集合的基本运算（六大题型）（原卷版）.docx

1. 3集合的基本运算【题型归纳目录】题型一：集合的交集运算题型二：并集运算题型三：补集运算题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数题型六：韦恩图在集合运算中的应用【知识点梳理】知识点一：集合的运算1、并集一般地，由所有属于集合4或属于集合8的元素所组成的集合，称为集合4与8的并集，记作：AUB 读作：7 并，即：AUB=xxeA,或口£/Venn图表小：知识点诠释：（1） “XW4,或XWB”包含三种情况：但X史B”；民但了任力”；且（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合力与3的所有元素组成的集合（重复元素只出现 一次）.2、交集一般地，由属于集合/且属于集合8的元素所组成的集合，叫做集合/与3的交集；记作：AHB,读 作：，交5”,即/05=小“,且工£团；交集的次mz图表示：知识点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合力与8没有公共元素时，不能说/与8没有交集， 而是力。5=0.（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅ZA8中的任意元素都是/与8的公共元素”，同时"与8 的公共元素都属于夕（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合力与8的所有公共元素组成的集合.3、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作U.补集：对于全集。的一个子集4由全集。中所有不属于集合/的所有元素组成的集合称为集合4相 对于全集。的补集（com夕加2£375），简称为集合Z的补集，记作：CjjA,即。0力=x I X £。且Xe44*4,5.(2)若"=。,。2，%是5 = 1,2,7的3元完美子集，求+出+。3的最小值.补集的生图表示:知识点诠释：(1)理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合4和。(4 1。)相对而言的一个概念，一个 确定的集合力，对于不同的集合U,补集不同.(2)全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展 到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集.(3)表示。为全集时/的补集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记号中“右也必须换成相应的集合(即4、集合基本运算的一些结论(C")uA = U,(G/)c4=0若则4 = 3,反之也成立若则4 = 3,反之也成立若(ZA3),则 x"且若 xw (4U8),则 xeZ,或求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且''与"或”, 在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合陀图或数轴进而 用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】题型一：集合的交集运算例1. (2023全国高一专题练习)已知集合4 = x|-2<x<3,6=卜|工<1,则/c5=()A. xx<B. x|x<3C.x|-2<x<lD. x|-2<x<3)例2.(2023四川成都高一统考期中)已知集合/ = x|x>0,B = x-l<x<2,则()A. x|x>-lB.x|0<x<2C.x|x>0D. x | -1 < x < 2例3.(2023 ,浙江台州高一校联考期中)集合7 = 2,3,5, S = 3,5,7,则SCT=()A. 2,3,5,7B.3,5C.2,3,5D. 3,5,7变式1.(2023辽宁大连高一大连市第十二中学校考阶段练习)已知集合4 = 30«2-144,8 = *h、>0, 则()A. -2,-1,0B. 2C. x|-2<x<lD. x 11 < x < 2变式2.(2023 江苏南京高一校考阶段练习)已知集合4 = x|-l«x«l, B = -1,0,2,则二()A. -1,0C. -1JB. TO,L2D. 0变式3.（2023 黑龙江大庆高一大庆中学校考阶段练习）设集合4 = x|-l<x<5, 8 = 2,3,4,5, AC）B = （）A. 2B. 2,3C.2,3,4D,3,4,5变式4.（2023 海南省直辖县级单位高一校考期中）设集合/ = -2,3,6,5,8=x|"x<',则（）A. 1,-2B. 3,1C. 1,6D. 0【方法技巧与总结】求集合/ns的步骤与注意点（1）步骤：弄清两个集合的属性及代表元素；把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成中的形式；把化简后的集合4b的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）.（2）注意：若4 8是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时， 含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.