矩形菱形和正方形.docx

矩形菱形和正方形精选考点专项突破卷（一）考试范围：矩形菱形和正方形；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分）1 . （2018上海中考真题）已知平行四边形ABCD,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A. ZA=ZBB. ZA=ZCC. AC=BDD. AB±BC2 .（2019上海中考真题）下列命题中，假命题是（）A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C.矩形的对角线互相平分D.矩形对角线交点到四条边的距离相等3 .（2011 湖南中考真题）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角互补4 . （2019山东中考真题）如图，点£是正方形的边。C上一点，把A4DE绕点/顺时针旋转90。到 A45b的位置.若四边形AECF的面积为20, DE=2,则AE的长为（）A. 4B. 2a/5C. 6D. 2765 .（2012天津中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E,使 ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上，则DG的长为（）A. V3-1B. 3-75C. V5 + 1D. V5-16. （2015,湖北中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB = 4, BC = 8,将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合， 则下列结论错误的是（）A. AF = AEB. AABEAAGF C. EF=2逐D. AF = EF7 .（2012浙江中考真题）如图，菱形ABCD中，AB=2, NA=120。，点P, Q, K分别为线段BC, CD, BD ± 的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A. 1B. V3C. 2D. V3+18 . （2015浙江中考真题）如图，已知某广场菱形花坛A8C。的周长是24米，Z8/10=60°,则花坛对角线AC 的长等于（）A. 6百米B. 6米C. 3百米D. 3米9.（2018甘肃中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把AADE绕点A顺时针旋转90。到4ABF 的位置，若四边形AECF的面积为25, DE=2,则AE的长为（）【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，运用勾股定理求出0D的长是解答本题的关键.17. 16【详解】四边形ABCD为正方形，AZD=ZABC=90°, AD=AB,A ZABE=ZD=90°,VZEAF=90°,A ZDAF+ZBAF=90°, ZBAE+ZBAF=90°,AZDAF=ZBAE,/.AEBAAFD,Saeb=Safd，它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积二正方形的面积=16.18.证明见解析.【解析】过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出NBCF二ND,再利用角角边证明ABCF和4CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF, 从而得证.证明：如图，过点8作8FJ_CE于F,9：CE_LAD,AZD+ZDCE=90o,TN 88=90°,A Z5CF+ZDCE=90°：.ZBCF=ZD,在8CF和口?£中，：.ABCF/CDE(AAS),；BF=CE,XV Z/=90°, CELAD, BF_LCE,四边形4EFB是矩形，：AE;BF,：.AE=CE.19. （1）证明见解析；（2） 4.【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可;（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.【详解】（1） °四边形ABCD是菱形，二ACJLBD,A ZCOD=90°.VCEOD, DEOC,，四边形OCED是平行四边形，又 NCOD = 90°,平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形。CED是矩形，则CE=OD=1, DE=OC=2.四边形ABCD是菱形，AAC=2OC=4, BD=2OD=2,菱形 ABCD 的面积为：-AC*BD=-x4x2=4, 22故答案为4.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.20. 解：（1）如图所示：（2）首先根据角平分线的性质以及平行线的性质得出NABE二NAEB,进而得出AABO也FBO,进而利用AF±BE, BO=EO, AO=FO,得出即可。分析：（1）根据角平分线的作法作出NABC的平分线即可。（2）首先根据角平分线的性质以及平行线的性质得出NABE=NAEB,进而得出ABOg/XFBO,进而利用AF±BE, BO=EO, AO=FO,得出即可。解：（1）如图所示:(2)证明：:BE 平分NABC, A ZABE=ZEAFoVZEBF=ZAEB, A ZABE=ZAEBO AAB=AEoVA01BE, BO=EOo;在ABO 和FBO 中，ZABO=ZFBO , BO=EO, ZAOB=ZFOB, /.ABOAFBO (ASA)o AAO=FOoVAF1BE, BO=EO, AO=FOo二四边形 ABFE 为菱形。21. (1)证明见解析(2) V2-1【解析】(1)先由旋转的性质得 AE=AB, AF=AC, ZEAF= ZBAC,则 ZEAF+ ZBAF= ZBAC+ ZBAF,即 ZEAB= ZFAC, 利用AB=AC可得AE二AF,得出AACF也ZABE,从而得出BE=CF；(2)由菱形的性质得到DE二AE=AC=AB=1, ACDE,根据等腰三角形的性质得NAEB二NABE,根据平行线得 性质得NABE二NBAO45。,所以NAEB=NABE=45°,于是可判断4ABE为等腰直角三角形，所以BE二®AC二正, 于是利用BD=BE - DE求解.【详解】(1) AEF是由aABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，AAE=AB, AF=AC, ZEAF=ZBAC,，Z EAF+ Z BAF= Z BAC+ Z BAF,即 N EAB= N FAC,AC = AB在AACF 和4ABE 中， ZCAF = /BAE AF = AE/. AACFAABE BE=CF.(2) :四边形ACDE为菱形，AB=AC=1,ADE=AE=AC=AB=1, ACDE,A ZAEB=ZABE, ZABE=ZBAC=45°,AZAEB=ZABE=45°, .ABE为等腰直角三角形,abe=V2AC=V2，ABD=BE - DE=72-1 考点：1.