第2章常用逻辑用语章末题型归纳总结.docx

ci < 2所以< 3a >3 , a>Q解得ae0.所以实数。的取值范围为：例25. （2023 全国高一随堂练习）在充分而不必要，必要而不充分，充要，这三个条件中任 选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数加存在，求出实数小的取值范围；若不存在，请说明理由. 问题：已知集合4 = 邓VxV5,非空集合8 = x|l- zWx«l + 2m.是否存在实数 2,使得xe/是xeB的 条件？【解析】因为集合8 =何1 一用xl + 2m非空，所以1一根（1 + 2加，m>0选择条件：因为xe/是xeB的充分而不必要条件，所以A是8的真子集，（1 加工1所以个（两个等号不同时取到），解得加22, 故实数?的取值范围是2+8）.选择条件：因为xe/是xeB的必要而不充分条件，所以8是A的真子集，-m>1所以有掰20且1 、八（两个等号不同时取到）， 1 + 2m < 5解得772 = 0 .综上，实数2的取值范围是0.选择条件：因为xeZ是xeB的充要条件，所以有 ?20且/ =f 1 m = 1即 G -此方程组无解，则不存在实数2,使得xeZ是xeB的充要条件.例26.（2023 黑龙江鹤岗高二鹤岗一中校考阶段练习）请在充分不必要条件，必要不充分条件, 充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数机存在，求出2的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合4 = x|-2 Wx46, B = x-m<x< + m,m>0,若xe/是xeB成立的条件，判断实数是否存在？1 2 K 2【解析】若选择条件，即xe 4是xe 8成立的充分不必要条件，集合4是集合8的真子集，则有、（1 + m > 6解得m>5 9所以，实数小的取值范围是5,+8）;若选择条件，即xe/是xeB成立的必要不充分条件，集合3是集合Z的真子集，（1 加 2 2则有 人，解得0<加工3,1 + m < 6所以，实数2的取值范围是（0,3；f 1 - /77 = -2若选择条件，即xeZ是xeB成立的充要条件，则集合4等于集合8则有 工，方程组无解，l + m = 6所以，不存在满足条件的实数冽.经典题型四：充要条件的证明例27.（2023 江苏高一专题练习）设。也。分别为春8。的三边的长，求证：关于x的方程 父+ 2以+ / = 0与F + 2m / = o有公共实数根的充要条件是/= 90。.【解析】证明：必要性：设方程X2+2分 + =0与x2+2cx-=o有公共实数根%,则 Xq + 2qx0+/）2 = 0,xj + 2cx（）_/>2 = 0两式相减并整理，可得（4-C）/+/=0因为6wO,Q cwO,所以/=«一,将此式代入片+2qx（）+ =0中， c-a整理得+/=/,故44 = 90。.充分性:因为4=90。,可得+/=",所以性=2一°2,将 =/ 一/代入方程/+2qx + /?2=0 中，可得+2ax + a2 - c2= 0即（x + q- c）（x + q+ c） = 0 ,将 =/ 一02代入方程+2CX-b2=0 中，可得/ +2cx + c2- a2= 0,即（x + c - q）（x+ c + a） = 0故两方程有公共实数根X = -（。+ C）.所以关于X的方程一+2冰+ =0与/+25_=0有公共实数根的充要条件/ = 90。.例28.（2023哈国高一专题练习）求证：关于x的方程办2+法+ 0 = 0有一个根是1的充要条件是Q + b + c = 0.【解析】假设夕：方程qY+bx + o = 0有一个根是1, q：q + 6 + c = 0.证明pnq,即证明必要性: / x = 1 是方程 ax2+ + c = 0 的根, 、。+ b1 +。= 0 ,即a + b + c = 0.再证明qnp,即证明充分性：由q + + c = O,得 c = -a - b . ax1+ bx + c = 0 , e ax1 +bx-a-b = O,B|J 6z（x2 -1）+ /?（%-1） = 0 .故（x-1）（qx + q + 6）=0. .x = l是方程的一个根.故方程ax? +6x + c = 0有一个根是1的充要条件是a + b + c = 0 .例29. （2023 全国高一专题练习）求证：方程一一2%一32 = 0有两个同号且不相等实根的充要条件是 -< m< 0 .3【解析】充分性：-；< 2<0,/.