题型二：并集运算例4.（2023 新疆和田高一统考期中）已知集合力= 0, 3 = -1,1,则.例5.（2023全国高一专题练习）已知集合/=3, 8 = 1,3,5,则.例6.（2023上海宝山高一上海市吴淞中学校考阶段练习）已知集合4 = 巾2<x<l,5 = 中>-1,则 Au B =变式5.（2023 安徽阜阳高一校考阶段练习）已知集合/= 5,4 + 1, B = a,b9若不|8 = 2,则4J8=_变式6.（2023 北京朝阳高一统考期末）已知集合4 = x|-2<x<0,集合8 =何0 < x « 1,则 A。B =.变式7.（2023 上海普陀高一曹杨二中校考期中）已知集合/=0,2川=卜|/+、= 0,则 MdN =.变式8.（2023上海长宁高一上海市延安中学校考期中）已知集合A = x-4<x<5,8 =何工V -1或x6, 则力=.【方法技巧与总结】求集合并集的两个方法（1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.（2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得.题型三：补集运算例7.（2023湖北黄冈高一校考阶段练习）设集。=工6犯0<48,5 = 1,2,3,4,5" = 3,5,7,则 ScT）=（）A. 1,2B. 123C. 124D. 1,2,4,5,6,8例8.（2023 ,全国高一课堂例题）已知全集。= *3<x<3,集合/ =卜卜2 < x W 1,则为力=（）A. x|-2<x< 1!B.心力=川一3cx<2 或lx<3C. x -2 < x< 1D. «4 = x 一3<1一2 或l<x<3例9.（2023全国高一课堂例题）设集合。=0,123,4,5,4=1,3,5,则«4=（）A. 2,4B. 1,3,5C. 024D. 0,2,3,4,5变式9.（2023 全国高一假期作业）设集合。=1,2,3,4,5,/ = 2,3,5,则电力=（）A. 5B. 1,4C. 2,3D. 2,3,5变式 10.（2023高一单元测试）集合/= x|lx<2,8 = xk<l,则（）A. x|x>lB. x|x> 1）C. x|l < x < 21D. x|l < x < 2|变式11. （2023高一课时练习）已知全集。= 1,2,3,4,5, = 1,2,N = 2,5,如图所示，阴影部分表示的 集合是（）A. 3,4,5B. 1,3,4C. 1,2,5D. 3,4【方法技巧与总结】补集的求解步骤及方法（1）步骤：确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；紧扣定义求解补集.（2）方法：借助Venn图或数轴求解；借助补集性质求解.题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算例10.（2023河南南阳高一校考阶段练习）如图所示，用集合/、8及它们的交集、并集、补集表示阴影 部分所表示的集合，正确的表达式是（）A.（4U6）n（4n0B.c. zn（稠）u（ j）n8d.飘zu8）nu（znB）例11.（多选题）（2023江苏徐州高一统考期中）如图，已知矩形。表示全集，48是。的两个子集，则 阴影部分可表示为（）A.B. 4（力AB）C. 3b（AcB）D.例12.（多选题）（2023广东佛山高一统考期中）已知集合力=卜|一一2'-3<0,集合8 = x| 2x-4< 0, 则下列关系式正确的是（）A. / c 8 = x | 一1 < x < 2B. 4U8 = x|x«3C. A（B） = xx>-D. Zc&B） = x|2<x<3变式12.（多选题）（2023浙江杭州,高一校考期中）已知集合、N的关系如图所示，则下列结论中正确的 （）A. McN = 0B. MjQrN = RC.朝K rN = rMD.您M c rN = rMb金 2a1 ,若l"n8, 2e()n5,变式13. （2023高一课时练习）已知集合力=-3。+即，B = <则 4 + b =变式14. （2023河南周口高一校考阶段练习）已知集合尸=12_工一2工0, 2 = x|0<x-l<2,贝I p）n。等于.变式 15.（2023 高一课时练习）设全集。= x|x<10,xeN,若 / I 电方=1,4,5 , 51电=6,8,栩 U u3 = 1,2,4,5,6,7,8,则 4nB=.变式16.（2023四川遂宁高一遂宁中学校考阶段练习）设全集。=30。<6/£匹/ =卜,2一51+ q=0,B = x|x2 + px+12=0）,（电U 5 = 1,3,4,5,则集合3=.【方法技巧与总结】求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得 形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数例 13. （2023高一课时练习）集合力= x-2<x<5,集合8 = x|m + l0x«2）一 1,若求实数）的取值范围.（2）若/C3W0,求实数加的取值范围.例 14.（2023高一课时练习）已知集合/= x|2q + 1Kx43 5, B = xx<-1,或x>16,若/=（48）, 求实数。的取值范围.例15.（2023全国高一专题练习）设集合A 1,-1-+ 3-3,8 x r-2x +1 = o|,C =卜 - （a + l）x + a - 0.