旋转的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质.22. (1)证明见解析；(2) 当AE = 3.5cm时，四边形CEDF是矩形. 当AE = 2cm时，四边形CEDF是菱形.【详解】(1) V四边形ABCD是平行四边形,CFED, J NFCG= NEDG, 丁 G是CD的中点，,CGZFCG = ZEDG= DG,在AFCG 和AEDG 中， CG = DG , ：. AFCG AEDG (ASA), A FG = EG, V CG = DG, Z. /CGF = ZDGE四边形CEDF是平行四边形；(2)当时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AMLBC于M,VZB=60°, AB=3,丁四边形ABCD是平行四边形，A ZCDA=ZB=60°, DC=AB=3, BC=AD=5,ADE=1.5=BM,在MBA HAEDC 中，.MBAAEDC(SAS),A ZCED=ZAMB=90°,四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是矩形,故答案为；当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：VAD=5,AE=2ADE=3,VCD=3,ZCDE=60°,CDE是等边三角形，ACE=DE,:四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是菱形，故答案为2.考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的判定；4.菱形的判定.23.见解析；见解析；60°试题分析：（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF,即DF=BC, 然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到BD二CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可试题解析：（1）如图所示：（2） 丁根据作图可知：MN垂直平分线段AC, D、E为线段AB和AC的中点，DE是AABC的中位线，JDE二,BC,乙 将4ADE绕点E顺时针旋转180。，点D的像为点F, AEF=ED, ADF=BC, DEBC,四边形BCFD是平行四边形；（3）当 NB=60°时，四边形 BCFD 是菱形；VZB=60°, A BC=-AB,乙 DB=aB,ADB=CB, 四边形BCFD是平行四边形，四边形BCFD是菱形.乙考点：菱形的判定；平行四边形的判定；作图-旋转变换24.解：（1）证明：如图，YMN交NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F,AZ2=Z5, 4=Z6.MNBC, A Z1=Z5, 3=Z6.A Z1=Z2, Z3=Z4. A EO=CO, FO=CO.AOE=OF.（2） VZ2=Z5, Z4=Z6, A Z2+Z4=Z5+Z6=90°. CE=12, CF=5 9 EF = y/122 + 52 =13 .AOC=-.（3）当点。在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.理由如下：当。为AC的中点时，AO=CO,E0=F0,四边形AECF是平行四边形. ZECF=90°,工平行四边形AECF是矩形.（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出N1=N2, Z3=Z4,进而得出答案.（2）根据已知得出N2+N4=N5+N6=90。，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的 中线性质得出CO的长.（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.25. （1）证明见解析；（2） 2, 9.【分析】感知：利用同角的余角相等判断出NBAF二NCBE,即可得出结论；探究：（1）判断出PG二BC,同感知的方法判断出PGFgCBE,即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论.【详解】感知：四边形ABCD是正方形，AAB=BC, ZBCE=ZABC=90°,A ZABE+ZCBE=90°,VAF1BE,A ZABE+ZBAF=90°,A ZBAF=ZCBE,在AABF和4BCE中，ZBAF = ZCBE AB = BC,/ABC = /BCE = 90°AAABFABCE （ASA）；探究：（1）如图，过点G作GPLBC于P,丁四边形ABCD是正方形，AAB=BC, ZA=ZABC=90°,J四边形ABPG是矩形,A PG=AB, /. PG=BC,同感知的方法得，ZPGF=ZCBE,在ZPGF 和 ACBE 中，APQF = /CBE PQ = BC,ZPFG = /ECB = 90°V.PGFACBE (ASA),ABE=FG；(2)由(1)知，FG=BE,连接CM, /BCE=90。，点 M 是 BE 的中点,ABE=2CM=2,A FG=2,故答案为：2.应用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6,AME=3,同探究(1)得，CG=BE=6,VBE1CG,. 1 1 S 四边形 cegm= CGxM E二一x6x3=9,故答案为：9.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质, 直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键。A. 5B. V23C. 7D. V2910. （2018山东中考真题）矩形ABCD与CEFG,如图放置，点B, C, E共线，点C, D, G共线，连接AF,取 AF 的中点 H,连接 GH.若 BC=EF=2, CD=CE=1,则 GH=()A. 12B.一3V2V二、填空题（每小题4分，共28分）11. （2014广西中考真题）直角三角形的两条直角边长为6, 8,那么斜边上的中线长是12. （2016青海中考真题）如图，在菱形ABCD中，E, F分别是AD, BD的中点，若EF=2,则菱形ABCD的周长是13. （2015广西中考真题）如图，在正方形ABCD外侧作等边AADE,则NBED的度数为：14. （2013北京中考真题）如图,0是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5, AD=12,则四边形ABOM的周长为.15. （2015山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上）， 折叠后顶点D恰好落在边0c上的点F处,若点D的坐标为（10, 8）,则点E的坐标为.16. （2018广东中考真题）如图，若菱形ABC。