方程 x2-2x-3m = 0的判别式 A = 4 + 12m >0, M-3m>0, 方程2x 3m=0有两个同号且不相等的实根.必要性：若方程2x-3加=0有两个同号且不相等的实根玉广2，则有 八，解得一彳<加<。.x1x2= -3m> 03综上，方程f2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充耍条件是-；<加<。.例30.（2023 高一课时练习）设q,4。为“8C的三边，求方程/+2方+ /=0与Y+2CX 62=o有公 共根的充要条件.【解析】必要性：设方程/+2如+ / =。与f+zcx =。的公共根为加，则/ + 2am+ / = 0 , m2+ 2cm -b2= 0，两式相加得冽=-（Q + c）（加=0舍去），将加=一（。+。）代入加2 +2am + b2=0，得 _(Q + C)+ 勿_ (q + c + 6 2= 0 ,整理得/=+，.所以4 = 900.充分性：当 / = 90邛寸，/=+/,于是 f + 2ax + b2=0 等价于 F +2ax + / -c2= 0 ,所以x + (a + c)x + (a -c) = 0 ,该方程有两根玉=一(。+。)，x2=-(a-c).同样22+23一/=0等价于2 +2cx -冬+。2 =0,所以x + (4 + c)x + (c - a) = 0 ,该方程亦有两根3 =(Q + c)，Z=(c a).显然不=退，两方程有公共根.故方程/+ 2qx+ / = 0与f + 2cx 力2 = 0有公共根的充要条件是A = 90°.例31. (2023 全国高一专题练习)求证：等式/工2+bX + C =&x2+&、+。2对任意实数恒成立的充要条件是q =出，4 =与< =。2【解析】充分性：若q =a2,b=&% = c2,则等式qf+Ax + q =%工2+3+。2显然对任意实数%恒成立，充分性成立；必要性：由于等式 +bX + G =a2x2+21+。2对任意实数次恒成立，G =。2分另 U 将 x = 0, x = l, x=_代入可得 < q+4+C j+J+G ，% 4 + q = b? + c2ax - a2解得,必要性成立，q = Q故等式4-x + Cj =a2x2+3+。2对任意实数恒成立的充要条件是6 =。24=。2.经典题型五：命题的否定例32.（2023 山东德州高三统考阶段练习）下列结论正确的是（）A. ”Hr。£ Q, Jx； + 后 £ Q 的否定是 /x sQx1+G sQB. *o£Q,Jx；+A eQ的否定是七任QC. 四边形ABCD是矩形是平面四边形ABCD的每个内角都相等的充要条件D. 四边形Z3C。是矩形是平面四边形43C。的每个内角都相等的充分不必要条件【答案】C【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则七°£Q,&的否定是X/x£Q,7?7eQ，A、B 错;四边形48C。是矩形，则每个内角都相等，反之也成立，所以四边形43co是矩形是平面四边形43C。的每个内角都相等的充要条件，C对，D错；故选：C例33. （2023 辽宁高三大连二十四中校联考开学考试）已知命题夕：3aeR, a,则（）A. p： R , q"一兀"0B. p： VqR, a71 -7ia <0C. pze R , q"一兀"WOD. p：V。£ R , q兀一兀"«0【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“：BaeR,/ 一4。> 0 的否定是P：V。£ R ,故选：D例34. （2023 全国高一专题练习）命题X/xeR, Y 国20的否定是（）A. 3xeR, x2-2|x|<0B.x2-2|x|>0C. SxgR, x2-2x>0D. VxeR, x2-2x<0【答案】A【解析】由全称量词命题的否定可知：原命题的否定为玉2国<0.故选：A例35.（2023 江苏南通高三海安高级中学校考阶段练习）命题 Vx0, f _工十1的否定为（）A. Vx>0 , x2 -x + 1 < 0B. Vx<0 , x2 -x + 1 < 0【答案】C【解析】Vx>0 , 1+ 10的否定为土0 , X2- x +1 < 0.故选：C.例36.（2023 全国高一专题练习）命题Vx>l,x2加1的否定是（）A. 3x>l,x2 -m<B. 3x< 1, x2 -m<lC. Vx>l,x2-m<lD. Vx<l,x2-m<【答案】A【解析】命题一机>1为全称量词命题，其否定为：Hx>l,x2 -m<l.