讨论集合3与。的关系；若。<0,且NcC = C,求实数。的值.变式17.（2023全国高一假期作业）已知集合4 =任|2王令32研,B=xx<5a+1（1）若求。的取值范围；（2）若/nB=。，求的取值范围.变式18.（2023高一课时练习）已知集合4 = x| - 3<xV4,集合8 =卜，+ " x « 2左一 1,AjB = x-3<x<5,求人 的值.变式19.（2023全国高一专题练习）设集合/ =卜|工2一31+ 2=0,8=幻12-（4 + 1工+4 =（|.（1）若4U3 = 1,2,3,求实数a的值；（2）若= 求实数Q的取值集合.变式20.（2023 湖南常德高一临澧县第一中学校考期末）已知集合4 = x|0<x<2, 3 = x|2-加<X<7-1.（1）若阳=g,求Nu3；（2）若求实数加的取值范围.请从条件/n8=8,条件8c（6/） = 0,这两个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问 的解答.变式21.（2023高一课时练习）已知集合力= x|l«x<3,集合8 = x|m 2WxW2 + 2, xeR.（1）若4cm0X3,求实数2的值；（2）若/c（«町=4,求实数2的取值范围.【方法技巧与总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点（1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到4 U 8=8,4n等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解, 如AUB=BoAqB.（2）关注点：当集合NG8时，若集合/不确定，运算时要考虑/=。的情况，否则易漏解.题型六：韦恩图在集合运算中的应用例16.（2023全国高一随堂练习）建党百年之际，影片1921长津湖革命者都已陆续上映，截止2021 年10月底，长津湖票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影 片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了1921的有51人，观看了长津湖的有60人, 观看了革命者的有50人，数据如图，则图中； b=； c=.例17.（2023重庆长寿高一重庆市长寿中学校校考期末）某城市数，理，化竞赛时，高一某班有24名学生 参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数，理，化三科竞赛的有7名, 只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名.若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有一名.例18.（2023全国高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这 两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.变式22.（2023重庆南岸高一重庆市第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外 研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26, 15, 13,同时 参加数学和化学小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和物理小组的人数 为.变式23.（2023全国高一假期作业）向50名学生调查对43两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是 全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对43都不赞成的学 生数比对46都赞成的学生数的三分之一多1人,则赞成A的不赞成8的有 人.变式24.（2023全国高一专题练习）疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采 样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人， 后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为.变式25.（2023广东深圳高一校考期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班 有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学、物 理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数 是.【过关测试】一、单选题1. （2023高一课时练习）设。=R, A = xx>0, B = xx<i,则 4n但可=（）A. x 10 < x < 1B. x|0<x<lC. x|x<0D. x|x>l）2 .（2023 江西萍乡高一萍乡市安源中学校考期末）已知集合4 = -3,4QB = x| x<0或x>3, 则力c3=（）A. 0B. -3,-1,0,4 C. 2,3D. 0,1,2,33 .