的顶点4 B的坐标分别为（3, 0）, （ - 2, 0）,点。在y轴 上，则点C的坐标是.17. （2005江苏中考真题）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的 直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E.则四边形AECF的面积三、解答题一（每小题6分，共18分）18. （2013山东中考真题）如图，四边形ABCD中，ZA=ZBCD=90°, BC=CD, CE±AD,垂足为E,求证： AE=CE.19. （2018辽宁中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点0.过点C作BD的平行线，过 点D作AC的平行线，两直线相交于点E.（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若 CE=1, DE=2, ABCD 的面积是.20. （2013江苏中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB.（1）作出NABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E, AF1BE,垂足为点0,交BC于点F,连接EF.求证：四边形 ABFE为菱形.四、解答题二（每小题8分，共24分）21. （2015湖北中考真题）如图，ABC中，AB = AC = 1, ZBAC = 45°, 4AEF是由AABC绕点A按顺时针 方向旋转得到的，连接BE, CF相交于点D.（1）求证：BE = CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.22. （2015甘肃中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm, ZB=60°, G是CD的中点，E 是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE, DF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）当AE二 cm时，四边形CEDF是矩形；当AE=cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）23. （2015湖南中考真题）已知在RtzABC中，ZACB=90°,现按如下步骤作图：分别以A, C为圆心，a为半径（a>'c）作弧，两弧分别交于M, N两点；过M, N两点作直线MN交AB于点D,交AC于点E；将4ADE绕点E顺时针旋转180°,设点D的像为点F.（1）请在图中直线标出点F并连接CF；（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；（3）当NB为多少度时，四边形BCFD是菱形.五、解答题三（每小题10分，共20分）24. （2013湖南中考真题）如图，AABC中，点。是边AC上一个动点，过0作直线MNBC,设MN交 NACB的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.（1）求证：OE=OF；（2）若 CE=12, CF=5,求 OC 的长；（3）当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.25. （2018吉林中考真题）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE.（感知）如图，过点A作AFJ_BE交BC于点F.易证4ABF也ZBCE.（不需要证明）（探究）如图，取BE的中点M,过点M作FGJ_BE交BC于点F,交AD于点G.（1）求证：BE=FG.（2）连结CM,若CM=1,则FG的长为.（应用）如图，取BE的中点M,连结CM.过点C作CGJ_BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3, 则四边形GMCE的面积为矩形菱形和正方形精选考点专项突破卷（一）参考答案1. B【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.【详解】A、ZA=ZB, ZA+ZB=180°,所以NA=NB=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，正确;B、NA二NC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB_LBC,所以NB=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，故选B.【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握''有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的 平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形是解题的关键.2. D【解析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】4、矩形的对角线相等，正确，是真命题；8、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；。、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题.故选。.【点睛】本题考查了命题与定理的知识.解题的关键是了解矩形的性质，难度不大.3. A【详解】菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分.则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直故选A4. D【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形A88的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.【详解】AADE绕点A顺时针旋转90。到AABF的位置.四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20,:.AD = DC = 2V5，DE = 2,：,RtAADE 中,AE = AD2 + DE2 = 276故选：D.【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键.5. D【详解】:四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，DM二工DC=1。2*- CM = VdC2+ DM2 = V22+12=V5 AME=mc=V5AED=EM-DM=V5-1 o四边形EDGF是正方形，DG=DE二布_1。