故选：A例37.（2023 四川宜宾高二宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）命题m/>0/；-5/ + 60的否 定是（）A. Vx < 0,x2 -5x + 6 < 0B. Vx >0,x2 -5x + 6 <0C. 3x0 < R,- 5x0 + 6 < 0D. 3x0 > 0,-5x0 + 6 < 0【答案】B【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为Vx>0,f 一51+ 640.故选：BX例38.（2023 全国高一专题练习）命题Vx>l, 、0的否定是（）x-1YXA. Vx<l ,<0B. Vx>l ,<0X 1x - 1C. 3%<1, 上 （0D. 3x>l, x（x-l）<0x 【答案】D【解析】命题Vxl,的否定是>1, x（x-l）<0x-1故选：D.例39.（2023 浙江温州高二统考学业考试）已知命题p：Dx<2, |x|<3,则命题的可为（）A.叫 <2, |x0| >3B. 3x0> 2 , |x0| >3C. Vx<2, |x|-3D. Vx>2, |x|>3【答案】A【解析】已知命题夕：Vxv2, |x|<3, 则命的r7为比 <2,闻>3.故选:A.例40.（2023 山东枣庄高一校考阶段练习）命题VxeR,使得的否定形式是（）A. VxgR,使得 cYB. Vxg R ,使得C. 3xeR,使得 <工2D. 3xeR,使得一【答案】C【解析】由命题的否定的定义，因为原命题是TxeR,使得 2f,因此其否定形式应该把全称量词V改为存在量词3 把 2 V改为 < 工2, 所以命题 DxeR,使得 2丁的否定形式是“*er,使得 <%2,故选：C.经典题型六：由命题真假求参数的值（取值范例41. （2023 全国高一专题练习）已知全集。=R ,集合4 = % 11 < x < 3,集合3 = x | 2? < x < 1 （1）若求实数加的范围;（2）若V%", 3x2e5,使得玉二%，求实数机的范围.【解析】（1）若/口8=台，则当 B = 0 时，则 2m31- m, m > , 32m < 1 - m当Bn0时，则<2加21,则加不存在，1 - m < 3综上，m> 9A CB B ,实数加的范围为（一°°,4）.（2） ,/ VXj g, 3x2 e 5 ,使得玉二X2， :,A = B ,且力w 0 ,f 2 m < 1则i.,.掰< 一2,1 - m > 3.实数加的范围为（-*-2）.例42. （2023 全国高一专题练习）已知命题1:'勺工满足2<x<2,使2x q = o,(1)命题P：mxwR,f+(q i)x + 4<0，若命题中至少一个为真，求实数。的范围.(2)命题P：2q<x<q + 1,若夕是夕的充分不必要条件，求实数。的范围.【解析】(1)命题小玉满足-2<x<2,使f2% =0，为真命题时，q = Y_2x,令/(力二X22x,(2<x<2), ljliJ-l</(x)<8,所以-1 « Q < 8 ,所以命题q为假时，则。<-1或。之8,命题P ：“王£ R,%2 +(。-1) X + 4 < 0",为真命题时，- 1)2 -4x4 >0,解得<一3或5 ,所以命题夕为假时，则-3445,3 < tz < 5又因为命题P国都为假命题时，""、Q，即3 £。1,所以命题P，q中至少一个为真时，实数a的范围是卜,< -3或。2 -1；(2)由(1)可知：命题q为真命题时，-i<<8,记/ = -1,8),8=(2,q + 1)因为夕是9的充分不必要条件，所以B A ,当3 = 0即2。2。+ 1,也即时，满足条件；当8/0时，2q< 4 + 1, 2q2 1 ,解得<。< 1 ；2a +1 < 8综上可知：实数。的范围是一I,e)例43.(2023 河北承德高一承德市双滦区实验中学校考期中)解答：(1)已知命题p： " Vx £ R ,6+2工+ 3 2 0是真命题，求实数的取值范围；已知命题/ "玉满足14x42,使+ 为真命题，求实数a的范围.【解析】(1)命题夕为真命题，即af+2x + 3 2 0在A上恒成立.当。=0时，不等式为2X + 320显然不能恒成立；（Aa>0Q0当"WO时，由不等式恒成立可知A 02 yl即 1A = 2 -4x6zx3<0a>-13所以q4 -J综上，a的取值范围是当1W2时，由歹=+2%=（工+ 1）2 一1,当x = l时，函数的最小值3,当x = 2时，函数有最大值8, 3 < x2+ 2% < 8 ,由题意有。