多项式的因式分解（原卷版）.docx
9.5多项式的因式分解知识剖析因式分解概念：把一个多项式化成儿个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。【注意事项】1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2)因式分解必须是恒等变形；3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.因式分解的常用方法：方法一：提公因式法1)定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3)定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次嘉。4)查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。方法二：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；平方差公式：ab2= (a+b) (ab)完全平方公式：a2+2ab + b2= (a+b) 2a22ab + b2= (ab) 2经典例题【题型一】判断是否因式分解【典题】(2022春河北邯郸七年级统考期末)对于x 3孙= x(l 3y), (x + 3)(x-l) = x2+2x-3 ,从左到右的变形，表述正确的是()A.都是因式分解B.都是乘法运算C.是因式分解，是乘法运算D.是乘法运算，是因式分解巩固练习1 () (2022秋上海静安七年级期末)下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为()A. (x-y)(-x-y) = y2-x2B. 12/63=2/.6/c. X4 _81/=卜2 +9y2)(x + 3y)(x-3y)D. （q，+2q） -8（/+ 2a） +12=（/+ 2q）（q，+ 2q-8）+122 （） （2022秋上海宝山七年级校联考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. 5 + 2x + 32 = 5 + x（2 + 3x）；B. （4x + 3y）（4x-3y） =-25y2；C. 3xy-4x2y-i-7x2y2 =xy（3-4x + 7xy）；D. a2+Q-1 = g（q + 1）- 1 ；【题型二】已知因式分解的结果求未知数的值【典题】（2022春广西贵港七年级期末）多项式f -3x + a可分解为（x-5）（x + 2）,则o的值分别是（）A. 10B. -10C. 2D. -2巩固练习1 （*） （2022春贵州铜仁七年级统考期中）已知关于x的二次三项式2/+区+。分解因式的结果是 （x+D（2x-3）,则代数式的值为（）11A.3B.1C.D.一332 （*） （2022春山东东营七年级统考期末）若d + 优一 10 =（1-5乂工+ ），则的值为（）A. 5B. 1C. - 5D. - 13 （*） （2022春浙江宁波,七年级宁波市第七中学校考期中）因为¥+21-3 =（工+ 3乂工-1）,这说明多项 式f+2x 3有一个因式为X-1,我们把x = l代入此多项式发现x = l能使多项式f+2x-3的值为0.利用上述阅读材料求解：若（x + 3）是多项式工2 +依+ 12的一个因式，求左的值；若（1-3）和（工-4）是多项式d +加/ + i2x + 的两个因式，试求"?，的值.在（2）的条件下,把多项式d+32+12%+因式分解.【题型三】判断公因式【典题】（2022春江苏苏州七年级苏州市振华中学校校考期中）多项式3的？一12/一6丁/的公因式是（）A. 3x2y2zB. x2y2C. 3x2y2D. 3x3y2z巩固练习1 （）（2022春湖南永州七年级校考期中）下列各组式子中，没有公因式的是（）A. - a2+ab与 ab2- a2bB. mx+y与 x+yC. （a+b）2与- a - bD. 5m（x - y）与 y - x2 （*） （2022春湖南怀化七年级统考期中）三个多项式：x<>aA. 80B. 160C. 320D. 480巩固练习 （*）（2022春浙江宁波七年级校联考期末）下列各数中，不能整除80380的是（）A. 78B. 79C. 80D. 81 （） （2022春广西贺州七年级统考期末）把多项式加（。-2）+ （-2）分解因式等于（）A. 2(q 2)B. (。一2)(加+ 1) C.加( + 2)D.(加一 1)伍一2) () (2022春广西贵港七年级统考期中)观察下列因式分解的过程：(1) x2 - xy+4x - 4y=(x2 - xy) + (4x - 4y)(分成两组)=x (x - y) +4 (x - y)直接提公因式)=(x - y) (x+4)(2) a2 - b2 - c2+2bc =a2 - Cbc2 - 2bc)(分成两组)2 -（b-C）2 （直接运用公式）j； - 4y,x2y - 2xy9x2y - 4xy + 4y的最大公因式 是（）A. y（x + 2）B. y（x-4）C. y（x-2）2D. y（x-2）3 （） （2022 春湖南常德七年级统考期中）已知：A = 3x2-12,5 =C = （x + l）（x-5） + 9 ,问多项式4 8、。是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由.【题型四】利用提公因式法分解因式【典题】（2022春山东聊城七年级统考期末）如图，边长为a、b的长方形周长为20,面积为16,则a2b-ab2 的值为（）卜 b 、f= (a+b - c) (a - b+c)（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：ad -ac-bd + be（2）厂 _ / _ 6x + 9（2）请运用上述分解因式的方法,把多项式1+x+x （1+x） +x （1+x） 2+.+X （1+X）”分解因式.