2023年湖北省荆州市统招专升本高数自考真题(含答案).docx

2023年湖北省荆州市统招专升本高数自考真题(含答案)学校:班级:姓名:考号:一、单选题(20题)Y1 cos(z2y)z )吧?(仁 + 丫?)而" 2)(y->0A. 0B. 3C. eD. 8设y = /(sin./)/为可导函数则半=()(LrA. siruz' / (sirrz' )B. cosj'/' (sin。)i2f (sin、/ )D. 2、rcosi2r (sin,1 ),函数/(x) = er 的一个原函数是()A. F(.r) = cr - c-JB. F(.r) = c' + o''C. F(.r) = e ' e'D. F(t) =- er e设当if。时,/(1)与*(w)均为、r的同阶无穷小量，则下列命题正确的是 ()A. /(工)+ 一定是工的高阶无穷小-g(a) 一定是上的高阶无穷小C. /(x)g(j ) 一定是、r的高阶无穷小r)0R(g(r)产0)一定是、r的高阶无穷小ar2【精析】A项中，/(N)=7 1的定义域为Rg(w) = _-的定义域为卜T | 1 ¥ 1) X 1故A项中f(x)与g(x)表示的不是同一个函数：B项中,(l) = x2的定义域为R,g(i) =(G尸的定义域为定I 12。,故B项中/与gCr)表示的不是同一个函数;C项 中,/(1) =、，g(w)=，/=M 且两个函数的定义域均为R,故C项中/(二)与gQ ) 表示的是同一个函数；D项中JQ ) = 1 ,g(i) = .r° = 1 dr 0),故两个函数的定义域 不同，故D项中(1)与g(.r)表示的不是同一个函数故选C.7.B答案B1sin 【精析】A项由莱布尼茨判别法知条件收敛;C项当 f g时一L二，所以收 n irg=sn= 1故级数收敛：而B项中.8 敛；D项中； M= 1lim = lim 二一=1半0故发散. ln(l + ,)ln(l + 4" 8.A答案1 A【精析】 -co“在- 1上是偶函数，tag在- 1-1上是奇函数,所以 二”2生一在一 ,口上是奇函数，故该定积分的值为o.二厂十COST9.D答案D【精析】 牛=sina2)T = (sinj2) , (sinj' )" = 21cos/"(siru').10.B.答案B【精析】 分离变量可得dy=(2+3)d八两边积分可得y =>+M +C又由v = 1可得C = 1 .故特解为y = 十十L11.C答案1 C【精析】 要使函数f(x)在/ = 0处连续必有lim/(X)= lim/(jt)= f(0) .所以a = iO.工.1- r *&】i ln(l+3i)i r-1 卜 ln( 1 + 3jc)八,olim sini arctan1= lim situ arctanF hm= 0 + 3 =-rr _ r-0 LJ X-*0，J-*O43,故当a = 3时，/(j )在/ = 0处连续.答案D【精析】 函数了 = 口= 为取整函数，值域即的取值范围,即（0, ± 1, 土 2,卜【精析】/'(i)cLr = f( x) +C.B.C a14.D答案1）【精析】丁 =清喙*（°忘143' =。时得=会/优）=一%所以j= £（、y）在3r= 0处的导数为=- 4 故选D.“信）15.B答案B【精析】 iim f(x)= lim3eT= 3 lim /( j ) = lim (2x4-a) = a /(0) = a ,由 / (x)在.1 f “4 rli=0处连续可得lim/(jr)u -0-lim/Q) = /(0) 因此 a = 3 故选 B. r16.Crl02311a + 2110001112<100011a + 10若r（a。2% ) = 2 ,则 a + 1 = 0,即17.A答案【精析】, (i+/)2'y=(I)-(T)!故(1 + 1)"以应选A.18.C【精析】lim -八3八）一/（一力）2h= Zm*S. A-04/2 = 2/(0),故选 C.19.D【精析】 方程两边同时对1求导+/） *（21 + 3# = 1.令.1.则/.5=1,/=4,故应选D.答案1 B【精析】曲线v =-y = 4a 4-6,即I4=r = 4。, 421.4;答案1 4!【精析】/(4) = lim .« f Ilinu( j, - 1) (.?, 2) (4r c.r-* 22.45【精析】由题意知.X-23.1 - ln(l +c)【精析】厂7-cbJ -i 1 e:与曲线丁2 = Q? +在(2.)