+ 8之0,所以aN8.例44. （2023 全国高一专题练习）Vx£（O,l）, x +加-1 <0是真命题，则加的范围是【答案】m<0【解析】对于命题：对任意、£（0,1）,不等式掰<1-x恒成立，而工£（0,1）,有 1-X£（O,1）,2<0, J命题为真时，实数 2的取值范围是加<0.故答案为：m<0例45.（2023 全国高一专题练习）某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学 出题如下：若命题1¥£氏/ + 2%+加工0 是假命题，求加范围.小李略加思索，反手给了小王一道题：若 命题Vx£R,/ + 2x +加>0 是真命题，求加范围.你认为，两位同学题中小范围是否一致？ （填"是"否中的一种）【答案】是【解析】因为命题玉£R,/ + 2x +加的否定是/%£氐/ + 2%+加>0 ，而命题*£R,x2 + 2x +加40是假命题,与其否定Vx£R,Y + 2x +加>0为真命题等价,所以两位同学题中加范围是一致的，故答案为：是例46.（2023滴一校考单元测试）若命题*。e R,x； +x0 +机< 0 是假命题,则实数m的范围是.【答案】【解析】命题*o£R,x；+Xo+m<O是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为：V;% £R,x；+Xo+m2O,则 A = l 4加00,解得：m>-.1 1故实数机的范围是：了，+°° -1_4）1 1故答案为：:，+00.1_4）例47. （2023 全国高一专题练习）命题Vxe凡分2+4"+ 30为真，则实数口的范围是3）【答案】0,-L 4；【解析】由题意知：不等式"2+4qx + 3>0对xeR恒成立,当。=0时，可得3>0,恒成立满足；。> 03当时，若不等式恒成立则需A “2 S 八，解得0<":，A = 16 /一 12。<043、所以。的取值范围是0,二，L 4；故答案为：例48.（2023 福建宁德高二统考期末）若命题IxeR,qx + iwo是假命题，则。范围是【答案】（-2,2）【解析】由题设可得VxeR/2一办+10为真命题，利用判别式可得Q的范围.因为命题玉£ R, QX + 140是假命题，故VxeR, qx + i>0恒成立,故 = /4<0 即一2<q<2.故答案为：（-2,2）.例49.（2023 全国高一专题练习）若*o£O,2,使-%2+4x 320,则实数，的范围为【答案】1,+s）【解析】3x0gO,/w,使一*+4工一3 2 0成立， 可令-f+4x-320,得工2_41 + 3<0,解得 所以实数?的范围是1,+8）.故答案为：1,+°°）.例50. （2023 广东广州高二校联考期末）若命题叫eR,使得Xo2+（a i）xo+i4o为真命题，则实数【解析】由可得，a > 10或4<0，所以q10可推出，<白，即"a > 10"是",<白的充分条件；由,<白， a10a10a10a 10不能够推出"10,故10是L上的不必要条件；a10综上，Q10是八 <小的充分不必要条件. a10故选：A例3.（2023 上海高一专题练习）若x,"R,则x = 0是町=0的（）A.充分条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当 = 0时，町=。，当孙=0时，x = o或y = o,所以“X = 0 是町=0 的充分不必要条件.故选：C.例4. （2023 北京高二汇文中学校考期末）设p：x<3, g:x<3或x>4,则P是4成立的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为p：x<3, q:x<3或x>4,即夕成立时，夕一定成立，但夕成立时，夕不一定成立，故夕是q成立的充分不必要条件.故选：B.例5.（2023 江苏南京南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）设4 B, C,。是四个命题，若4是8的必要不充分条件，/是。的充分不必要条件，。是8的充分必要条件，则。是。的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为A是8的必要不充分条件，所以A推不出3,因为A是。的充分不必要条件，所以C推不出A, 因为。是8的充要条件，所以。=>8, BnD,。的范围为.