2024届一轮复习人教A版 第1章预备知识第1节集合学案.docx

第一节集合考试要求：借助集合的有关概念，解决集合间的关系，并能进行集合的基本运算.、必备知识回顾教材重“四基7一、教材概念结论性质重现i.元素与集合、集合与集合间的关系（D集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：蜃王（用符号表示）和不属于（用符号表示）.集合的表示法：列举法、描述法.（4）集合与集合间的基本关系子集：集合中任意一个元素都是集合一中的元素.用符号表示为型（或且）.Venn图如图所示：或真子集：集合/墨8但存在元素8且加4用符号表示为：A B（或B A）.Venn图如图所示：运5集合相等：集合力的任何一个元素都是集合夕的元素，同时集合的任何一个元素都是集 合/的元素.用符号表示为外=AVenn图如图所示：2.集合的基本运算交集：由所有属于集合/且属于集合夕的元素组成的集合.用符号表示为/n8=x|x£4且工£夕.Venn图如图所示：并集：由所有属于集合/或属于集合夕的元素组成的集合.用符号表示为/U8=x|x£4或工£册.Venn图如图所示:A. 1, 1B. （-3, 1C. （ 8, 3） u （1, +0°）D. （ 3, 1）D解析：阴影部分表示（血.由公R"kx| |x|Wl,可得1或X>1.又M= x| -3<x<l,所以物Cl （。加=x 3<x< 1.12 .（多选题）设全集 =0, L 2, 3, 4,集合/=0, 1, 4, 6= 0, 1, 3,则（ ）A. AHB=0, 1B. （：B= 4C. AUB=0, 1, 3, 4D.集合力的真子集个数为8AC 解析：由题易知，/GQ0, 1,。£=2, 4, AUB=0,1, 3, 4,集合力 的真子 集个数为231 = 7.13 .（多选题）已知全集 =R,函数尸In （1 一才）的定义域为必 集合八三x|¥ xvo,则 （）卜.MCN=NB.C. MN=UD.厄WAB 解析：由题意知 M= x x<l ,N= x| 0cxe 1，所以物GA三足又xxWO 或 x>l, 所以 （加=x x0 W。，J/U N= xx<l =M,，摩（/加.14. （2023 湘潭模拟）已知集合/=x|V7x+12<0, 8= x| 2x+/0,若A7B,则勿 的取值范围为（）A. （ 6, +0°）B. 6, +00）C. （°°, 6）D. （0°, 6A 解析：对于集合/= x| J 7/+12W0 = 3, 4, 3= x|2x+加>0=（-/，+8）, 因为所以一:<3,解得力>一6.所以加的取值范围是（一6, +°°）.故选A.15.已知集合4=x£R| |x+2|<3,集合 8=x£R| （工一曲（才一2） <0,且 4G5=（1,力, 则 m=, n=.-1 1 解析：A= UeR| | x+21 <3 = jreR | -5<X1.由4G8=（1, n）,可知加1,则夕=x|冰x<2.画出数轴，可得加=-1, =1.1A-5-10 12 x16 .设=R,集合/= x| V + 3x+2 = 0, 8= x|（勿+1） x+/=0.若（/M）C8=0,求力的值.解：易知/=-2, -1.由（M）A8=0,得店4因为方程/+ （勿+l）x+勿=0的判别式/ =（勿+1）24勿=（加一I）?。，所以存0.所以 6= -1或 8= -2或 6= -1, -2.若 B= -1,则 ZZ7=1.若 6= 2,则应有一（/+1） = （2） + （2） =4,且勿=（一2）义（-2） =4,这两式不 能同时成立，所以历H 2.若 8= -1, 2）,则应有一（加+1） = （1） + （2） = 3,且加=（1） X （2） =2,由 这两式得加=2.经检验知勿=1和勿=2符合条件.所以加=1或2.AUB补集：对于一个集合4由全集中不属于集合力的所有元素组成的集合称为集合力相 对于全集的补集.用符号表示为/=x|x£，且为/.Venn图如图所示：3.集合的运算性质(1)并集的性质：/U0 = 0U/=4 /U/=4(2)交集的性质：4G0=on4=0；AQA=A.(3)补集的性质:”(/) = ； <n(M=0.微提醒1 . AUB=ABA.2 . AHB=AAB.3 .(。=44 .常用结论(1)若有限集4中有个元素，则4的子集有2"个，真子集有(2"-1)个，非空真子集有(2"2)个.