第03讲4.3对数（4.3.1对数的概念4.3.2对数的运算）.docx

第03讲4.3对数(对数的概念对数的运算)课程标准学习目标理解对数的概念、掌握对数的性质。掌握指数式与对数式的互化，能进行简单 的对数运算。理解对数的运算性质和换底公式，能熟练 运用对数的运算性质进行化简求值。能利用对数的运算性质进行解方程及与 指、基函数的综合应用问题的解决。通过本节课的学习，要求掌握对数的概念及对数条件， 熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则 进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合 问题.知识点01：对数概念1、对数的概念：一般地，如果、= N(Q0,且QW1),那么数X叫做以。为底N的对数，记作x = log" 其中。叫做对数的底数，N叫做真数.特别的：规定Q0,且QW1的原因：当。0时，N取某些值时，x的值不存在，如：x = log；)是不存在的.当。=0时，当NwO时，x的值不存在，如：x = logn(T=27是不成立的；当N = 0时，则x的取 值时任意的，不是唯一的.当。=1时，当Nwl,则x的值不存在；当N = 1时，则x的取值时任意的，不是唯一的.【即学即练1】(2023全国高一假期作业)已知对数式1。%旬二有意义，则。的取值范围为()1 J 4-aA. (-1,4)B. (-l,O)U(O,4)C. (-4,0)U(0,l)D. (-4,1)【答案】BQ + l02【详解】由10瓦则丁工有意义可知« + 1。1 ,解得一 1。4且q。0,-0、4 一。所以a的取值范围为(-l,O)U(O,4).故选：B2、常用对数与自然对数常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数，并把log日记为IgN自然对数：e e为底的对数称为自然对数,并把log：记作In N故答案为：1题型06对数方程求解【典例1】（2023 江苏高一假期作业）方程lg（x2_1） = g（2x + 2）的根为（）A. 3B. 3C. 1 或3D. 1 或-3【答案】B【详解】由lg（fl） = lg（2x + 2）,得v-1 2x + 2 x2-l>0 2x + 2 > 0x2 -2x-3 = 0x2 - > 0,解得 x = 3,2x + 20所以方程lg（Y-l） = lg（2x + 2）的根为3.故选：B【典例2】（2023全国模拟预测）已知正数x,歹满足lg（2y-x） = lg（2y）-Igx,则的最小值为（）B. 1C. 2D. 4【答案】C【详解】由正数,）满足 lg（2y-x） = lg（2y）-lgx,得lg（2y-x） = lg殳, X所以2>-x =殳,xx2y= T7 it9 结合x>0, y>0,得x io, 2（1）x22（x-l）2（x7）1x-1当且仅当X-1=匚时-，即x = 2时取等号,X-1故选：C【变式1（2023全国高三专题练习）log,“3 + logj3 = 2,则加=【答案】加=也或73【详解】设1呜3 =，原方程可化为r+一2 = 0,所以，=-2或，=1,所以 10gzM3=-2 或 10gzM3=1,所以加=或2 = 3.3故答案为：加=立或2 = 3. 3【变式2】（2023高一课时练习）若lnx l7 = 3 ,则/咋. V一【答案】e6X【详解】因为Inx-1” = 3,所以In = 3, y所以 v 一故答案为：e6题型07有附加条件的对数求值问题【典例1】（多选）（2023春福建高一校联考期末）已知2" =3% =6,则正确的有（）A. ci > hB.cz + b>4C. cih > 4D. -I< 1a b【答案】ABC【详解】.,2"=3"=6, .Q = log26>2, b = log3 6 < 2 , v log2 6 > log3 6 , :.a>b ,故 A 正确，- + 7 = r- + -r- = log62 + log63 = log66 = l,故 D 不正确，a b log2 6 log3 6 a + b = （a + /?）（ + ） = + + 2> 2a/1 +2 = 4,当且仅当 q = b时取等号，,： a> b , q + 64 ,故 B 正确, a b a b1 = + y > 2.1-（因为M故等号不成立），ab > 4 ,故C正确.a b a b故选：ABC.Q【典例2】（2023 天津高二学业考试）已知2、=3，log4- = j,则x + 2歹的值为（）3A. -B. 3C. 4D. 82【答案】B【详解】由2、=3,可得k1唱3,88则 x + 2y=og23 + 21og4 - = log23 + log2 - = log28 = 3故选：B【变式1】（2023 全国高三专题练习）已知3a=4'=见1+上=2,则 2的值为（） a 2bA. 36B. 6C. V6D.