全称量词命题与存在量词命题的否定导学案.docx
导学案【学习目标】1 .能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定(重点)2 .理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题(难点)【自主学习】一.全称量词命题的否定P结论全称量词命题夕(x)全称量词命题的否定是A/,存在量词命题问题1写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)Vx£R, x+|x|0.它们与原命题在形式上有什么变化？(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)x+|x|<0.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 点拨：(1)改变量词：把全称量词换为存在量词.即：全称量词(v)型电存在量词G).(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.二.存在量词命题的否定PP结论存在量词命题三刀£机p(x)存在量词命题的否定是PxGM, p(x)全称量词命题问题2写出下列命题的否定:(1)存在一个实数的绝对值是正数；有些平行四边形是菱形；2(3)3x£R, x 2x+3 = 0.它们与原命题在形式上有什么变化？(1)所有实数的绝对值都不是正数；(2)每一个平行四边形都不是菱形；2(3) VER, x2x+3W0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.点拨：1 .对存在量词命题否定有两个方面(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.即：存在量词G)以包全称量词(v).(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.2 .由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否 定的真假从而进行判断.三.命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假.【当堂达标基础练】3 .写出下列全称量词命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上.(3)该命题的否定：3xgZ,x2的个位数字等于3.4 .写出下列存在量词命题的否定：三% E R,x+ 2 4 0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个偶数是素数.解：该命题的否定：Vx E R,x+ 2 > 0.(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.5 .写出下列命题的否定，并判断真假：任意两个等边三角形都相似；? % + 1 = 0解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.这是一个假命题.该命题的否定：X/x G R,x % + 1 W 0.因为对任意 E R, X21 ?3%+1 = (% ) + > 0)所以这是一Z4个真命题.4.（1）已知对任意的、£却3烂3,都有论x,求实数小的取值范围;已知存在实数x£x|l±W3,使2” 求实数机的取值范围.解：（1）由于对任意的x|l%W3都有论x,故只需团大于或等于x的最大值，即论3.（2）由于存在实数x|lSx03,使论x,故只需加大于或等于x的最小值，即勿仑1.【当堂达标提升练】1 .已知命题P： 3xeR , mx2+2<0;命题9：VxeR, f 2 mx+>（）,若p、q都为假命题，则实数加的取值范围是（）A. 1，+<x>）B. （00, 1 C. （ 8，2 D. 1,1【答案】A【详解】夕，乡都是假命题.由夕：3 a: e R ,加Y+2 v 0为假命题，得 V x w R , mx2+ 20 ,m>0 .由 q：Vx e R , / _2蛆 + 10 为假，得 mxeR, x2 - 2mx+1 < 0/. A = （-2m）2 -4 > 0 ,得加 W -1 或 m 2 1.二 m> 1.2 .已知命题?VxGR, x2+2x-6/>0.若p为假命题，则实数。的取值范围是（）A. a> -1B. a< -1C.。三-1D. aM - 1【解答】解：若命题P为真，则A=4+4q<0,解得qV-1,则当命题为假命题时，- 1,故a的取值范围是-1.故选：c.3 .下列全称命题的否定形式中，假命题的个数是（）（1）所有能被3整除的数能被6整除；（2）所有实数的绝对值是正数；（3） VxeZ,-的个位数不是 2.