(2)子集的传递性：AJB,匹三心6C4A而= (/) U (/，0(4口8)=(/)n (.二、基本技能思想活动经验1.判断下列说法的正误，对的画 3 ,错的画“X” .(1)集合丁+必0中的实数x可取任意值.(X )(2) xy=x + = y|y=/+l = (%, y) |y=/+l).(X)(3)对任意集合儿B,一定有40 8 AUB.( X )(4)若则 8=e(x)直线y=x+3与y=2x+6的交点组成的集合是(1,4).(V)2 .若集合A= >£N| xWVTU, f,则下列结论中正确的是()A.B. a&AC. a e/JD. cAD解析：因为2位不是自然数，所以前43 .已知集合= x|x> l, B= xx<2,则/n g=()A. (-1, +8)B. ( 8, 2)C. (-1, 2)D. 0C解析：在数轴上标出集合4 &如图所示.B！ A-12 X故/G8=x|1求2.4.已知集合/= x| , 8=x|0WxW2,贝Ij/U8=()A. (-1, 2)B. (-1, 2C. 0, 1)D. 0, 1B 解析：由题意可得：AUB=x-lx2,即 4U=(-1, 2.5.若全集 =1, 2, 3, 4, 5, 6, #=1, 3, 4, N=2, 3, 4,则集合(应 G (。，)等 于()A. 5, 6B. 1, 5, 6C. 2, 5, 6D. 1, 2, 5, 6)A 解析：因为 =1, 2, 3, 4, 5, 6, "=1, 3, 4, *=2, 3, 4),所以也二 5, 6, gl, 5, 6,所以(励 n (而= 5, 6.故选 A.1关键能力研析考点强“四翼7C. -3D. 1AC 解析：由题意得，2 = 3x? + 3x4 或 2 = f+x4.若 2 = 3/+3x4,即 /+x2 = 0,解得x=2或x=l.检验：当>=2时，V+x4=2,与元素互异性矛盾，舍去；当x=l时，/+%4=2,与元素互异性矛盾，舍去.若 2 = f+%4,即 x + X6 = 0,解得x=2或x=3.经验证x=2或%= 3满足条件.故选AC.4.已知 x|2xh x£N.若集合中恰有3个元素，则4的取值范围为. (5, 6解析：因为中恰有3个元素，所以=3, 4, 5),故4的取值范围为(5, 6. 解题通法与集合中的元素有关问题的求解思路确定集合中元素的特征，即集合是数集还是点集或其他集合.(2)看清元素的限制条件.根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的 互异性.考点2集合的基本关系一一综合性典例引领例D/ (1)(多选题)若集合A= UI X21,则满足BQA的集合8可以是()A. 2, 3B. x|x22C. 0, 1, 2D. x|x20AB解析：因为集合/=x|x>l,且 住4所以集合夕可以是集合2, 3,也可以是 x|x22.故选 AB.(2)已知集合A= x 1<<3, B= x| 一加x加,若住4则m的取值范围为. (-8, 1解析：当/<0时，B=0,显然住4当力>0 时,A= x 1<%<3, 若住人 在数轴上标出两集合，如图，-1 -m0 w 13 x-m > -1,m < 3,所以0/Wl.m < m,综上所述，力的取值范围为(一8, 1.同源异考/1 .若在例1(2)中，条件“医力”，改为“ZU夕' 结果如何？解：因为/= x| lx<3, B= x /n<x</n,且(171 < 1,所以 m > 3,解得力23.I -m < m,故力的取值范围为3, +8).2 .若在例1(2)中，条件“生力”，改成“力B”，则力的取值范围为.m < 1, m > 3, 或m < m,m < -1,m > 3,解得力>3.m < m,故"的取值范围为3, +8).解题通法1 .判断两集合关系的方法列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系.化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变 形、化简，探寻两个集合间的关系.2 .根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行 分类讨论，做到不漏解.若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，将其转化为解方程(组)求解，此时 注意集合中元素的互异性.