处相切,故?1(2) = 3(2),且，(2)=4(2),1一记，36不1) - /(4) _ jm 4'(/ 1 >(.r - 2) 一3)(才一4) - 0 _x 4:二；w 45)=4!.-u(一】),则 P(一5< X< 4)=二 gcLr = 上 0Da ¥ L3L 12=-d( 1 e ) = (In | 1 - *1)J-i 1 e1-i=ln( e 1) 1 ln( e" - 1)十 2=1 ln( 1 e).24.(8 . + 8)【精析】p=lim"一 A 8（，+ 1产=Iim()w lini J = lim二十 1n8十 I loo( 1)【精析】A-2E =| A 2E | = 2(A 2E)一-2E)/ l - 2E |26.答案【精析】由于/=1 + /1 +，r2 = 1 + " +1=0,所以R =+8,故塞级数收敛域为（-8. 4-00）.25.0、(10i【精析】 向量的模为，（-3）2+尸+ 12 = 局,故与之平行的单位向量为土【精析】lim" = lim = lim - 0 - = 1. rl° 2x，1 +、/3十公29.1n2答案ln2【精析】t-7；da = ln( 1 I eJ)= ln2 lim ln( 1 ： e") = ln2 0 = ln2.30.【精析】 由题意知积分区域。=(1点) I1, 一 14丁&1,则ody (y >)d* =31.N答案X【精析】lim /(,r) = lim 3c4 = 3, lim f ( r) = lim (arctanei+ 4)= c u J(0) = 3,.r -0X -<JX -<J '.r -<l ,由 / (1)在 z =。处连续可得 lim/(i) = lim/(.r) = /(0)，因此 a = 3 e.32.Y【精析】 函数八r)为塞指函数故底数/>0,且1.则函数定义域为(0J)U (1, +8),故可知函数/(T)有一个间断点1=1.【精析】33.Nsin2i i.21lim -""- = lim - =i-o sin4.r 。4t34.Y【精析】V/(x) = sinjs A/(.r)在a ,上连续，在(a,)内可导，且 /'(i) = cos_r,由拉格朗日中值公式得存在(.,使吗- s'"= c°s£即sin- sin” = b - aCOS (一).35.N【精析】 因为 lim/ = O.liiTLr = 0 子所以 lim (12 3jt) = 0 0 = 0. r-0rDj-*036.N【精析】(e2T)z = eZr (2.r)' = 2e汽【精析】37.Ydv-d/dr-dz【精析】当/f 0时.2/ - 3/ + 2 f 2 .工工-n+ 3 -* 3 38.Y则limJ- -02CZ【精析】 八外是最小值,/（）是最大值.39.N40.Y答案J【精析】 分离变量可得一= 两边积分可得Vdy = |>dn解得一J1J+ G = J > ,即、/ + V = c.41.精析原式=；si.” +Wd 1,c。法十S0rd, Z Jsin/ 十 cos.r/ 1- cos? + sirrr、.=亏(1 H：7)Cl-T/ J sin.r + cos/11f11Z-.、=jc ：d( sina+ cost )22JSIFLT 十 COSJ:= in | siixr + cos.r |+ C.-J42.【精析】 由被枳函数及枳分区域特点可知选择极 坐标计算较为简便.如图所示.区域D的表示式0 < R,l| R .r:y: d.rdj = |1 R' r: rdrdO r>”1 CH ,= ( )d央尸1)4Z J(iln( 1 + f )df2i)243.1精析】【精析】 令 ln.r = f.则 / = e'由 /"(Ini) = 1 +w 得/'(/) = 1 +3 .积分得 /(/) =，+d+C ,故/( w ) = i+c"+C.【精析】/3 + 2、丁 - 7 = /4-(,r- 1)令才一1 = 2sii” ,一今 V / < ,则才=1 + 2sin/ ,d.r = 2coszdr ,故有,7 + 5 q=6t2sin/ . 2cos/d/J3 + 2、? 一 ，2 cos/(6 + 2sinf )dz = 6/ 2 cos/ + (=fiarcsin r+ 21 + C.46.【证明】 设/Q) = 1m,.易知/在区间/ L满足拉格朗日中值定理条件.即至少存在一点g6 (.)使得In/ In;/ _ 1 , m一 W又因为0 V <£<，故 VqV工.从而有？ W n1 . In/? Inn 1 - 1V = < 一 "1 m一 W n整理得47.