遥【答案】c【详解】v 3" =4h =m>0，a = log3m,b = log4m ,7= log. 3+ -Iogw 4= logWI 6= 2 ， a 2b2m = 6 ,即加=4b或 m y/6(舍去)故选：C【变式2(2023春浙江宁波高二校联考期末)已知实数Q, 6满足2a =5 =加且，+: = !，则2=.a b 2【答案】100【详解】由 2" = 5"=加可得。=log2m,b = log5 m=>- = log而 2, = log,” 5 , ab又，+ ： = BP logw 2 + log,w 5 = logJO=l a b 22所以加；=10，即加= 100故答案为：100题型08对数的实际运用【典例1】(2023,全国高一专题练习)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农 (S、公式：c = mog2 i+-.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度。取决于信道带宽少,信I N)道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中?叫做信噪比.当信噪比比较大时，公 N式中真数里面的I可以忽略不计,按照香农公式，若在带宽为沙，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到 3小，信噪比提升到200000,则信息传递速度。大约增加了()(参考数据：1g2ko.3)A. 187%B. 230%C. 530%D. 430%【答案】DSIV【详解】提升前的信息传送速度。=仞。82 77 =网。g21000 = 3%log210= 10 , Nlg2(5)<5A提升后的信息传送速度。'二3初og2200000 = 3 + 1 ”3少-+ 1 =53忆lg2 )10.3 ；C -C 53W-10W所以信息传递速度C大约增加了三;X ":八=4.30= 430% .C 10W故选：D.【典例2】(2023四川宜宾统考三模)音乐是由不同频率的声音组成的.若音1 (do)的音阶频率为/,则 简谱中七个音1 (do) , 2(re) , 3 (加)，4 (%) , 5 (so) , 6 (la) , 7 (sz')组成的音阶频率分别是/, 9814327243W，?/，；九4/，与，胃/，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶.上 8643216128述七个音的台阶只有两个不同的值，记为二，队a训,。称为全音，尸称为半音，则lg6Z5+lg/？2 -Ig2=.【答案】04329 【详解】相邻两个音的频率比分别为三， O一厂-9 c 256由胡思，。=77，0 =，82432 lg+lg2-lg2 = lg+2 =lgl = O.o I 243 y故答案为：o.【变式1（2023秋甘肃天水高一统考期末）地震的强烈程度通常用里震级/nlgZ-lg，。表示，这里/ 是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，4是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里 氏6级地震最大振幅的（）倍.C. 2D.A. 1000B. 100【答案】BZA【详解】解：依题意，A/ = lg4 lg4=lg7,则7 = 10",即4 = 410”A)4则44 = 102,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.41。故选：B.【变式2（2023春江苏盐城,高二江苏省响水中学校考期中）2023年1月31日，据合肥发布公众号报 道，我国最新量子计算机”悟空即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024 个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种 叠加态，L N = xl（/左£N）,则称N为左+ 1位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个机位的数，则2=（）（参考数据：1g2Po.301）A. 308B. 309C. 1023D. 1024【答案】B【详解】根据题意，得个超导量子比特共有2种叠加态，所以当有1024个超导量子比特时共有N = 2i°24种叠加态.