(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值 能否取到.多维训练1 .设全集=R,则集合/Q0, L 2和A xx9 (x2) Tog2X=0的关系可表示为()A 解析：因为 A,=x|x(x2) log2X=0 = l, 2, ；l/= 0, 1, 2,所以 N 是物的真子 集.故选A.2 .满足1, 2或U1, 2, 3, 4, 5的集合/的个数为.8解析：因为集合力满足1, 2cjcl, 2, 3, 4, 5),所以集合/中必有1, 2,集合力还可以有元素3, 4, 5,满足条件的集合 4 有:1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 1, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5共有 8 个.(2)满足1, 2 A 1, 2, 3, 4, 5的集合力的个数为年考点3集合的运算一一应用性典例引领考向1集合的运算例* (1)设集合=x|>21, B=x-l<x<2,则 4U8=()A. x x> 1B. x xlC.x-l<x<lD. x|lWK2A解析：由交集的定义结合题意可得：AUB=xx>-l.故选A.(2) (2022 全国甲卷)设全集 =-2, -1, 0, 1, 2, 3),集合力=-1, 2, B=xx4x+3 = 0,则(4U= = ()A. 1, 3B. 0, 3C. -2, 1D. -2, 0D 解析：由题意，8=x|x2_4x+3 = 0 = 1, 3,所以力口夕=-1, 1, 2, 3, 所以C4U8) = -2, 0.故选D.(3)已知集合/= (x, p)|x, p£N*, yx , 6= (x, y)|x+y=8,则 4C6 中元素的个数 为()A. 2B. 3C. 4D. 6C解析：由题意，/G8中的元素满足?'且x, y£N*.由x+p=8三2筋 得xW4, (% + y = 8,所以满足x+y=8的有(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4),故4G夕中元素的个数为4.同源异考/例2(1)中的条件不变，试求r(/IG8).解：因为 4=x|xNl, B= x l<x<2,所以/nQx|lWK2,所以r(/G8) = xx<l或 x22.解题通法求解集合运算的思路与原则(1)思路：先化简集合，再由交集、并集、补集的定义求解.原则：先计算括号里面的，再按运算顺序求解.考向2集合运算的应用例/ 设集合 4=x|V4W0,4=x|2x+aW0,且G 8=x 2<xWl,则片 ()A. -4B. -2C. 2D. 4B 解析:集合 4= x|V4W0 = x| - 2WxW2, B= x|2x+aW0 =x x < 一1a .由/= x|2WxWl,可得一工<3=1,则 a=-2.2(2)已知集合4= x| V4x+3<0 ,B= xx>a,若4r18=0,则实数a的取值范围是()A. 3, +8)B. (3, +8)C. (一8, 1D. ( °°, 1)A 解析：因为集合力=x|/-4>+30 = x| 1 WxW3,又/G 8=0,所以a23.解题通法根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则用观 察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要 注意端点值能否取到.将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.多维训练1 .设集合/=(% y) |/+y = 1, B=(x, y) x-y=l,则/G8 中元素的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3C解析：如图.因为圆/+/=1和直线x+p=l有两个交点，所以zn6中元素的个数为2.故选C.2.设集合/= 1, 1, 2, 3, 5, Z?=2, 3, 4, 0=>|lWx<3,则(/n0U3=()A. 2B. 2, 3C. -1, 2, 3D. 1, 2, 3, 4)D 解析：易知 /AC=1, 2,所以 C4n0U6=l, 2 U 2, 3, 4 = 1, 2, 3, 4).