故选Do6. D试题分析：VADBC, A ZAFE=ZFEC, VZAEF=ZFEC, A ZAFE=ZAEF, AAF=AE,工选项 A 正确； YABCD 是矩形，AAB=CD, ZB=ZC=90°, VAG=DC, ZG=ZC, A ZB=ZG=90°, AB=AG, VAE=AF, AAABEAAGF,工选项B正确；设 BE=x,则 CE=BC - BE=8 - x, 丁沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合，AAE=CE=8 - X,在 RtZSABE 中，AB2+ BE2 = AE2即 42+Y =（8 了，解得 x=3,，AE=8 - 3=5,由翻折的性质得，ZAEF=ZCEF, V 矩形 ABCD 的对边 ADBC, A ZAFE=ZCEF, A ZAEF=ZAFE, AAE=AF=5,过点 E 作 EHLAD 于 H,则四边 形 ABEH 是矩形，AEH=AB=4, AH=BE=3, AFH=AF - AH=5 - 3=2,在 RtEFH 中,EF=2后,选项 C 正确; 由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D.考点：翻折变换（折叠问题）.7. B【解析】先根据四边形ABCD是菱形可知，ADBC,由NA=120。可知NB=60。，作点P关于直线BD的对称 点，连接PQ PC,则P。的长即为PK+QK的最小值,由图可知，当点Q与点C重合，CPUAB时PK+QK 的值最小，再在RtTXBCP，中利用锐角三角函数的定义求出Pt的长即可.【详解】解：四边形ABCD是菱形，ADBC,VZA=120°,；Z B=180°- Z A=180°-120°=60°,作点P关于直线BD的对称点Pz,连接P9, Pt,则PZQ的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CPUAB时PK+QK的值最小，在 RtBCP7中，V BC=AB=2, ZB=60°,pQ = CP =BCsEB = 2x% =也故选B.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键.8. A分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为乙氏4。= 60。，所以NBAO=30。，OA=3g 米,，AC= 6百米.故选A.9. D【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.【详解】:把4ADE顺时针旋转4ABF的位置,四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25,AAD=DC=5,VDE=2, RtAADE 中，AE = AD2+DE2 = V29,故选D.【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关 键.10. C分析：延长GH交AD于点P,先证APH会AFGH得AP=GF=1, GH=PH=-PG,再利用勾股定理求得PG二血, 从而得出答案.详解：如图，延长GH交AD于点P,四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，A ZADC=ZADG=ZCGF=90°, AD=BC=2> GF=CE=1,，ADGF,A ZGFH=ZPAH,又H是AF的中点,AAH=FH,在AAPH和AFGH中，'/PAH = ZGFH V < AH = FH , ZAHP = 4FHGAAAPHAFGH (ASA),1.AP=GF=1, GH=PH=-PG,2APD=AD - AP=1,VCG=2> CD=1,A DG=1, B则 GH=彳 PG=x 1 pd? + DG? ,222故选：c.点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等 知识点.11. 5.【详解】试题分析：直角三角形的两条直角边长为6, 8,由勾股定理得，斜边二10.斜边上的中线长二-xl0=5.2考点：1 .勾股定理；2.直角三角形斜边上的中线性质.12. 16试题分析：先利用三角形中位线性质得到AB=4,然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长.VE, F分别是AD, BD的中点,EF为4ABD的中位线， AAB=2EF=4,丁四边形 ABCD 为菱形，AAB=BC=CD=DA=4, ，菱形 ABCD 的周长二4x4=16.考点：（1）菱形的性质；（2）三角形中位线定理.13. 45°试题分析：根据正方形及等边三角形的性质可得NBAD=90。，ZDAE=ZADE=60°, AB=AE,即可求得NBEA的 度数，从而求得结果.;正方形等边/£>£A ZBAD=90°, ZDAE=ZADE=60°, AB=AEAZBAE=150°A ZBEA=15°ZDEB = 45°.考点：正方形的性质，等边三角形的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正方形及等边三角形的性质，即可完成.14. 20o【详解】VAB = 5, AD = 12,根据矩形的性质和勾股定理，得AC = 13.VBO为R t ABC斜边上的中线BO =0是AC的中点，M是AD的中点，AOM是4ACD的中位线/.0M =，四边形ABOM的周长为：+6 + 5 = 20故答案为：2015. (10, 3)【解析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角aAOF中，利用勾股定理求得OF=6,然后设EC=x,则 EF=DE=8-x, CF=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.【详解】四边形40CD为矩形，。的坐标为(10,8),：.AD=BC=10, DC=AB=8,:矩形沿ZE折叠，使。落在BC上的点F处，：.AD=AF=10, DE=EF,在 RtAAOF中,。F=，/尸2=6,AFC=10-6=4,设 EC=x,则 DE=EF=8-x,在 RtACEF中,EF2=EC2+fc2,BP(8-x)2=x2+42,解得x=3,即EC的长为3.点E的坐标为(10,3).16. ( - 5, 4).【解析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB,从而可得到点C的横坐 标；接下来在AAOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.【详解】由题知A (3,0), B (-2,0), D在y轴上，AAB=3- (-2) =5, OA=3, BO=2,由菱形邻边相等可得AD=AB=5,在RtAOD中，由勾股定理得：OD= VaD2-OA2= 752 -32=4，由菱形对边相等且平行得CD=BA=5,所以 C (-5,4).故答案为(-5, 4).