两边取以 10 为底的对数得lgN = lg23=i0241g2pl024x0.301=30O224 ,所以 10388.224 = 100.224 x 1 0308.由于1<10°，24 <10 ,故N是一个309位的数,即丁 = 309.故选：B.B能力提升C综合素养A夯实基础A夯实基础一、单选题1. （2023湖南衡阳高二校联考学业考试）已知log2（bg4X）= 0,那么工彳=（）11A. 2B. -2C. -D.一 22【答案】C【详解】依题意，log2（log4x） = 0,所以log4、=l,所以x = 4,所以x 2=4 2V4 2,故选：C2. （2023全国高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A. = 1与1111 = 0B. 8log8 =223C.噢39 = 2 与 9L3口.嚏77 = 1与7|=7【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：5= 1等价于1111 = 0,故A正确；对于选项B： 8一出=；等价于嗓8；= -；，故B正确；对于选项（：1。839 = 2等价于32=9,故C错误；对于选项口：1。877 = 1等价于7=7,故D正确； 故选：C.3. （2023天津河西统考三模）已知2" =5, b&3 = b,则4内=（）255A. 一B. -C. 25D. 599【答案】A【详解】由2"=5na = log25，=4喝5-3脸3 =4啕5-啕3 =/。叼=Q?）"8" = （2"§污I =（手=,故选：A.4. （2023春,陕西榆林高一统考期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地 震有所了解.例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE = 4.8 + 1.5". 据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：V10«3.16）（）【答案】B【详解】记地震震级提高至里氏震级 + 1,释放后的能量为 由题意可知，lg£1-lg£ = 4.8 + 1.5（A/ + l）-（4.8 + 1.5A/） = 1.5,即 lg2 = L5,所以"=10- = 10加-31.60 . EE故选：B.5. （2023广东东莞统考模拟预测）已知函数一"/<2，则/（0）+ /（log336）=（） 3 JC 2LX.A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【详解】由题意可得/（0）+ /（1%36）=2 +唾22 + 3喻6-2 =2 + log,2 +铲片=2 + 1 +3=7 ,故选：D.6. （2023宁夏银川银川一中校考三模）设q = ln-=° = 3咒 则（）CA. a>b>cB. b> a> cC. a> c> hD. c>b> a【答案】c【详解】因为"In 兀lne=l, = logl3 < logL1 = 0,且 ° = 3-2=1 cC9所以Q > c> b.故选：CQ7. （2023天津高二学业考试）已知丁=3，log4- = y ,则x + 2歹的值为（）3A. -B. 3C. 4D. 82【答案】B【详解】由2* =3, nj#x=log23 ,88则 x + 2j；=log23 + 21og4 - = log23 + log2 - = log28 = 3故选：B8. （2023全国高三专题练习）已知3"=4=加/+二=2,则团的值为（） a 2bA. 36B. 6C. V6D.痣【答案】C【详解 1 / 3" =4h = m>Q，a = log, m,b = log4m ,，+ = = l0g，3+ log加4= log,” 6= 2 , a 2b2/. m2 = 6即 m -或m=-V6 （舍去）故选：c二、多选题9. （2023全国高一假期作业）下列正确的是（）1. . 1A. 追=2B- 9?+lne = 4C.若 log3（lgx） = l,贝Ux = 1000D.若 log。指=。，贝Ijb = q7c【答案】BCD1/ 1、唾64【详解】对于A选项，3押襄=R=（73）08754 =4, A错；7对于B选项，标+lne = 3 + l = 4，B对；对于 C 选项，因为 log3（lgx） = l,则 lgx = 3,所以，X = 1（）3 =1000, C 对;对于D选项，因为log “五=c,则指=所以，b = alc,D对.