山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷.docx

山东省临沂市河东区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷(解析版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足（1+i）zi，则复数z的虚部为（）ABiC1Di2（5分）cos15°（）ABCD3（5分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF3FE，记，则（）ABCD4（5分）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）ABCD5（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36，则圆台较小底面的半径为（）A8B6C4D26（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（）A海里/小时B海里/小时C海里/小时D海里/小时7（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A20+12B28CD8（5分）在ABC中，AB2，AC3，BAC60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足，若AN，BM相交于点P，则cosMPN（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分（多选）9（6分）已知向量，是与同向的单位向量，则（）AB与可以作为一组基底CD向量在向量上的投影向量为（多选）10（6分）下列说法正确的是（）A若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B若i为虚数单位，n为正整数，则i4n3iC若1+i是关于x的方程ax2+bx+20（a，bR）的根，则1i也是该方程的根D复数z满足|z1|1，则|zi|的最大值为（多选）11（6分）如图，正八面体EABCDF的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则（）A正八面体EABCDF的表面积为B正八面体EABCDF的体积为C正八面体EABCDF的外接球的表面积为8cm2D正八面体EABCDF的内切球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12（5分）水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'6，B'C'4，则边AB上的中线的实际长度为 13（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P已知平面内点A（1，3），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，若点O为坐标原点，则 14（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约12021261）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作数书九章中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是现有ABC满足，且ABC的面积是，则ABC的周长为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知向量，（1）若，求实数x的值；（2）若，求向量与的夹角16（15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12（1）求圆锥PO的母线长；（2）过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值17（15分）（1）已知，都是锐角，求tan（+2）的值；（2）已知，求cos（）的值18（17分）已知函数在区间上的最大值为6，（1）求常数m的值；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求使f（x）5成立的x的取值集合19（17分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2c2+ab（1）若c8，D为边AB上的中点，求；（2）若E为边AB上一点，且，求2a+b的最小值参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若复数z满足（1+i）zi，则复数z的虚部为（）ABiC1Di【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论【解答】解：（1+i）zi，z，故复数z的虚部为，故选：A【点评】本题主要考查复数的有关概念和运算，利用复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础2（5分）cos15°（）ABCD【分析】利用半角公式cos15°即可得出【解答】解：cos15°故选：C【点评】本题考查了半角公式的应用，属于基础题3（5分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF3FE，记，则（）ABCD【分析】根据条件可知+，结合平行四边形性质可解决此题【解答】解：平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF3FE，+（+）+（），故选：D【点评】本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题4（5分）将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）ABCD【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果【解答】解：正弦曲线ysinx上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到ysin2x的图象，然后再将所得图象上所有点向右平移个单位，得到函数g（x）sin（2x）的图象故选：B【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题5（5分