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【详解】（1） “所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“存在能被3整除的数不能被6整除”正确, 如3,是能被3整除，不能被6整除的数，故（1）的否定形式正确；（2）所有实数的绝对值是正数，其否定为：3xo=Oe/?, |0|=0,不是正数，故（2）的否定形式正确；（3）因为。2=0, 12=1，22 = 4，3?=9, 42 = 16, 52 = 25 , 62 =36, 72 = 49 , 82 = 64 , 92 =81,所以VxeZ, V的个位数不是2的否定形式为：3xeZ,犬的个位数是错误.综上所述，以上全称命题的否定形式中，假命题的个数是1个，4 .若命题?：'勺xGR,加/+2a+3 = 0”为假命题，则实数？的取值范围是 .【解答】解：命题p： “mxER,= 0为假命题，、所以方程加/+2加工+3 = 0有解，当2 = 0时，方程0 /+2X0x+3 = 0无根；当加W0 时,A =4加2 - 4m 30,即加E （ - 8, 0）U 3, +°° ）,又因为命题尸是假命题，则2日0, 3）,综上：隹0, 3）.故答案为：0, 3）.5 .若命题“玉£凡/+2工+ 2_4 = 0是假命题。则实数。的取值范围是.【答案】-2<a<【分析】等价于/%£凡工2+2。工+ 2 。0,解A=4/一4（2 ）<0,即得解.【详解】解：因为命题“土£凡/+24工+ 2-。= 0是假命题”，所以 Vx £ 尺 f +2ax + 2-67 w 0 ,所以 A=4矿4（2 q） - 4ci+ 4a 8 < 0, u+ q - 2 < 0, 2 < q < 1.故答案为：-2<a <6 .已知命题:Vl«xW2 , x<6z2+1,命题q： 31 < x < 2 , 一次函数V =的图象在x轴下方.（1）若命题。的否定为真命题，求实数Q的取值范围;(2)若命题P为真命题，命题的否定也为真命题，求实数。的取值范围.【答案】(2)1,+8)。一1(I)：命题的否定为真命题，命题P的否定为：31<x<2, x>/+, + 1 < 2 ,1 < Q < 1 .(2)若命题夕为真命题，则/+晚2,即或q«-1.;命题q的否定为真命题，.-/6Vl<x<2 , 一次函数V = x + Q的图象在x轴及x轴上方”为真命题.1 1 + a 2 0 ,即。2 -1 .，实数a的取值范围为L+8)uT -7.已知命题夕：Dx£x0<x<1 , x + m -1 < 0 ,命题 q : Vx £ x | x > 0,加+4I_工 o.若真、令假，求 实数相的取值范围.【答案】/|-4<m<0【详解】若命题P是真命题，则x +加1<0对0<x<l恒成立，即 2 1<x对0<x<l恒成立.当0<x<l时，一lv-x<0,所以2 14一1,即加工0.若命题q是假命题，则f ： 3x e x | x > 0,使得mx2 + 4x -1 = 0为真命题.即关于x的方程mx2+ 4x -1 = 0有正实数根.当加=0时，41-1 = 0有正实数根；当加。0时；依题意得A = 16+ 4加20 ,即加2-4,设两根为4、x、41当方程有个两正实数根时，否+招=-一>0,且中2=->0,解得加<0,止即寸-4Km<0；mm当方程有一正一负两个实数根时，x,x2=-<0,解得加0,此时加0；m综上所述，加2-4.因为真、夕假，所以实数2的取值范围是掰|-4«240.【当堂达标素养练】1.(多选)下列说法正确的是()A.已知命题2:2个三角形三个内角对应相等，夕:2个三角形全等.则“若/则夕”是成立的性质定理.B.集合止x|2x6>0, N=x|lv3x+2v8.则是的必要不充分条件.C.已知全集。=/U3=l, 2, 3., 8, AB =1, 4, 5, 6厕 8=2, 3, 7, 8d.为两条对角线相等的四边形，为矩形”的否定为假命题.【答案】ABC【详解】对于A,若9则必然有p,显然P是9成立时所具有的性质，故正确；对于 B, A/=（3,+s）,N = （1,2）, «/ = （叫3,则Nu«”,若xeN则工£备,反之xcdrM ,并不能推出xcN,若故B正确；对于 C, ”。毛8 = 1,4,5,6,能推出1,4,5,6 q 用8 ,由于= U ,8 = 2,3,7,8,故C正确；对于D,两条对角线相等的四边形也可以是等腰梯形，故原命题为假，其否定即为真，故D错误；2 .（多选）下面四个结论正确的是（）A. Vq/eR,若。力,则2/.B.命题“三不£（3,+00）,/9”的否定是“Vxe（3,+00）, 9-C.'”2广，是厂的必要而不充分条件.D.”加0是关于x的方程/ 一2%+加=0有一正一负根的充要条件.