且/（-I） = /（I）= 1,所以 八外满足罗尔定理.36.N答案d v【精析】 半=半= COSf ,所以& = CO5/ L-ff = - 1 ,当，="时1 = 7T W V 1 dr dr 1df所以t =穴处的切线方程为了一 1 = 1(穴)即1十y 1 7T = 0.37.Y【精析】 令P(e)= l.QGr) = e,则微分方程的通解为v = e'1 P(')dr r | Q(.r)e/p(x>tb dj- + Cl =+ C'j = ：(/ +() 38.Y【精析】 因为反止弦函数的值域为一口告,所以arcsinl1)的最小值为一4- L 39.N答案x【精析】 1 - 7 | dr =1 x dj, + I | 1 j-| d、r =(1 .r)d、T +” M. ：4J 13 - ：4:(.r-Dd.r =(1 一 >2) L + (A?r)11 = 10,【精析】 当I f 0时.2/ -3«r + 2 f 232 -43+ 3 f 3.40.Y则 lim 2£一；*±2 r-0 .L 4/ + 341.【精析】由/(x)在i = 0处连续,则lim/(i) = lim/(x) = /(0),L()L0+1 _J(or 产即 lim c?S" = lim = a2 = ,得 a =土&.l(f £l(f12-jbsinr + cost2 dtlim -= lim (/?cosx + cost2 ) =+l = 1,得 =0.lo+1lo+42.【精析】 令 F(/、，之)=5。一 2n + e"得 FT = ye-。 Fy = 7©一。，R = 2 + e" 则当Fz ¥ 0即©n # 2时，3/ _ Ff _ yC _ Fv _ k©Fe er 2 'dy Fz ez- 2,【精析】原式=外44.d（.rd（T-b 1）=yin | yin |工十1 I + C【精析】A-2I =，十1十c.-2rlVAX = 2X + A,且 | A-2/ =-2.：.A-2i 可逆.X（A-2ITA.01（101-2-1（1-2?-111012-2-29-101-2即（,4-21尸111MM- WB222i_ JL1T1因此 X=（A-21）fA= 一小010【精析】方法一 0,=1 + （3尸+ 11 + （-3 产n1 + （二31 + （-3厂 + （一3产：收敛半径/?二!=3, P：收敛区间为：I IV3,即(一2,4)；方法二 V litn十11 +（一3 产+（_3）Kw-Dx- 1由比值判别法知，当I 1< 1,即I一1 |<3时，幕级数收敛，而当 一1 |> 1，即I 1一1 |>3时，耗级数发散.，所求收敛区间为：I X-1 |<3,即(-2.4).【证明】 设F(T)=明一工)因为/(二)在0.口上连续.在(0.1)内可导，所以F(t)在0.1上连续,在(0 J)内可导.又 /(1) = 1 F(O) = 0 /(0) -02 = 0,F(l) = 1 /(l) - l2= 0>即 F(Q)= F(l).故由罗尔定理知在(0.1)内至少存在一点8使F'(W)= 0.即/(0+b'(6 23=0 成立.【证明】(I )A、8均为阶矩阵，且由A+ 8 = AB,可得AB - A-H = 所以 AB A V + E = E.从而(A E)( If E) = E所以A £可逆；(|)由(I )知(八一£；) 1 = 8 £则 (A-EXB-E) = (B-E)(A - E) = E,即 AB A B + E = BA- A 8 十 £ 从而 AB = BA.【精析】 设切点为= 21一2.则切线方程为v = 2(z0 1)，代入曲线方程，得2( jo- 1)二 = 一 一 2ro + 9解出 To = 9？o =± 3.切线方程为v = 4.r和y =-8”所求面积为S =(./ 2.r + 9 + 8,r)dj + (.r 2/+ 9 4j )d.rJ-3JOori=(M + Sr + 9 )d.r + I (.r 6,r + 9)d.rJ -3J 0Y + 3M + 9 o=(9- 27 + 27) + (9- 27 + 27) = 18.【精析】设行驶的距离为s(公里),可视为已知量且可知S>0口 > 0行驶距离S所用的总费用为c,时间为W 则由题意可知c =. + loo . =+122.2500 z12500 zaS 100S/ J：10()、u /,/ 1, 200 x cc=西一=(由 F)SI =(西+ f)s令(“ =0,则可得唯一驻点=50.