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为3，圆台的侧面积为36，则圆台较小底面的半径为（）A8B6C4D2【分析】根据题意，设圆台较小底面的半径为r，分析可得较大的底面的半径为2r，结合圆台的侧面积公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设圆台较小底面的半径为r，由于圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，则较大的底面的半径为2r，又由圆台的侧面积为36，则有（r+2r）l9r36，解可得r4故选：C【点评】本题考查圆台的结构特征，涉及圆台的侧面积计算，属于基础题6（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（）A海里/小时B海里/小时C海里/小时D海里/小时【分析】根据题意可求得MPN和，PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案【解答】解：由题意知MPN75°+45°120°，PNM45°，在PMN中，由正弦定理，得MN64×32，又由M到N所用时间为14104（小时），所以船的航行速度v8（海里/时）故选：A【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用，解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力7（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A20+12B28CD【分析】法一：过A作AEA1B1，得A1E1，AE连接AC，A1C1，过A作AGA1C1，求出A1G，从而AG，由此能求出正四棱台的体积法二：由四棱台的几何特征算出几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式能求出结果【解答】解法一：如图ABCDA1B1C1D1为正四棱台，AB2，A1B14，AA12在等腰梯形A1B1BA中，过A作AEA1B1，可得A1E1，AE连接AC，A1C1，AC，A1C14，过A作AGA1C1，A1G，AG，正四棱台的体积为：V解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，该棱台的高h，下底面面积S116，上底面面积S24，则该棱台的体积为：V故选：D【点评】本题考查四棱台的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题8（5分）在ABC中，AB2，AC3，BAC60°，点M，N分别在边AC，BC上，且满足，若AN，BM相交于点P，则cosMPN（）ABCD【分析】以，为平面向量一组基底，将与用基底表示，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论【解答】解：由，可得，所以，又AB2，AC3，BAC60°，所以，2，故，即cosMPN故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算及夹角公式，属中档题二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分（多选）9（6分）已知向量，是与同向的单位向量，则（）AB与可以作为一组基底CD向量在向量上的投影向量为【分析】由向量的模、投影向量及向量共线的坐标表示对每个选项逐一进行判断【解答】解：对于A，因为向量，所以，所以，故A错；对于B，因为2×43×1，所以与不共线，所以与可以作为一组基底，故B对；对于C，因为是与同向的单位向量，所以，故C对；对于D，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故D对故选：BCD【点评】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了投影向量，属于基础题（多选）10（6分）下列说法正确的是（）A若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B若i为虚数单位，n为正整数，则i4n3iC若1+i是关于x的方程ax2+bx+20（a，bR）的根，则1i也是该方程的根D复数z满足|z1|1，则|zi|的最大值为【分析】根据共轭复数的乘积是实数，判断选项A；根据复数i的运算性质，求出i4n3，即可判断选项B；根据实系数一元二次方程有复数根，则它的两根为共轭复数，判断选项C；根据绝对值不等式，求出|zi|的最大值，判断选项D【解答】解：对于A，若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数，选项A正确；对于B，i为虚数单位，n为正整数，则i4n3i，选项B错误；对于C，1+i是实系数方程ax2+bx+20的根，则它的共轭复数1i也是该方程的根，选项C正确；对于D，由1|z1|（zi）+（i1）|zi|i1|，所以|zi|1+|i1|1+，所以|zi|的最大值为1+，选项D错误故选：AC【点评】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题（多选）11（6分）如图，正八面体EABCDF的每一个面都是正三角形，并且四边形ABCD，四边形BEDF，四边形AECF都是正方形，若正方形ABCD的边长为2cm，则（）A正八面体EABCDF的表面积为B正八面体EABCDF的体积为C正八面体EABCDF的外接球的表面积为8cm2D正八面体EABCDF的内切球的体积为【分析】对于A：根据正八面体的表面是八个全等的等边三角形，根据三角形面积即可求解；对于B：根据棱锥的体积公式求解即可；对于C：根据OAOBOCODOEOF，确定点O是正八面体的外接球的球心，即可求解；对于D：设正八面体的内切球的半径为r，八个面的面积分别为Si（1i8，iZ），根据，即可求解【解答】解：对于A：设正八面体的表面积为S，则，因此选项A正确；对于B：记正方形ABCD的中心为O，易知EO平面ABCD，则，故，因此选项B错误；对于C：因为OAOBOCODOEOF，故点O是正八面体的外接球的球心，则外接球表面积为，因此选项C正确；对于D：设正八面体的内切球的半径为r，八个面的面积分别为Si（1i8，iZ），则，即，解得，则内切球体积为，因此选项D正确故选：ACD【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12（5分）水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'6，B'C'4，则边AB上的中线的实际长度为 