权方和不等式（高阶拓展）（教师版）.docx

权方和不等式（高阶拓展）（核心考点精讲精练）【学习目的】本节内容为基本不等式的高阶版，能快速解决基本不等式中的最值问题知识讲解考点解析例1：若正数，满足，则的最小值为_解：，即，当且仅当时取等号，即，时取等号所以的最小值为例2：若，则的最小值为_解：即，则，当且仅当时取等号例3：若，则的最小值为_解：当且仅当时取等号例4：若，则的最小值为_解：当且仅当时取等号，即，所以的最小值为例5：已知正数，满足，则的最小值为_解：当且仅当时取等号例6：已知正数，满足，则的最小值为_解：当且仅当时取等号例7：已知正数，满足，则的最小值为_解：当且仅当时取等号例8：求的最小值为_解：当且仅当时取等号例9：求的最小值为_解：当且仅当时取等号例10：已知正数，满足，则的最小值为_解：当且仅当时取等号例11：已知，求的最小值为_解：当且仅当时取等号例12：已知，求的最大值为_解：当且仅当时取等号例13：求的最大值为_解：当且仅当时取等号例14：已知正数，满足，求的最大值为_解：当且仅当时取等号一、单选题1（2023·全国·高三专题练习）设，为正数，且，则的最小值为（    ）ABCD【答案】B【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【详解】，即，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.2（2023·河北邯郸·统考一模）已知，且，则的最小值是（    ）A2B4CD9【答案】C【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.【详解】依题意，因为，所以，则，当且仅当，时，等号成立故选：C.3（2023·广西·校联考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）ABCD【答案】A【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】解：依题意，故，当且仅当时等号成立.故选:A.4（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足则的最小值为（   ）A12B25C27D36【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；【详解】解：因为，所以因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，的最小值为27故选：C5（2023·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值是（    ）ABCD【答案】B【分析】凑配出积为定值，然后用基本不等式得最小值【详解】解：由题意，正数，满足，当且仅当，时取等号，故选：B.6（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值等于（    ）A2BC3D【答案】D【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，且，所以，又由，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值等于.故选：D.7（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（    ）ABCD【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.故选：B8（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ）ABCD【答案】D【分析】利用基本不等式求解【详解】因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D9（2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ）ABC3D1【答案】C【分析】由，再由基本不等式即可求出答案.【详解】因为，则则，当且仅当即时等号成立.所以的最小值为.故选:C10（2023·全国·高三专题练习）已知，且，那么的最小值为（    ）AB2CD4【答案】C【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为，则.当且仅当即时取等.故选：C.11（2023·全国·高三专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立根据权方和不等式，函数的最小值为（    ）A16B25C36D49【答案】B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B12（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（    ）ABCD【答案】B【分析】由已知得出，将所求代数式化为，与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，且，则，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.13（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最小值（    ）ABCD【答案】A【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.【详解】令，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.14（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ）A0B1C2D4【答案】B【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】，等式恒成立，由于，所以，当且仅当时，即时取等号.，故的最小值为1.故选：.15（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知锐角满足，则的最小值为（    ）A2BCD【答案】C【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】，、均为锐角，则，当且仅当时，即当时，故，时等号成立.因此，的最小值为.故选：C二、填空题16（2023·天津红桥·统考二模）已知x，则的最小值_【答案】【分析】将展开，利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当即，的最小值为，故答案为：17（2023·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为_.【答案】/【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求解.【详解】因为正数、满足，所以当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故答案为：.18（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为_【答案】【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，当且仅当时，即等号成立，则的小值为.故答案为：9.19（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为_【答案】2【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.【详解】因为，所以，又，所以则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.20（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为_.【答案】【分析】由，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.21（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最小值为_.【答案】4【分析】根据可得，再根据基本不等式求解即可.【详解】因为，故，当且仅当，即时取等号.故的最小值为4.故答案为：422（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是_【答案】【详解】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.23（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_【答案】【分析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立故函数的最小值为.故答案为：24（2023·全国·高三专题练习）设且，则的最小值为_【答案】【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值故答案为：.25（2023秋·贵州贵阳·高一统考期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立根据权方和不等式，函数的最小值为_【答案】8【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.【详解】因为，则，当且仅当时，等号成立，又，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故答案为：8.