且(七50) = T-S>0,1 I J U所以、r = 50是极小值点，又因实际问题最值一定存在，可知该点也是最小值点故最 经济的行驶速度是50公里/小时.【精析】 设扇形的半径为W.则弧长为/ 一 2w.其中0 O V十. 1设扇形的面积为门则山题意得v = |(/-2M = /十口 .令/ =-2.r+彳=0.得 乙乙L_ /1 _彳.唯一的驻点即为最大值点故当扇形的半径为4时扇形的面积最大. 4【精析】企业的利润函数L(/>) = /<? - C = />(120-8/>) - 100 + 5(120-8/) =-8/>24- 160/> - 700,/(/>) =- 16/)+ 160,令/(/) = 0,得唯一驻点/>= 10,由于/(/>) =-16 V0,所以/)= 10 是函数/，(/>) 的极大值点,而且是最大值点.此时，最大利润为L= - 8X IO?十160X 10 700 = 100, 即当每件产品的定价为1。元时.企业的获利最大.最大利润为100元._? I 2【精析】 联立'可得二者围成的立体的投影区域D为/ +?2或。2,故立z = a2体体积为V =1/ (、/+)，)心=J 由| (/一).设函数y =(sirur尸则裂= diA. ( siikz )J (lnsirL7.rcot.r)C. (sinj )J(lnsinjtana )B. (sirkr) (Insiirr + cot.r)D. (sinT)J (Insin.r + j tanj )7.极限limrr-*oo2A-lB. 0C. 8D.不存在8.函数 /( j ) = arctan*在定义域内是A.奇函数C.偶函数B.周期函数D.有界函数9.A. 02.j = 1 则为.1IB.2C. 5D.不存在10.下列级数中发散的是ln( ? + 1 )D. V4M 3"11.若矩阵A =且A的秩为2,则;1 =A. 3B. 4C. 5D. 612.设曲线y=一/(“)在曲1上连续,则由曲线y =-f(z)宜线2 =及1轴围成的图形的面积4 =A/ (.r)d.r/(才)I drB. 1 / (.r) d.r J aD. ./(、r)d r13.函数y = V2r T2 a res in-的定义域为oA. -3.4B. (-3,4)C 0,2( )D. (0,2)14.下列广义积分收敛的是pt-OO15.feaz.若 JQ) = J| b -|- sin2.r A. a = 2J)= 1C. a = 2J)= 1j < 0,在=0处可导.则a J)的值为 r 2 0B. a = 1 =2D. a = 2 ,。= 116.不定积分COS2春di = J LA. - J-sirkr + C 乙乙C. j' - sirLr + CB.1h + Jsirur + C 乙乙D. .r + siar + (，17.经过点（2, 5.1）且与平面了一 43一2t 3 = 0垂直的直线方程为A. j - iy - z - 23 = 0.r 4 2 _ y - 5 _ j -1 = 218.B. j 4、y + w + 23 = 0n ? - 2 = 1 + 5 =之一 1 1-42设/'（.r）=（工一 1”才+ 1）则曲线/Q）在区间（1.十一）内A.单调增加且是凹的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是四的D.单调减少且是凸的19.设函数f(jc)在点"=1处可导.则lim /( 1 + 2J)1S1=()L”7A,/(I)B. 2/71)C3/71)D. -/(I)20.过点(3, 2,2)与直线工=方=之垂直的平面方程是()A. 1 + 2y + z - 1=0B. j+ v + - 3 = 0C.x + 2y + z 9 = 0D./ + y + z + 9 = 0二、填空题（10题）方程学 =y2cos,r的通解是 21.(2.r；3)<rQO寨级数£ 1的收敛域为23.=1 "ear a ./<（）,设函数/（.r）=v为（-2, I 8）上的连续函数则立=x I acos2.r. r > 0已知曲线/=ky2（k>0）与直线y= 一 £所围图形的面积为工，则k =若lim "" / 2" =1 =一 1其中八/）为连续可导函数，则/（3）=设/（.）是连续函数满足/（）= 注年一/（才）/则/（Jr）cLr = X | Jt« 一】一】I （I <?