【证明】F(x)在一血连续，在(,6)可导，旦F(a) = 0,F=(b-a)2f(b)= 0.所以F(jc)在a,切内满足罗尔定理条件.故有 F'g= O,a V& <b,尸'(辽)=2( jt a ) J(jc) + (7一a)2/'(>r).在a,6连续，在(a&)可导，且F'(a) = O,F'(&) = O所以F'(z)在a,内满足罗尔定理条件，故有 F，®= O，e e(a,&)U (a,b).48.【精析】 设底面半径为r.圆柱高为八.则V = “小十卷/.5 = 3/ +2n出.h= 匚一卷.代入S得S =生，天广 33r所以S, ¥丑尸一"，令S' = 0得唯一驻点厂=J更,且夕=+当 >。，故为极 3 厂、。兀3 尸，小值点.在此问题中也为最小值点.代入厂解得/?=人/誉，即当该直圆柱的底面半径为V 5兀*高为J咨时,其表面积最小.V onV on49.【精析】由两条曲线、=cos.ro, =强所围成的平面图形如图所示依题意，旋 b转体的体积为V = J ( kcos2 7usin-)cLrTtcos2xdr =告 sin2isini及两条直线50.【精析】设面积A =加巴厂=10 cmAr = 0. 05 cm./ AA y dA = dnr2 = (27rr) 厂=2k X 10 X 0. 05 =兀 cm2.因此加热后金属圆片面积增大了兀cm2.51.【精析】 设切点为Q°，w),y' = 21一2.则切线方程为v = 2(羽1)，代人曲线方程.得2("-1)4=d解出.E = 97° =± 3.切线方程为v = 4.r和y =-8”所求面积为f*0(./? 2.7 + 9 + 8j )cLr + (.r 2/+ 9 4j )d.r.0(M + 6.r + 9 )d,r + | (.r2 6.r + 9 )d.rY + 3M + 9O=(9- 27 + 27 ) + (9 - 27 + 27) = 18.52.【精析】（1）由已知条件知= aI,，y= In x/ji .=(In 代、求解，得4 = 1，切点为（ell）； e（2）两曲线与轴围成的平面图形如图所示:，:/ZF *- v=ln JT x第25题图于是所求的面积为：/ p2S = fxdx - In /FcLrJu eJ V1>2 - I L L 尸 11=.r 2 .rin V.T 十 i 3e1< ' 衣 2仃_1 21e62*函数y =in(M - x)(8 < 1 <+8）是A.偶函教B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函教6.下列四组函数中/（4、）与g（i）表示同一个函数的是A. / (、r) = .r 1 , g(,r)="C. /(.r) = wt g(;r) =B. /(x) = a2, g(、r)=(石VD. /(i) = 1 .g(w) = /7.下列级数中发散的是81B-S -'1ln /1 H 1gsm c. VEi + <-D"(P>2)8.定积分“广：邙叱d的值为J -J LX+ COSTA.OB. 1C. -1( )D. 29.设=为可导函数，则兴；=A. siru*/'( siru* )C. 2xsinj / (sinj 2)B. cosj2(sxnjr2)D. 2.i cosj-2f (sin.r2)10.微分方程/ 一 21 3.r = 0满足、y1的特解为A. 5 = L/ + M + 1C. y =Ik y = V + x2 + 1D. 3r =>十+ Cfsiirr arctan + Ind + 31), - g < .r < 0,已知函数/(»= 13在,=o处连续.a si 2 0k则 a =()A.OB. 1C.3D.4函数y =匚r=，八 W / V "+1 =。，± 1 , ± 2.的值域为()， ，C (-g.+cS D. O.±L±2.下列等式中不正确的是()A. ( fQ)di)' = / (j')B. d( | / (j )djr) = f (x)dxJ，f9C. ff ( jc)d.r = / (t)D. d/(n) = f(jc ) + C设=737(0 <tt),则其反函数1 =(p(y)在y =。处导数为 ()3 + si arTA. 4B. 3C. -3D, - 4(3eZ ,r < 0,若函数/(i)=J在t = 0处连续，则a的值为()12.r + a .r ' 0A. 0B. 3C.。D. 1已知向量组四=(1.0,2.3儿 =(1 J.3,5)T.% =(1，- la + 2.l)T的秩为2,则a =()A.oB. 1C. -1D.217.