（2023甘肃武威高一校考期中）若集合4 = x£N|2 W,8 = 2,3,4,5,则人5=（）A. 2,3,4,5B. 2,3C. 2,4,5D. R4 .（2023湖北黄冈高一校联考期中）已知集合力 = 1,3,幅, 8 = 1,加, AnB = m9则2 =（）A. 0 或 GB. 0 或 3C. 1 或 3D. 1 或3 或 05 . （2023 全国高一课堂例题）设集合力=1,2",其中，为实数.令5 =c = AB.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为（）A. 1B. -1C. 8D. -86 .（2023陕西渭南高一校考阶段练习）集合论是德国数学家康托尔QG.Ccmtor）于19世纪末创立的,在他 的集合理论中，用card（/）表示有限集合/中元素的个数，如：4 = db,c,则card（/） = 3 若对于任意两 个有限集合B,有card（/U8）= card（/） + card（3）-card（/n8）.2O2O年高考后某校考生再创佳绩，其中 收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类 大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范 类大学录取通知书的总人数为（）A. 293B. 260C. 205D. 1547 .（2023高一课时练习）设集合力=2,3,/一2"3,8 = 0,3,。= 2,4.若8口4/0。= 2,则”（） A. 3 B. 1C. 1D. 38 .（2023全国高一专题练习）对于数集 A , B ,+ B = xx = a + b,ae A.be B , AB = xx=-,baeA,bEB）,若集合力=1,2,则集合（Z + Z）+ Z中所有元素之和为（）二、多选题9 . （2023高一课时练习）（多选）设集合4 = -2,5 = Hqx + 1 = 0,qgR,若4n8 = 3,则的值为（）A. 0B. yC. 1D. 210.（2023高一课时练习）设全集。=1,2,3,4,5,若Nc8 = 2,（Q,/）c3 = 4,（桐）c（a）=1,5, 则下列结论不正确的是（）A. 3任力,且3e8B. 3e8,且3wZC. 3e/D. 3e/， _S3e511. （2023湖北黄冈高一校考阶段练习）设集合“=甘|（'-）（1-3）= 0 , = x|（x-4）（x-l） = 0 则下列说法不正确的是（）A.若"uN有4个元素，则nNw0B.若则有4个元素C.若/nNw0,则 UN = 1,3,4 D.若UN = 1,3,4,则 A/PlNw。12. （2023高一课时练习）我们知道，如果集合力7S,那么S的子集4的补集为a% = x|x£S且xe/, 类似地，对于集合/、8我们把集合刈工£/且工右，叫做集合Z和8的差集，记作/-6,例如：4 = 1,2,3,4,5, 5 = 4,5,6,7,8,则有 4一3 = 1,2,3 , 8 4 = 6,7,8,下列解析正确的是（）A.已知力= 45,6,7,9, 5 = 3,5,6,8,9,则 4 = 3,7,8B.如果力8 = 0,那么C.已知全集、集合4、集合5关系如上图中所示，则D.已知 ” =或 x>3, 5 = x | -2 < x < 4,贝 Ij 4-5 = x|x<-2 或 xN4三、填空题13. （2023高一课时练习）已知 4 = x|x«2或 x5, S = x|l<x<7,则 4nB=.14. （2023全国高一课堂例题）设 = 123, B = 2x +yx,y e A.x < y , C = 2x +yx,y e A.x > y,则 BcC 的所有元素之和为.15. （2023江苏高一假期作业）已知/ = 斗1。03,8 = 32<、<32 + 1.若8144 则实数2的取值范 围为.16. （2023江西抚州高一临川一中校联考期中）设集合力 = 123,4,5, 3 = 1,2,3,若。之力且 则满足条件的集合C的个数是.四、解答题17,（2023 高一课时练习）已知全集。=1<,集合4=x | xT < 0 , B=xx>a9且求实数q的 取值范围.18. （2023高一课时练习）已知集合/= x| 1«工<3,3 =何21421一2.求/cB；（2）若集合C = x|2x + q>0,满足BUC = C,求实数。的取值范围.19. （2023 云南保山高一校联考阶段练习）设集合。=中<5, A = x<x<595 = x|-l < x < 4,求:MU*（梅）c（.20. （2023湖南岳阳高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）设集合4 = 止2斗4 5, B = m < x< 2 m +11（1）若加=3 时，求（«/）UB（2）若= 求加的取值范围.21. （2023 新疆喀什高一统考期中）已知集合4 = 止4。43, 5 = x|m-1 < x < 2m 4-1）（1）若408 = 5,求实数机的取值范围；（2）若不存在实数x,使xe/, xeB同时成立，求实数m的取值范围.22. （2023北京密云高一统考期末）已知集合5 = 1,2,n（拉>3且 eN*）,/=卜”，%，且.若 对任意为£4%£4（1«，0/0加），当4+%W 时，存在处 64（1«上加），使得生+%=生，则称A是S的 加元完美子集.（1）判断下列集合是否是S = 1,2,3,4,5的3元完美子集，并说明理由；4 二123；