- .已知/（J-） = .J若函数/（.r）在z = 1处连续.则a =Injr.721 级数£粤¥ =25. m "已知At）的一个原函数为竺文.则| 士/（6）dw = / J x/7三、判断题（10题）在切线斜率为2I的积分曲线族中,通过点（1.4）的曲线是y = 2/+2.（）A.否B.是 工 1 +' d.r = arccosj H- C.()J 7rA.否B.是产 1瑕积分也是发散的.()一h一 1A.否B.是极限lim J 一 ：的值是1.()Ll I X- 1A.否B.是在区间上，函数/(.r) = h J 满足罗尔定理.31. 2广 + 1A.否 B.是参数方程在1 =近处的切线方程为/ + y1 = 0.()y = 1 + sin/A.否B.是y = (.r+ r)e：是微分方程y' + y = e-/的通解(其中。是任意常数).A.否B.是函数y = arcsinQ 1)的最小值是32. J A.否 B.是1 .X' | dr = 3.A.否B.是r 2 12 _3i + 2 _ 2in1 5 j q A.否B.是40./ - 4i + 33四、计算题（5题）41.1 COSCLV-P-,设义为='*-r6sirur + cosZ2df由方程LTw + e工=0所确定.求卜.0-1，且满足AX = 2X+A,求矩阵X.17 V 0,”=。'在工=o处连续，试求常数a力.工 0已知函数£ = /（%*） 42.求不定积分一二此43. « 一 1,1 1已知4=01一10求塞级数£ 的收敛区间（不考虑区间端点的情况）. M- 1 +（3）五、证明题（2题） 46.设函数/（，）在0,1上连续，在（0,D内可导，且/1（1） = 1,证明在（01）内至少存在 一点8使得/（» + 日飞）-2=0成立.设阶矩阵A和B满足条件4 + B = AB.（I）证明：4- E为可逆矩阵，其中E是阶单位矩阵；（ | ）证明：AB =六、应用题（5题）求由曲线y = M 2、r + 9与该曲线过原点的两条切线所围成图形的面积.已知汽车行驶时每小时的耗油费用），（元）与行驶速度/公里/小时）的关系是V =舄,若汽车行驶时除耗油费用外的其他费用为每小时100元求最经济的行驶速度（假设汽 Zb 0（）车是匀速行驶）.在周长为定值，的所有扇形中当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大?假设某企业生产的一种产品的市场需求量q（件）与其价格m元）的关系为q（g）=120总成本函数为C（Q） = 100 + 5Q,问：当。为多少时企业所获的利润最大,最大利润为多少？求由抛物面之=/ + y与平面之=a2所围成的立体的体积.参考答案【精析】lim = lim( )n = 0.JJf8 0Ml-g 32.B，答案B【精析】 lini y = lim 片(a')= lim " = 0,iny = lim 1土" ? = 1, lim y = JT± +- 1 + 1r-O x-*O JCx . 产”lim=+8,所以曲线有水平渐近线3= 0,垂直渐近线/=-1.叶i 3.A答案A【精析】 山于。人故 Q-3 = b = 0.(n+b) (a + 2b)= a* + 2b' = I2 + 2 2* = 9.故应选A.4 .C答案C【精析】 由题可知/'(1) = 1 所以P /(“+ 2&r) J (a)9p (a+ 2 ar) f(a) 0,、9lim = Z hm = 2 / (a) = Z.3HA.r2 Ar5 .C答案C【精析】 切线斜率/ =(ln.r+1)= 1,当/= 1时，)= 0,所以切线方程为i=ii=iy= j 1,即/ 一 丫 - 1 = 06.B【精析】 / = (sini)j' = (exll,5Knr)' = ej|nMrir (a Insiirr)/ = eJ,n!qnx (Insirur + x)=sin.r(sin/(Insiru* + jcot.r).答案1 Ayyrw+(-l)w _ 1 i 1 r(-l)w _ 1【精析】hm- T十f hm 丁n 8LlL L n8 flL7 .A8 .D答案D【精析】由所给的函数定义域知函数不具有奇偶性.且八彳+7)= arctan-才 T 1 + 2/*),故函数不具有周期性,另一方面arctan - =母.故应选D.7* -4- /.< I 1J