故选：BCD.10. （2023秋山东荷泽高一统考期末）下列运算正确的是（）A. Ig5 + lg2 = lB. log43=2log23C. e,n7t=tiD. Ig54-lg2 = log52【答案】AC【详解】lg5 + lg2 = lg(5x2)= lgl0 = l,故选项A正确；t r log9 3 log. 31 1 c噫3 =闲=福T”g23,故选项B错误;根据对数恒等式可知，城兀=兀，选项C正确;根据换底公式可得：10g52 = M = lg2+lg5 ,故选项D错误. 1g 5故选：AC三、填空题11. (2023全国高三专题练习)化简：(log62)2+log62xlog63 +21og63-6 ,og62=【答案】-log62详解(log62)2+log62 xlog63 +21og63-6 ,og62=-1吗2.故答案为：-loge24 _ -412. （2023春,江苏南通高二统考阶段练习）已知q + G=3,则.2的值为【答案】2【详解】因为q + / = 3,所以(q + qT = 32,即/+2 + -2 = 9,所以 + a2 = 7 ,'2所以log疗下=嚏6 7= 1。以月: 21057G = 2故答案为：2四、解答题13. (2023全国高三专题练习)计算2 .1(I)。/(上)327?lgl621g5+d)° .(2)2,O8+f2 + 1g 20 - 1g 2 - (log, 2)x (log2 3)+ (V2 - l),gl - 19/【答案】5(2)2【详解】(1) 0,25-2+f3-lgl6-21g5 + f-(27)2 5q,八3 一？=(2-2) + -2(lg2 + lg5)+ l=24+ - -2 + 116 Ya+ 1g 20 - 1g 2 -(log3 2)x (log2 3)+ (V2-l)lg,= 1 + 1-14-1=214. (2023全国高一假期作业)求值：(1)lgV27 4-lg8-31g lgl.2 '(2)|l + Ig0.001|+Jlg2g 41g3 + 4 + lg6 lg0.02 的值.(2)6【详解】(1)由题意可得不一3Jlg? +lg： -31glGlg - 1033-Ig3 + 31g2-lg(3x22)-l3-(Ig3+21g2-l)_ _2 _-Ig3 + 21g2-l -2(2)由题意可得：|l + lg0.001| + lg6 lg0.02=，+ lgl0旭23 4怆3 + 4+1 g3_ 檐多=l-3|+7(lg3-2)2 + lg2 + lg3-随2 2 ),因为lg3<2,所以 |l + lg0.001|+Jg2；_ 41g3 + 4+lg6-lg0.02 = 2 + 2-lg3 + lg2 + lg3 lg2+ 2= 6.15. (2023全国,高一假期作业)求下列各式中x的值.晦(嚏4(嚏5切=1(2)log3(log4(log5x) = 0【答案】(l)x = 564 ；(2)625.【详解】(1)由 Iog3(bg4(>g5%) = l 可得,log4(log5 x) = 3,则 log5x = 43 = 64 ,所以X = 564.(2)由1083(嗅4(1。851)=0可得，1。84(1。851)=1， log5x = 4 ,所以l=54 =625.B能力提升1. （2023 天津津南天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知。>1, b>l,且log2，T = lo&4,则打的最小值为2log2 b '【答案】16【详解】因为。>1, b>l,贝 Ilog?。> OJog2 0，由 log2&=log/, 4 ,得;log2则有 4 = log2a .log2b < (皿；皿)2 =i(log2ab)2,当且仅当 log? a =log2b ,即 =b = 4 时取等号, 乙一I于是k）g2Qb>4 , ab>6,所以当 = b = 4时，仍取得最小值16故答案为：162. （2023秋上海浦东新高二校考期末）定义因为不超过实数x的最大整数，例如：-2.3 = -3,=3, 29+1已知函数/（%）=唾2耳，则»-1）= /=1【答案】410729 + 1【详解】1） = /（1） + /（3）+八5）+/（2° +） /=1根据已知可得：/（l） = log2l = 0,/（3）= log23 = l,/=/=2，/（9）= /（11） = /（13）=/（15）= 3,共 4 个，/（17）= /（19）= . = /（25-1） = 4,共8个（由17、19、25-1之间含多少个奇数决定），/（33）= . = /（26-1） = 5,共 16 个，/（65）=/。