【答案】1或心3【解析】利用2（）即可求出.若命题玉（）£R,使得/2+（4_1）%0+1<0为真命题, 则 =（0 1）2420,解得1 或Q23.故答案为：或。23.例51.（2023 湖南张家界高一统考期中）命题VxeR,使心o是真命题，则。的范围是,【答案】a<0.【解析】等价于一在工尺恒成立，即得解.命题 VxeR,使f 一 o 是真命题等价于k e R时，/之 恒成立.所以“4/在工及恒成立，所以«0.故答案为：a<Q模块三：数学思想方法分类讨论思想例 52.已知全集。=1<,集合 / = x|-3” X” 7,集合 8 = x|3-2幺,乂, 2-5,其中 aeR.（1）若是的充分条件，求。的取值范围；（2）若“工£/”是“X£3”的必要条件，求。的取值范围.【解析】（1）因为是“X£ 5”的充分条件，故/口3,在数轴上表示出集合力和金3-2«, 2a-5a.2则3 2«, -3 ,即*3,解得匹.6 ,2。一 5. .747.6VX.则。的取值范围为6,+00）；（2）因为是“ x e B ”是必要条件，故Bq 4,当5 = 0时，3-2q2q-5,即q<2,符合题意；当时，在数轴上表示出集合力和以3 2q, 2q 5-3” 3 2cl ,即 <2a - 5 7a.2a. 3 ,解得 2, a, 3 ,a. 6综上所述：，的取值范围为(-s,3.例 53.已知集合 P = x|q + L, X, 2q + 1 , Q = x -2 x” 5.若。=3,求©尸)C。；(2)若“工£夕”是“xe。”充分不必要条件，求实数。的取值范围.【解析】当。=3 时，P = x|4 %, 7, («P) = x|x<4 或 x>7,因为 0 = x| -2, X, 5,所以(。尸)c。= xI -2 x<4；(2)若“ X £尸”是“ X £。”的充分不必要条件，即 P。Q,当 q + 12q + 1时，<0,此时。=0 ,满足 PU。，当PW0H寸，则2q + L.q + 1,即a.0,(2a + 1. 5且 等号不能同时取，q+ L.2解得:0” 为 2,即实数a的取值范围为4, 2.例54.已知集合4 ="|/一羽2a + 6, 8 = x|0因4,全集。=R(1)当 4 = 1时,求4c”:(2)若“X£8”是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】当q = 1时，集合/= x|0,x” 8,电8 = x|x<0或x>4, 故4c05) = "|4r 8);(2)由题知：5U A,即且8。/,2二;；,解得“当8 =力时，:一解得a = 1, 2q + 6 = 4由3。力得，。一1,综上所述：实数4的取值范围为(-11.例 55.设集合/ = |x | x2+ 4x = o|, B = xx2 + 2(a 4- l)x 4- a2 -1 = 0.(1)若一 le3,求a的值；(2)设条件p： x e A 9条件q： x e B ,若q是p的充分条件，求a的取值范围.【解析】,IwB,1 - 2a- 2 + Q? -1=0，解得 Q = 1 ± Vs ;(2).4 = 0,-4,依题意3 = 4,若 5 = 0,. A = 4( + 1尸-4(/ 1) < 0q< 1 ；若3 = 0或8 = -4时，.A = 4(q+1)2-4(/- 1)=0 ,a= -1,此时 8 = 0,8。4；A>0若 8 = 04 0 + (4) = -2-2,解得。=1,0X(4) = q2_ X.综上：q的取值范围是例 56.已知集合 / = x| a-L, X, 2a + l, B = x -44,在 Zu5 = 3;"xe力”是 “ x e B ”的充分不必要条件；Zc3 = 0这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问 题.(1)当 a = 3 时，求金(AcB);(2)若,求实数a的取值范围.【解析】(1)当 a = 3 时,/ = %|2 %, 7,而8 = x|2, %, 4,所以 Zc8 = x|2, %, 4, 6r(/c5) = x|x<2或x>4(2)选，由Zu 5 = 5可知：,当 4 = 0 时，则 一1>2。+ 1,即 <2,满足则 q<2,q L.23当 时，。2,由/ = B得：i ,解得l, %一,2q + 1, 423综上所述，实数的取值范围为。<-2或-L, % - 2选，因是“XS5”的充分不必要条件，则,当/ = 0 时，则 Q 12。