设 y = ln( 1 + w),则 yw> =A.（一1尸(r/ 1)!(l + x)rt(一1)!(l + x)ttC.（一 1尸n(l+x)rtD.（一 1尸(z/ 1)!设在w = 0处可导.则lim二二=A-04”A.%(0)B.多"(0)ZJC. 2/(0)D. yy(0)（14-x）,设在（0.+8）上连续，且 /t）力=八则/（2）=J 0A. 5B. 3C. 120.已知曲线了=5与曲线3 = *2+。在点（2，）处相切，则A. a164=一="=T164C.a = L9b=-1164D.q = y164二、填空题（10题）21设/=才(1一 1)(、7-3)(彳-4) 贝IJ /'(4)=“ M- 1-1上任取一点x.则该点到原点距离不超过!的概率为 22.3QO募级数2 4的收敛域为24.=i " 25.,3 0 0、.已知A =,E为三阶单位矩阵，则A-2E的逆矩阵（A- 2E）26设/内=才:+9 则 JQ)=27与向量1,4,1）平行的单位向量是极限lim28. 厂 “0广义积分 29.-：arJi 1 +e'30.设区域 D= (7了)I 0 < j< 1.1 W ?<1>，则J(.y - ”2)did) =I)三、判断题（10题）35,若函数/（i）=< arctane.r在=0处连续，则a x>0A.否B.是一设/（''）= 32./K,则函数fX T ）有1个间断点.A.否B.是极限lim型筌=2.33.2s,n4r A.否 B.是6.设函数 / ( j ) = sinitT34.6 M，由拉格朗日巾值公式得存在£ £ Q而，使sin/；- si=cos? (b a).A.否B.是35.lim(.r2 - 31) = lim,一3 lim/ =OO - OO = 0.A.否B.是U = e236.A.否 B.是已知函数v = y（x）由参数方程 37.=1 一八dv尸确定则言=2】,A.否B.是r 2/ - 3jt+ 2 _ 2hm"q 38.，。/一打 + 33 a.否 B.是39如果/J）在上单调增加，则八。）是极小值，/（）是极大值.人否B.是40.微分方程表十* = 0的通解为y!十=C.A.否B.是四、计算题（5题）.求不定积分 41.SIM.siru* + cosj*dr.42.计算二重积分JJ收T - /dr办+汁> 0.In(l+/)dr43求极限时.设 f(1 nx) = 1 +w,求 fC x) e 44.求不定积分 45.五、证明题（2题）证明不等式：曳"46."< In<以二3其中 < ，为正整数.设/（N）在。二阶可导，且八6） =0,又设F（z） = Cr-a）2/Gr）,证明在（a内 至少存在一点白使/（6= 0.六、应用题（5题）48.设一物体其下端为宜圆柱形，其上端为半球形，如图所示.如果此物体的体积为炉问这物体的尺寸各是多少时才能使其表面积最小？求由两条曲线=sini及两条直线.r = 0,.r = %所围成的平面图形绕 bI轴旋转而成的旋转体体积.半径10 cm的金属圆片加热后，半径伸长了 0. 05 cm,向其面积增大了多少？求由曲线y = M 21 + 9与该曲线过原点的两条切线所围成图形的面积.已知曲线丁 =以行（“ 。）与曲线y= In6在点J% , jr,.）处有公切线试求：（1）常数a和切点（心,“）；（2）两曲线与1轴围成的平面图形的面积S.参考答案1.A1，/ 八,2 2歹y )12【精析】 使用无穷小的等价代换可得原式=lim ,汽2、2 2 = 4 lim隹工一o (1 + y ) 1 y Z x-o x+ y"jr->0j/->022 2而 0 ( 2r 2 < 1，lim/ = o,所以lim 2 = 0,故原式=。.f+ yz-00公+ y_y->03r-*02.D答案D【精析】 孚=/(sin/)' = /'(sirL，) (sina)'=2rcos/'( sin/'). cLr3.B4.C答案c【精析】 由题意知Jim "" = a Jim以"=，故y,(0) = g(0) =。,对于选项C. .rZ上一。 Jt'lim * &( J)= im) liing(a) = a XO = 0,即一定是 t的高阶无穷小,<>)-0 M其他三项都不能保证一定是7的高阶无穷小故应选C.5.B【精析】令f(x)=,1，则ln( J1 + x2 2)ln(，1 + * + -)( M )2 x1 .In ；一.x/1 +x2 x _=1 =_1ln/-F=-)ln( 'i+Mi x/1 +x2 jr /=/(E),即y = ")为奇函数，故选B.6.C