【答案】BD【详解】对于A,取。=1/ = -3,满足4力，而q2/,A不正确；对于B,存在量词命题的否定是全称量词命题,则“* £（-3,+8）42的否定是“VX£（-3,+8）,/9”, B正确；对于C,取l=-2/ = 1,满足/必，而xvy,即不能推出1九反之，取x = l,y = -2,满足儿 而/必，即不能推出所以“一/,是"尸,的既不充分又不必要条件，。不正确；对于D,当方程/ 一2%+团=0有一正一负根时，由方程两根之积可得加0 ,反之，当加0时，A = 4-4加0,方程有两个根，并且两根之积为负数，两根异号，所以“加0”是“关于x的方程一一21+加=。有一正一负根”的充要条件，D正确.3 .（多选）下面四个结论正确的是（）A. g R ,若。b,则B.命题“三工£（3,+oo）4249”的否定是“Vxe（3,+00）,一9,C.“/>广，是“%>广，的必要而不充分条件.D. “加<0是关于x的方程2x +加=0有一正一负根的充要条件.【答案】BD【分析】举特值判断A；根据特称命题的否定判断B,根据充分条件和必要条件的定义进行判断C、D作答.【详解】对于A,取。=1/ = -3,满足而/<，A不正确；对于B,存在量词命题的否定是全称量词命题，则“玄£(-3,+8),工2«9”的否定是“心£(-3,+8)户2>9”, B 正确；对于C,取x = 2,歹=1,满足/歹2,而x<y,即不能推出,反之，取X = l,y = 2,满足x>y,而/<产，即不能推出所以“一>/,是“>产的既不充分又不必要条件，c不正确；对于D,当方程/ 一21+加=。有一正一负根时,由方程两根之积可得加<0 ,反之，当加<0时，A = 4-4m>0,方程有两个根，并且两根之积为负数，两根异号，所以“加<0”是“关于x的方程/_2x + m = 0有一正一负根”的充要条件，D正确.4.取整函数：n=不超过x的最大整数，如U.2 = l,2 = 2,-1.2 = -2.取整函数在现实生活中有着广泛的 应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题 的有()A. Vx g R , 2x = 2xB. 3xeR, 2x = 2xC. Vx,j/eR, x = y,贝D. Vx/eR,口 + 用<田 + 3E. Vxg R , x+ x + = 2x【答案】BCE【详解】对A,根据新定义“取整函数”的意义知2幻=2四不一定成立,如x取15 2对=3, 2x = 2,故 A错误；对 B, x 取 1, 2x = 2, 2x = 2 , B 正确；对 C,设 = +e Z,0 <a<1), y = m + b(m £ Z,0 ( b < 1),若x = y,则 =2 ,因止匕 x y = a 6 M a < 1,故C正确；对 D, x 取 16 歹取 16 x + xl = 3.2 = 3, x + 3 = l + l = 2, D 错误；对 E,设x = + (£ Z,0 Vac 1),当 0Wq<0.5时，x+ x + = 2n, 2x = 2n,所以x+ x + = 2x, 当0.54q<1时、x+ x + - = + + l, 2x = 2 + 2q = 2 + 1,所以印+ x + - = 2x,即 E 正确.5.命题“DxwH , f+x + i。，的否定是；设。，人，。分别是48C的三条边，且4人4。.我 们知道/BC为直角三角形，那么/+/=。2.反过来，如果小+/二/,那么Z8C为直角三角形.由此 可知，/8C为直角三角形的充要条件是/+=/.请利用边长。，* c给出NBC为锐角三角形的一 个充要条件是.【答案】3xe7?, x2 4-x + l < 0a2 +b2 >c2【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“VxwH, 一+i+ 1>0，的否定是火， X2+X + 1 < 0 ；设。，b,。是“8。的三条边，a<b<c,/台。为锐角三角形的一个充要条件是小+62>02.证明如下：必要性：在ZBC中，NC是锐角，过点A作ZO13C于点。，如下图：根据图象可知 AB2= AD2+ BD2= AC2-CD2+( BC-C/f= AC2-CD2+ BC2 + CD2 -2BC-CD = AC2BC2-2BC-CD < AC? + BC?, AB2 < AC2 + BC2,/+/02可得证.充分性：在N3C中，a2 +b2 >c2所以NC不是直角.假设NC是钝角，如下图：过点A作/交5C延长线于点Q,则 AB2= AD2+ BD2= AC2- CD2+( 5C+ CZ)2= AC2-CD2 + BC2 + CD? + 2BCCD = AC? + BC? + 2BC-CD > AC? + BC2，BP AB2 > AC2 + BC21与。之+台？。？矛盾.故NC为锐角，即“8。为锐角三角形.