+ 1,即 Q<2,满足/U B,则 Q<2,.f 6Z1.23当/W0时，a一2,由ZU3得：且不能同时取等号，解得L,.2 + L 423综上所述，实数。的取值范围为。<-2或-L, % 2选，当 4 = 0 时，则 q 1>2q + 1,即 q<2,满足 4c8 = 0,则。<一2,3 、当时，a. .-2 由 4 c5 = 0 得：24 + 1<-2或 一 1 >4,解得 Q< 或 a>5, 2一3 、乂 a一2 ,所以一2, ci < 或 q>5.23综上所述，实数a的取值范围为。<-一或>5 2转化与化归思想例 57.已知集合 4 = 打一2,不，5,8 = x|m + l, 4 2m-l.(1)若命题夕：DX£6,X£才是真命题，求2的取值范围；(2)命题- 3x e A.x e B是真命题，求m的取值范围.【解析】因为命题P'xeSxeN是真命题，所以当 8 = 0 时，m + > 2m- ,解得 m < 2 ；m+ L, 2m -1当8 W 0时，加+ 1-2 ,(后两项不同时取等号)，2m - L, 5解得2,办，3.综上，加的取值范围为加|加 3.(2)因为9：玄£4%£3是真命题，所以,所以只需满足 2 + L, 5即可，即 2, 4.故加的取值范围为伽2啊4.例58.已知命题?：Hxe凡4时乂 +加>0 ,若夕为假命题，求实数机的取值范围.【解析】由题意得力：Dxe尺4加忖+%0 ,丁夕为假命题，为真命题.当加=0时、对VxeR,Q,0恒成立，符合题意；当加w0时，得加（4国+ 1, 0,又4国+ 10,则得外0,可得2 < 0 ,综上可得实数2的取值范围为叫，0.例59.已知集合/ = &|0工，。,集合台=四川+入匕川+韦，如果命题“口£尺，使得AcBW为假命题，求实数。的取值范围.【解析】命题“三加£,使得 C8W0”为假命题，则其否定“/加£火，/C8 = 0”为真命题当 4<0 时，集合/ = x|Q,x,。 = 0 ,符合 Nc8 = 0当a.O时，因为加2+3>。，所以VmwE, AcB = 0得q< m2+ 3对于Vm e R恒成立所以。<（加2 +3） =3 ,则 0” a < 3 /min综上，实数的取值范围为q<3.例 60.已知全集为 A,集合 P = x |2” 乂，10,集合 = x|x<a或x2a + l（Q0）.若尸是成立的充分不必要条件，求a的取值范围；（2）若Pc（«）= 0,求。的取值范围.【解析】（1）因为工£。是成立的充分不必要条件，所以集合。是集合M的真子集，因为 P = x I 2,匕 10,集合M = x|x<Q或x2q+ l（a > 0）,所以10<q或22。+ 1,解得0 < a <,或a10 ,2故a的取值范围为 0 < a < ；或。> 10.(2)因为集合 / = x|x<q或 x > 2q+ l(a0),所以 6r = x|匾. 2q + 1(q0),又因为Pc©") = 0,所以 q10或 2q + 1<2 ,即 0<Q<,或 Q>10, 2故a的取值范围为或。>10.方程思想例61.已知m < x2 - B qxwR,%2+2x-m-l = 0，若p，q都是真命题，求实数 2 的取值范围.【解析】P：PxwR ,巾<“1，若夕真，可得用<，一1濡，而y = X2 一L. 1, x = 0时，取得最小值一1,则加<一1；q：0xe R ,X2+2x-m-l = 0，若 q 真，可得And + dO + l)0 ,解得勿z. 2.m <-1若p,人都是真命题，可得 力则-2,加<-1.加一2故实数机的取值范围是-2, m<-l.例 62.已知，命题p:/x£凡2国 + + 20,命题q:Hxc3,，x2 - z + 1 = 0.(1)若命题P为真命题，求实数。的取值范围；(2)若命题q为真命题，求实数的取值范围.【解析】命题+-2 T)为真命题，R|J tz. 2 x 2 , 乂-2国-2, -2,实数a的取值范围为a.-2;Q)命题4 ：玉6 - 3, - 5_ q + 1 = 0为真命题，即X? - a +1 = 0亦即+ 1 = q在-3,-上有解，又当X £ -3,-力求得二次函数的范围" +10 ,即二次函数y = x2+l最大值为10,最小值是4，244 .实数的取值范围为：1,10 .4例63.已知掰eZ,关于x的一元二次方程 2/一 4x + 4 = 0和4加x + 4/%24加5 = 0,求 方程和的根都是整数的充要条件.