71） = 6,共 32 个，/（129）= - = /（28-1） = 7,共 64 个，/（257）= . = /（29-1） = 8,共 128 个，/（513）= . = /（210-1） = 9,共 256 个，/（210 + 1） = 10, 29+1则之/（21）= 0 + 1+ 2x2 + 4x3 + 8x4 + 16x5+ 32x6 + 64x7+ 128x8 + 256x9+ 10 = 4107 , /=1故答案为：4107.3. （2023全国高三专题练习）事函数户处 当。取不同的正数时，在区间。1上它们的图象是一组美丽的 曲线（如图），设点4（1,0）, 8（0,1）,连接48,线段48恰好被其中的两个事函数y=X，y=xb的图象三等分, 即有 BM=MN=NA,刃K 么 ab=.【答案】1【详解】依题意，BM = MN = NA,所以,N是线段的三等分点， （1 2<2 1 A而所以,7V,3713 5）说明：“log”同+、X等符号一样,表示一种运算，即已知一个底数和它的幕求指数的运算，这种运算叫对 数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.知识点02：指数式与对数式的相互转化当。0 且 awl, a' = N o x =log；知识点03：对数的性质负数利零没有对数.对于任意的。0 且。都有 log：=0, log：=l, bg：=_l；对数恒等式：心磋=n（。0且。W1）【即学即练2】（2023高一课时练习）2b4的值是.【答案】|【详解】由对数的概念可得2幅！=,，故答案为：知识点04：对数的运算性质当。0且qwI, Af0,N0 log ylog：M log' =log。-log-log：" = log） （neR）logl =-log；y （mwO）° m 10gT="k）g a m【即学即练3】（2023春湖南邵阳高三统考学业考试）计算：bg62 + log63= .【答案】1【详解】根据对数的运算法则，可得k）g62+log63=k）g6（2x3）=log66=L故答案为：1.知识点05：对数的换底公式换底公式：log' （。0且QW1, b0, c0,且cwl）log：12A 11A 12 111a = logi 彳/= bg2W，仍= bgi T-!og2- = l§3§3§3 y 3故答案为：1C综合素养1. (2023全国高三专题练习)荀子劝学中说：不积度步，无以至千里；不积小流，无以成江海.所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1 + 1%).看作是每天的进步率都是1%, 一年后是1.0产5°37 7834;而把(1-1%广看作是每天退步率都是1%, 一年后是0.99365。0.0255 ;1 01365这样，一年后的进步值是退步值的1481倍.那么当进步的值是退步的值的2倍，大约经过 0.99365()天.(参考数据：IglOl« 2.0043, 1g99PL9956, lg2«0.3010)A. 9B. 15C. 25D. 35【答案】D【详解】设经过x天进步的值是退步"的值的2倍，贝/四 1=2, 10.99；I c 1g 2 lg2 lg20.30100.3010 «x = logini 2 =-=x=x 35二 楼 lg101lg101 lgl01-lg99 2.0043-1.9956 0.0087，80.99 g99故选：D.2. (2023广西柳州统考三模)17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮 尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞"对 数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍，现代物理学之父伽利略评价给我空间、时间及对 数，我可以创造一个宇宙.已知怆2B0.3010, lg3Po.4771,设N = 45x9% 则N所在的区间为()A. (lO,;lO12) B. (10,2,10,3) C. (1013J014) D. (10,4?1015)【答案】B【详解】计算尼"=坦(45、91°) = 10吆2+20炮3“125520，对选项中的区间端点值同样取以10为底的对数值, 可知B正确.