【题型五】利用平方差公式分解因式【典题】（2022春浙江湖州七年级统考期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A. a2+b2B. 2a - b2C. a2 - b2D. - a2 - b2巩固练习1 （） （2022春江苏镇江七年级镇江市外国语学校校考期中）已知o-b = 2,则标一 - 4b的值为（）A. 5B, 4C. 2D. 12（*） （2022春河北邯郸七年级统考期末）216-1可以被10-20之间的两个整数整除，那这两个整数是（）A. 13 和 15B. 12 和 16C. 14 和 17D. 15 和 17【题型六】利用完全平方公式分解因式【典题】（2022春山东聊城七年级统考期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（）A. 4x2 -4x +1 B x2+ 2x 1C. x2 + xy + 2y2 D. 9 + x2 -4x巩固练习1（）（2022春湖南常德七年级统考期中）下列可以用完全平方公式因式分解的是（）A. 4a2 - 4a - 1 B. 4a2+2a+l C. 1 - 4a + 4a2 D. 2a2+4a+l2 （） （2022春广西桂林七年级统考期中）已知下列多项式：书;+ /；_/+2孙2；一+6盯-9F；工+ ；其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（）A.B.C.D.3 （*） （2022春河北唐山七年级统考期末）在多项式16/+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完 全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（）嘉琪：添加±8x, 16x2 +l±8x =（4x±l）2陌陌：添加641, 64x4+16x2+1 =(8x2+1)2嘟嘟：添加-1, 16x2 + 1-1 = 16x2=(4x)2B.嘉琪和嘟嘟的做法正确D.三位同学的做法都不正确A.嘉琪和陌陌的做法正确C.陌陌和嘟嘟的做法正确【题型七】综合运用公式法分解因式【典题】(2022春山东聊城七年级统考期末)分解因式2a2 (x-y) +2反(y-x)的结果是()A. (2a2+2b2)(xy)B. (2a22b2)(xy)C. 2 (a2b2)(xy)D. 2 (a b) (a + b) (xy)巩固练习1 J)(2022春广西来宾七年级统考期末)已知x-y = 2,盯=；,那么J<y + x2y2 +孙3的值为()1111A. 3B.5C.D.242 (*) (2022春湖南常德七年级统考期中)现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人 还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患.小明的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来 设计家中的电脑密码.若对于多项式14 7)因式分解的结果是(x-乃仁+#,+/)，若、=10,歹=6, 则(-力=4, (x + y) = 16, (f+/) = i36,于是可将 416136作为密码,对于多项式9/专小明用自己的 生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是()A. 123933B. 339321C. 333912D. 3912333 (*) (2022秋上海七年级期末)因式分解：/+312、一以-12歹.4(2022春浙江杭州七年级校考期中)配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用 配方法解决以下问题.试说明：1、V取任何实数时，多项式f + V4x + 2y + 6的值总为正数；分解因式：/ +/ +1 ；已知实数6满足Q2+5Q + b_3 = 0,求Q + b的最小值.【题型八】利用十字相乘法分解因式【典题】(2022春湖南株洲七年级校联考期中)若多项式5/+17X-12可因式分解为a + O0x + c),其中。、 b、。均为整数，则。-。的值是()A. 1B, 7C. 11D. 13巩固练习1 （） （2022秋上海七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2-5x+c可以用十字相乘法 因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A. 2B. 3C. 4D. 52 （*） （2022春浙江绍兴七年级统考期末）不论x为何值，等式/+川+夕=（1一1）" + 3）都成立，则代数式3p_q的值为（）A. -9B. -3C. 3D. 93 （） （2022秋上海静安七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）多项式77x2-13x.30可分解成 （7x+a） （bx+c）,其中b, c均为整数，求o+b+c的值为A. 0B. 10C. 12D. 224 （*） （2022秋上海宝山七年级统考期末）分解因式：2/8/+6x【题型九】因式分解的实际应用【典题】（2022春河北石家庄七年级统考期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘的积为4,乙与丙相乘的积为V2x，则甲与丙相乘的积为（）A. 2x + 2B. x2+2xC. 2x-2D. x2-2x巩固练习1（*）（2022春湖南娄底七年级期末）已知2卷1可以被在。10之间的两个整数整除，则这两个数是（）A. 1、 3B, 3、 5C. 6、 8D. 7、 92 （） （2022春,湖南株洲,七年级株洲二中校考期中）已知a>b>c, M=a2b+b2c+c2a9 N=ab2+bc2+ca29则M 与/V的大小关系是（）A. M>NB. M<NC. M=ND.不能确定4 （*） （2022春湖南永州七年级校考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一 条信息：Q-乂工+ 乂。+8幺-，/ -廿分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将卜2_/）/_卜2一因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A.我爱美B.义乌游C.爱我义乌D.美我义乌5（*）（2022秋上海宝山七年级统考期末）如果A48C的三边长。也c满足等式 2+/+/仍庆-cq = 0,试判断此ABC的形状并写出你的判断依据.