【解析1解: mx2 - 4x + 4 = 0是一元二次方程，另一方程为x2 - 4mx+ 4m2 - 4/72 -5 = 0，两方程都要有实根，解得4.,两根为整数，故和与积也为整数，事Zm/. < 4m e Z,4/ -4m -5 eZ，加为4的约数，加=一1或1,当加=一1时,第一个方程V+4x-4 = 0的根为非整数，不符合题意；而当加=1时，两方程均为整数根， .两方程的根均为整数的充要条件是2 = L例64.已知加£火，命题?：存在工£0,不等式2x-2.”23m成立，若夕为真命题，求加的取 值范围.【解析】存在X£0,l,不等式2x 2.m23加成立， （2x-2）max/ - 3m ,又函数y = 2x-2在时的最大值为0,K|J m2 - 3m, 0.解得 Q, m, 3.因此，若p为真命题时，加的取值范围是所以由。nB, BnA, ZnC可得。=C,由C推不出A, A推不出3, 可得。推不出D故。是C的充分不必要条件.故选：B.例6.（2023 四川眉山高三仁寿一中校考开学考试）已知p： 0<x<2,那么的一个充分不必要条件 是（）A. 1 < x < 3B. -1 < x < 1C. 0 < x < 1D. 0 < x < 3【答案】C【解析】对于A中，由l<x<3,则0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2,则l<x<3不一定成立，所以1 <x<3是0<x<2的即不充分也不必要条件，所以A不符合题意；对于B中，由一则0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2,则一 1<x<1不一定成立，所以一1 < x < 1是0<x<2的即不充分也不必要条件，所以B不符合题意；对于C中，由0cx<1,贝ij0<x<2成立，反之：若0cx<2,则0cx<1不一定成立，所以0cx<1是0cx<2 的充分不必要条件，所以C符合题意；对于D中，由0<x<3,则0cx<2不一定成立，反之：若0<x<2,则0<x<3成立，所以0<x<3是0cx<2 的即必要不充分条件，所以D不符合题意.故选：C.例7.（2023 江西新余高一新余市第一中学校考开学考试） +力>4是q>2且6>2的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当。=11=4,此时满足。+力4,但2且62不成立，所以充分性不成立；反之：若。>2且/）>2,可得q + 64成立，所以必要性成立，所以q+ 64 是。> 2且力2 必要不充分条件.故选：B.例8.（2023 高一课时练习）点尸（xj）是第二象限的点的充要条件是（）A. x<0,y<0B, x < Q,y > 0C. x0,y>0D. x>0,y<0【答案】B【解析】因为第二象限的点横坐标小于0,纵坐标大于0,所以点P（xj）是第二象限的点的充要条件是x < 0J0.故选：B例9.（2023 四川绵阳高一绵阳中学校考阶段练习）下列若乙 则/形式的命题中，夕是9的必要条件 的有（）个若X，是偶数，则x + V是偶数若<2,则方程2x + q = 0有实根若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形若仍=0,则。=0A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】对于，x+y是偶数,不能保证qv均是偶数，也有可能都是奇数，故不符合题意；对于，若方程Y2x + Q = 0,则需满足A = 4-4。三0,即q<1,可推出。<2,故符合题意；对于，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故符合题意；对于，若。=0，则6 = 0,故符合题意.故选：D.经典题型二：全称量词命题与存在量词命题例10. （2023 全国高一专题练习）下列命题中为真命题的是（）A.所有的矩形都是正方形B.集合（x,y）y =声与集合川=/表示同一集合C. 是4=8的必要不充分条件D. 3xgR, x2+2x + 2<0【答案】C【解析】对于A项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故A错误；对于B项，由描述法的概念可知集合（xj）卜=/与集合卜3=,分别表示点的集合与数的集合，显然不表示同一集合，故B错误； 对于C项，由=/- = ±6,不满足充分性，若。=力则/=/,满足必要性，故c正确;对于 D 项，VxgR,x2+2x + 2=(x + l)2 +1>1,故 D 错误.故选：C例11. （2023 四川眉山高三仁寿一中校考开学考试）下