第55讲空间角与距离的计算（2）（原卷版）.docx
第55讲 空间角与距离的计算(2)J探点得位置关系.探索性问题探占徨佳空间角与距离的计算,古、”百探点得角最值问题1、【2021年甲卷理科】已知直三棱柱Z8C-48c中，侧面44避避为正方形，AB = BC = 2, E,尸分别为/C和CC的中点，。为棱4月上的点.BF A.A.B,(1)证明：BF IDE；(2)当片。为何值时，面88CC与面。心所成的二面角的正弦值最小？2、【2020年新高考1卷(山东卷)】如图，四棱锥口8c。的底面为正方形，尸。，底面45CD 设平面以。 与平面PBC的交线为/.(1)证明：平面PDC；(2)已知夕。=4。=1,。为/上的点，求P8与平面。CO所成角的正弦值的最大值.1、(2022河北深州市中学高三期末)如图，在三棱柱Z8C-44G中，ABC是边长为2的等边三角形，BC1 BB, cq =V2 , AC1=6.(1)证明：平面45C,平面BBC。；(2) M ,N分别是BC, AG的中点，P是线段上的动点，若二面角P-MN-C的平面角的大小为30。， 试确定点尸的位置.2、(2022青岛二模)如图，P为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径48=4,母线PH=22, /是P3的中点，四边形08677为正方形.(1)设平面尸。"G平面P3C=/,求证：lBC；(2)设。为。的中点，N是线段上的一个点，当脑V与平面以6所成的角最大口寸，求A/N的长.考向一利用空间向量解决探索性问题例1、(2022安徽合肥市第八中学模拟预测(理)四棱锥P-中，底面/8CO是边长为血的正方 形，4 = &) =仆，点尸在底面/8CO的射影为点。，且夕。=2,点是8C的中点.(1)求证：AD1PM；(2)在线段。/上，是否存在点N,使二面角Z-P8-N的余弦值为无？若存在，请确定点N的位置，若不 存在，请说明理由.变式1、(2022年河北省衡水中学高三模拟试卷)如图，在四棱锥S-力8CO中，已知四边形/8C。是边长 为正的正方形，点S在底面48C。上的射影为底面48C。的中心。，点。在棱S。上，且aSZC的面积为1.(1)若点。是S。的中点，证明：平面平面HC；(2)在棱上是否存在一点使得直线以与平面P/C所成的角的正弦值为包？若存在，求出点P 5的位置；若不存在，说明理由.变式2、 (2022湖南长沙县第一中学模拟)在直三棱柱15cl中，ABA.AC,AC=AB=AAx = 2.(1)求证:AiB±BiC；(2)M, N分别为棱CG，的中点，点P在线段4囱上，是否存在点P,使平面刊用与平面4BC所成角的余弦值为4 21,若存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.21方法总结：用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的方法：根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证 明，得出结论.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组) 求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.考向二运用向量研究空间距离例2、(2022年福建省福州市高三模拟试卷)如图，在四棱锥。中，以8是边长为2的等边三角形.梯形/8CO 满足 5C=C0=1, AB/CD. ABLBC.(1)求证：PD_LAB；(2)若PD = 2,求点。到平面心。的距离.变式1、如图，3CO与MC。都是边长为2的正三角形，平面MCOJ_平面8CZ),平面5C。，AB=2 3,求点4到平面的距离.方法总结：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.考向三运用向量研究最值问题例3、如图，4SC是等腰直角三角形，ZACB = 9009 AC=2a, D,£分别为4G 48的中点，沿。£将4OE折起，得到如图所示的四棱锥43C0E.(1)在棱©8上找一点八使环平面，CQ；(2)当四棱锥45COE的体积取最大值时，求平面4CO与平面48E所成角的余弦值.变式1、(2022广东东莞高三期末)如图，在正四棱锥S-48C。中，点。，E分别是BD, 5C中点，点尸是SE上的一点.(1)证明：OF LBC；(2)若四棱锥S-的所有棱长为2及，求直线。尸与平面SOE所成角的正弦值的最大值.方法总结:建立关于角距离等所求的函数的关系式，然后运用基本不等式或者求导进行研究。1、(2022山东青岛高三期末)如图，在四棱锥尸-/3C。中，底面43CO是边长为2的菱形，/DAB = 60、24 =尸。=石,尸为43的中点，AC1PF.(1)求证：平面夕力。J_平面48C。；(2)求点八到平面厂的距离.2、(2022年广州第十七中学高三模拟试卷)如图所示，在梯形/5CZ)中，AB CD, /BCD = 120。,四 边形4c比为矩形，且CF，平面Z8C。，/O = CD = BC = CF.(1)求证：4C_L平面3CF；(2)点在线段E厂上运动，当点在什么位置时，平面与平面厂CB所成的锐二面角的正弦值为叵.73、(惠州市高三期末试题)如图，。是以45为直径的圆。上异于45的点，平面平面PA = PC = AC = 2, BC = 4,瓦尸分别是PG的中点，记平面与平面力3。的交线为直线/.(1)求证：直线平面PZC；(2)直线/上是否存在点。，使直线PQ分别与平面/EF,直线Eb所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由.4、(江门市高三期末试卷)如图，在四棱锥P-中，平面/BC。，ADV CD,且/。= 1, CD = 2, BC = 5 , PA = 2.(1)求证：ABLPC；(2)在线段P。上是否存在一点M,使二面角M-NC-Q的余弦值为牛？若存在，求三棱锥43C体积; 若不存在，请说明理由.5、(2023江苏泰州泰州中学校考一模)如图，在四棱锥E4BC。中，AB/CD , AD = CD = BC = -AB , £在 以46为直径的半圆上(不包括端点)，平面力1平面48C。，M, N分别为。E, 5C的中点.求证：乂平面Z3E；(2)当四棱锥E/BCO体积最大时，求二面角M4E8的余弦值.