5【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出AB，即可求出边AB上的中线的实际长度【解答】解：由直观图得到：其中AC6，BC2BC8，AB10，在直角ABC中，斜边AB上的中线为5故答案为：5【点评】本题考查三角形中位线的定理，考查斜二测法、等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P已知平面内点A（1，3），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，若点O为坐标原点，则2【分析】由题意求得的坐标，再由计算即可求得【解答】解：由题可得：，所以（1，3），所以，所以故答案为：2【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题14（5分）我国南宋著名数学家秦九韶（约12021261）独立推出了“三斜求积”公式，在他的著作数书九章中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是现有ABC满足，且ABC的面积是，则ABC的周长为 30+6【分析】由题意及正弦定理可得a，b，c的比值，设a，b，c，由三角形的面积公式，可得参数的值，即求出a，b，c的值，进而求出三角形的周长的大小【解答】解：由题意及正弦定理可得a：b：c2：3：，设a2k，b3k，ck，k0，由题意S54，整理可得54，解得k6，所以a12，b18，c6，所以该三角形的周长a+b+c12+18+630+6故答案为：30+6【点评】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知向量，（1）若，求实数x的值；（2）若，求向量与的夹角【分析】（1）结合向量垂直的性质，即可求解；（2）结合向量共线的性质，求出x，再结合向量的夹角公式，即可求解【解答】解：（1），则，（1，5），若，则3+x+50，解得x8；（2），则3×（2）2（x8），解得x5，故，3×5+2×（1）13，故cos，0，则【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题16（15分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形如图，圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12（1）求圆锥PO的母线长；（2）过圆锥PO的两条母线PB，PC作一个截面，求截面PBC面积的最大值【分析】（1）根据题意，设圆锥的高为h，由截面面积公式可得h的值，进而由圆锥的结构特征分析可得答案；（2）根据题意，分析可得APB90°，结合三角形面积公式，分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，设圆锥的高为h，若圆锥PO底面圆的半径是4，轴截面PAB的面积是12，即SPAB×PO×AB（2r×h）rh12，解可得h3，则其母线长l5；（2）根据题意，由（1）的结论，由于AOPO，则APO45°，故APB90°，当PB与PC垂直时，截面PBC面积最大，其最大值为×4×48【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的截面计算，属于基础题17（15分）（1）已知，都是锐角，求tan（+2）的值；（2）已知，求cos（）的值【分析】（1）结合同角基本关系先求出tan，然后结合二倍角公式求tan2，再由和差角公式即可求解；（2）结合同角平方关系及和差角公式即可求解【解答】解：（1），都是锐角，所以cos，tan，所以tan2，tan（+2）1；（2）因为，两边平方相加得，2+2coscos+2sinsin，即2+2cos（），cos（）【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的综合应用，属于中档题18（17分）已知函数在区间上的最大值为6，（1）求常数m的值；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求使f（x）5成立的x的取值集合【分析】（1）利用三角恒等变换将函数f（x）化简，利用整体思想即可求出其最大值，进而得出参数m的值；（2）令+2k2x+2k，kZ，解不等式即可得出所求的答案；（3）将不等式转化为sin（2x+），利用三角函数的图象与性质即可得出所求的答案【解答】解：（1）因为函数sin2x+cos2x+1+m2sin（2x+）+m+1，所以令t2x+，则sint，1，所以f（x）的最大值为2+m+16，即m3（2）由（1）知：f（x）2sin（2x+）+4，令+2k2x+2k，kZ，则+kx+k，kZ，所以f（x）的单调递减区间为+k，+k，kZ（3）因为f（x）5等价于2sin（2x+）+45，即sin（2x+），所以+2kx+2k+，kZ，即2kx+2k，kZ，所以使f（x）5成立的x的取值集合为（2k，+2k）（kZ）【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题19（17分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2c2+ab（1）若c8，D为边AB上的中点，求；（2）若E为边AB上一点，且，求2a+b的最小值【分析】（1）根据正弦定理算出cosC，结合求得ab16，然后根据三角形中线的性质，利用平面向量的模的公式，结合向量数量积的运算性质求出|的值；（2）由正弦定理与平面向量的线性运算法则，推导出（2a+b）2a+b，两边平方整理得，然后根据基本不等式求最值，计算出2a+b的最小值【解答】解：（1）由题意得a2+b2c2ab，所以，因为，所以8，解得ab16，可得a2+b2c2+ab80，因为D为AB中点，所以，可得|2（+）2（a2+b2+2abcosC）24，解得；（2）因为E为AB上一点，且BE：AE2sinA：sinB2a：b，所以，即（2a+b）2a+b，两边平方得（2a+b）22（2a+b）2，又因为|1，（2a+b）24a2|2+4ab+b2|24a2b2+2a2b2+a2b27a2b2，所以（2a+b）27a2b2，即2a+bab，整理得，所以2a+b（2a+b）（）（4+）（4+），当且仅当b2a，即时取等号综上所述，当时，2a+b的最小值为【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题学科网（北京）股份有限公司