故选：B3. (2023高一课时练习)千字文是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书 法作品中选取1000个不重复的汉字，已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02x 1()2567种方法，设这 个数为N,则IgN的整数部分为.【答案】2567【详解】由题可知，lgN = 1g(4.02x 102567) = 2567 +1g4.02 .因为 1<4.02<10,所以 0 v lg4.02 < 1, 所以IgN的整数部分为2567.故答案为:2567.特别的：lOgl Q log/,log9716【即学即练4（2023全国高一假期作业）产丁的值是（） 1%42 3A. 1B. -C. -D. 23 2【答案】B【详解】由题意可得:log2716_log3342 _ 310§34_ 2. 10g34 log34 log343故选：B.题型01对数概念判断与求值【典例1】（2023全国高一假期作业）下列函数是对数函数的是（）A. y =log2x B. y = ln（x + l） c. y = logveD. y = logvx【答案】A【详解】解：对数函数y = log“x （。0且QW1）,其中。为常数，X为自变量.对于选项A,符合对数函数定义；对于选项B,真数部分是x + 1,不是自变量X,故它不是对数函数；对于选项C,底数是变量,不是常数，故它不是对数函数；对于选项D,底数是变量工，不是常数，故它不是对数函数.故选：A.【典例2】（2023江苏高一假期作业）在b = k）g“2（5-。）中，实数。的取值范围是A. （8,2）U（5,+8）B.（2,5）C.（2,3）U（3,5）D.（3,4）【答案】C5 -。 0【详解】由对数的定义知-20,ci 2 w 1品不得2q3或3。5.故选C.【变式1（2023全国高一假期作业）若1吗一）卜2-7x + 13）= 0,则x的值为【答案】4【详解】因为唾22）1-7x + 13）= 0,x2-7x+ 13 = 1所以 <x-2>0,x 2 w 1x2 -7x +12 = 0E|J < x > 2,解得 x = 4 .x w 3故答案为：4.【变式2（2023高一课时练习）计算：log81=； lg0.16=.【答案】8-6【详解】bg、，5 81 = log y/3 = 8,lgO.l6=lgW6=-6/故答案为：8,-6题型02指数式与对数式相互转换【典例1】（2023全国高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A. ©° = 1与1111 = 0B. 8 0 =工与 logs，二 一，223C.岷9 = 2与9L3D.log77 = /T=7【答案】C【详解】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：5= 1等价于1111 = 0,故A正确；对于选项B： 8一出=，等价于1。88： = -！，故B正确； 223对于选项0 1/39 = 2等价于32=9,故C错误；对于选项D： log, 7 = 1等价于7 =7,故D正确；故选：C.【典例2（2023全国高三专题练习）已知log3 =加,log, 4 = h,计算例二9【答案】44【详解】loga3 = m9 loga4 = n93=3, q=4,./f/）2329 a = = a a 449 故答案为：-【变式1（2023高一课时练习）已知log。3 =，则/用的值为【答案】9【详解】因为1。&3 =加， 所以优=3,力削=32=9. 故答案为：9.【变式2】（2023高一课时练习）已知log2a = !，则/=一）【答案】2【详解】,log2a = ；故答案为：2.4 = 2；，因此，/ _）3V =2.7题型03对数的运算【典例1】（多选）（2023全国高一假期作业）下列运算正确的是（）A 21ogj 104-log, 0.25 =2 / > 55B.log427 - log258 - log9 5 =-C. lg2 + lg50 = 2D.吗+修-e）-。吗=【答案】BCD【详解】对于 A, 2lo§ 110 + lo§I °-25 = lo81 f100x0-25）= loSI 25 = 2 5555A错误;对于B,I 97 I Q 1 C 312 劣 o L 09 1g3 1g2 lg5_ 9log, 27 log25 8.log9 5 = -log2 3 举 2 .装 5 =.