故 选D.3. (2022 新高考 I 卷)若集合#=x«<4,川=x|3x2l,贝lJG/V=( )A. x|0Wx<2B. x / 1/3 <x< 2C. x|3Wx16D. (%|<x < 16D 解析：/Qx|0Wx<16, N=x x > |j,故门代%( W % V 16).故选 D.课时质量评价(一)A组全考点巩固练1. (2022 全国乙卷)设全集=1, 2, 3, 4, 5),集合满足。" =1, 3,则()A.B. 3e#C. 4由勿D. 5由 17A解析：由题知必 =2, 4, 5),对比选项知，A正确，BCD错误.故选A.2. (2021 天津卷)设集合 =-1, 0, 1,4=1, 3, 5,。=0, 2, 4,则 C4G0U。 =()A. 0B. 0, 1, 3, 5)C. 0, 1, 2, 4D. 0, 2, 3, 4C 解析：因为/= 1, 0, 1,夕=1, 3, 5,。=0, 2, 4,所以/G6=1, (/G8) UC=0, 1, 2, 4.3.集合M= y| y=，4 -歼,x£Z的真子集的个数为()A. 7B. 8C. 31D. 32A 解析：M= y|y=V4 - %2, x£Z = 2, V3, 0,故其真子集的个数为 2：'1 =7.4. (2022 新高考H卷)已知集合力= 1, 1, 2, 4, B=x则 4G夕=()A. -1, 2B. 1, 2C. 1, 4D. -1, 4B 解析：6=x|0WxW2,故/n6=l, 2,故选 B.5.定义集合运算：AQB= ZZ=xy, yB.设集合/= 1, 0, 1, B= sin a , cos ,则集合力。夕的所有元素之和为（）A. 1B. 0C. 1D. sin o +cos oB解析：因为所以x的可能取值为一1, 0, L同理，p的可能取值为sin。，cos a, 所以xy的所有可能取值为（重复的只列举一次）一sin o , 0, sin a , cos a , cos a , 所以所有元素之和为0.6 .（多选题）已知集合力=2, 3, 4,集合2, 3, 4, 5）,则集合5可能为（）A. 1, 2, 5B. 2, 3, 5C. 0, 1, 5D. 1, 2, 3, 4, 5）AD解析：因为集合= 2, 3, 4）,集合7|U=1, 2, 3, 4, 5）,所以集合6中必有元素 1和5,且有元素2, 3, 4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合，BC错误.7 .已知集合力= 1, 0, 1, 6, B=xx>09则/A8=.15 6解析：因为/= 1, 0, 1, 6, B=xx>Q, x£R,所以 4G6=1, 6.8 .设集合/=x£N|5 一x20, 6=x|V3x+2 = 0,则14=.0, 3, 4, 5解析:因为集合 4=x£N|5 x20 = x£N|xW5 = 0, 1, 2, 3, 4, 5）, 8=x|V3x+2 = 0 = 1, 2,所以/=0, 3, 4, 5）.9 .已知集合力=0, 1, 7?=0, 1, 2）,则满足的集合。有 个.4解析：由力口。=方可知集合。中一定有元素2,所以符合要求的集合。有2, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 1）,共 4 种情况.10 .已知/= x| ax+l=0, B= x % 1 = 0,若求实数 a 的值.解：B= xxl=Q= 1, 1.当 a=0 时，x| a%+l=0 =0, 满足AQB.当 aWO 时，x| ax+l=0 =.由题意知，一工=1或一1,此时a= 或1. a综上所述，a的值为0或一1或1.B组新高考培优练11 . （2022 泰安一模）已知全集 =R,集合"=x|N=x| |x|Wl,则阴影部分 表示的集合是（）考点1集合的概念一一基础性多维训练1.设集合岳，b, Vab= 1, 2, 4,则 a+6=()A. 2B. 3C. 5D. 6C 解析：因为 2=11 x 4,所以 a=l, b=4,或 a=4, b=l9 Vob = 2,所以 a+6=5.故选C.2.若集合力=x| aV3才+2 = 0中只有一个元素，则a=()A. -B.-28C. 0D.0或:I)解析：当3=0时，显然成立；当aWO时，4 = (3)* 285=0,即H=2.故选I). 83.(多选题)已知集合物= 2, 3/+3x4, *+矛4.若2£弘 则满足条件的实数x可 能为()A. 2B. -2