正式父下故B正确;对于 C, lg2 + lg50 = lgl00 = 2,故 C 正确;21/ 1 丫1§对于 D, 10%+百）（2-6）-（噫行）=IO8M7T73 uJ =-14=4，故 D 正确故选：BCD.【典例2】（2023全国高三专题练习）化简：（1吗2）2+唾62、唳63+2唾63-6喻2 =【答案】-log62【详解】（log62）2+log62 xlog63 +2 log6 3-6=一嗨2.故答案为：-log62【典例3】（2023全国高三专题练习）计算2 .1(l)0.25-2 + ()327|lgl6-21g54-4)° .(2) 2 °叼+ 22 + 1g20 - 1g 2 -(log32)X (log2 3)+ (72 - l),gl 9 J33【答案】，(2)2【详解】(1) 0.25-2+f3-lgl6-21g5 + f-l127； 2 s UJ2 17 八3=QB 一+ -2(lg2 + lg5)+ l 5 )(2X=24+ - -2 + 1UJ=16 h12_ 332(2) 2,Og + f+ lg20- 1g2-(log32)x(log23)+ (V2-l),gl< 9 )= 1 + 1-1 + 1=2【变式1(2023春天津南开高二统考期末)计算：Iog,2 + k)ga0.5-k)g2 25xlog34xlog59=【答案】-8【详解】因为 log. 2 + log。0.5 -log225 x log3 4 x log5 9 = loga(2x0.5)-log2 52 x log3 22 x log5 32=logrt 1 -8log2 5xlo& 2xlog 3o ln5 In 2 In 38xxxIn 2 In 3 ln5所以log. 2 + log。0.5-log225xlog 34xlog59=-8.故答案为：-8.【变式2(2023全国高三专题练习)计算：(lg2y+lg2lg50 + lg25; 4bg2 35(1Y3+ logi 8-lg+ lg25-y -【答案】16(1)2【详解】(1)原式=(lg2+lg2.(21g5 + lg2)+ 21g5 = lg2(21g5 + 21g2)+ 21g5 = 21g2 + 21g5 = 2.(2)原式=22晦3一bg28 + lg33Mg25 lg8 Ine，= 9-3 + lg16-x2558333 11-=6 + lgl0- ±=6 + 1 - -222 2题型04对数运算性质的应用【典例1】（2023春河北张家口高二统考期末）已知。>0, b>0,则 q = 6 = 1是炫。+炫力=0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为 a>0, b>0 ,由 lga + lgb = lg（a（） = 0,可得 b = l,所以，a = b = Tnab = l；但"a = b = 1Wab = T.所以,已知。>0, b>09则以= 6 = 1是。g + lg> = 0的充分不必要条件,故选：A.【典例2】（2023山东济宁嘉祥县第一中学统考三模）若乎=3 =左且,+ L = 2,则心（）m nA. V5B. 76C. 5D. 6【答案】B【详自单】因为2' =3 =左且' + ' = 2,所以，加工0且 w0,所以，左>0且女=1, m n且有 ? = log2左，n= log3k,所以，=logA, 2 , - = log 3 , mn所以，+ - = logA. 2 + logA. 3 = logA, 6 = 2,则左 2=6, m n又因为攵0且左wl,解得人=遥.故选：B.【典例3】（2023全国高三专题练习）设3、=4=6z,求证：x 2y z【答案】证明见解析【详解】证明：设3、=平=62=团（加>0）,贝|J x = log3m , y = log4m , z = log6m .所以，=108M3, - = logw4 , - = log,;, 6 .xyz所以 + ；=bg,3+log"72=log,6 ,x 2y所以卜宗n =【变式1（2023高一课时练习）设logi 1，那么的值所在区间为（ ?3B. (-3,-2)C.(1,2)D. (2,3)【答案】D1 n =【详解】由题意可得：sgj5 3log" log23 log53 T 3=log3 2 +log3 5 =log310且 32 = 9 < 103 = 2710,所以 =log310 e(2,3).故选：D.【变式2（2023春广东广州高一广东实验中学校考阶段练习）（1）已知A I A - J2 ,-2-7x +x - 7I ；X4-X-1 4-X2 4-X 2(2) (1g5)2 + 1g2 x 1g5 + 1g20 + log 22