2021年河南专升本《高数》真题(含答案).docx

2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号*一四五总分分数503050146150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号堞写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：易（42分）中（73分）难（35分）选择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21壤空:26/28/30/32/37计算：41/43应用：证明：选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/23/24/25填空：27/29/31/34/35/36/38/39计算：42/44/46/48/50应用：证明：53选择：19壤空：33/40计算：45/47/49 应用：51/52证明：一、选择题（每小题2分，共50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.L对称区间上/ （工）是奇函数，g （X）是偶函数，下列函数是奇函数的是（）二、填空题（每小题2分，共30分）26 .函数y=星+ln（x+l）的连续区间是.V9-x227 .若f（x）为可导的奇函数，且广（2）=3,则广（-2）=.28 .曲线y = Inx在点 时切线与连接曲线上两点（1, 0）, （。，1）的弦平行.29 . lim（l-）J42021=. X* 730 .曲线3£±1的垂直渐近线是 x = 2cos0 + sin 2。Jv31 .设曲线方程（八八（0为参数），求业* y = 2sin + cos2odx oo32 .不定积分 jxsin xdx =.33 . Jo max x, 2 xdx - .34 . 一 F cos>ftdt （x > 0） =. _ cl/）35 .函数y二的极值点坐标是.36 .曲面ez-5z + xy=3在点1, 0）处切平面方程是.37 .设二元函数z 2xy +y,则,38 .函数y二In sin x在区间停，学上满足罗尔定理的&的值是.39 . L 为正向圆周（x-1尸 + y =4.（2y + x3） 6Zx + （x-.40 .将函数f（x）=展开为x的幕级数为.A -6x + 5三、计算题（每小题5分，共50分）41 .求极限 lim,n（1 + 5vSinX）.E° 1 -cosxx +342 .若极限lim（ -ax + b） = 0 ,求的值.e x-143 .设函数y arctan右，求车及纲 ax ax44 .求曲线y = 3 + In （x2 +1）的拐点及凹凸区间.45 .计算不定积分Jdx八/7+1 + 146 .设 3二海尹，20, fjg 脚.1 + x x<0'47 .过点（-3,-2,0）且与直线& 7二虹名二竺;垂直相交的直线方程. 11148 . 设二元函数 z = 一arcsin （A）'）,求 x>'y2一.3ydx dy49 .计算二重积分I =dxdy.其中积分区域。由直线y = x 9y = 0, x = 3围成.D50 .判断级数#133.; 嘉2”=4一的收敛性四、应用题（每小题7分，共14分）51 .过坐标原点作曲线y二的切线，求：（1）该切线的方程；（2）由曲线、切线及），轴所围成的平面图形绕A轴旋转一周而成的旋转体的体积.52 .质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.在r=10s时，速度v = 100cm/s,外力F = 2g cm/s?,问，二30s时，质点的速度是多少？（765/. 062,计算结果取整数，注：F = maf o为加速度）五、证明题（每小题6分，共6分）53 .证明多项式=2/-6x + a在区间- 1,1上至多有一个零点，其中d为任意实数.2021年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选择题(每小题2分，共50分)1 .【答案】C【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数x偶函数二奇函数，故选C.2 .【答案】A【解析】本题考察求“9”型极限，利用等价代换可得：lim*=0Jo 2x,项 2x23 .【答案】D【解析】lim arctan =00,根据无穷大量的定义知，故选D.4 .【答案】C【解析】lim f(x) - lim xcosx = 0, lim f(x) = lim(2x ,+迦当= 1,在 x = 0 左右极限存 i (r . o'x-»o»-»o，x在且lim f(x) * lim /(x),所以x = 0为跳跃间断点，故选C.5 .【答案】A14x-211【解析】本题考察求"8-8"型极限，lim(一)二lini4-二lim二一，故12 x-2 才-4«->2 -4 «-»2x + 24选A.6 .【答案】D【解析】根据可微口可导J连续的关系，知连续不一定可导，故选D.7 .【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，川，故选B.8 .【答案】D国析】加I二赤温TT近广T故选D.9 .【答案】C【解析】lim叫一/(lUlim J防:尸=3,所以/XI) = 6,故选C.z x-l -*> (x-1) (x+1) 210 .【答案】B【解析】y - xx-4) = x-4x, y = 4?T2x?,在 Joo,-4 )内 y'<0,所以曲线在(一 8,-4)内单调递减；/= 12乂2-24羽在(丫0,-4)内/0,所以曲线在(-8,-4)内是凹函数，故选B.11 .【答案】C【解析】根据定积分几何意义，由被积函数V知定积分J' Vl-x2dr表示以原点为圆心、1为半径的上半圆而积，即J: Jir女二?s同二：，故选C.12 . t答案】B【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：J- /(In x)dx= j/(In x)d(n x) = F(ln x) + C ,故选 B.13 .【答案】A【解析】利用微积分互逆运算:B选项d( fMdx) = f(x)dx, C选项£ J广小 f(x),D 选项 J /' (x jdx = f(x) + C,故选 A.14 .【答案】B【解析】平面2x + y-3 = 0法向量 =(2, 1,0), z轴方向向量s=(0, 0,1),以$=(),即平而2x+y 3=0与z轴平行；代入原点，得20 + 0-3/0,即平而不经过z轴：故选B.15 .【答案】B【解析】方程4左4二4为椭圆锥面的方程式，故选B. a b c16 .【答案】Am1 J - - £ + £2 - - In 门 1% + In |x| |(z/,不存在，即发散，故选 L X X X17 .【答案】D【解析】j （F + x>!cC -x ） dx = xdx J xy/si-x dx = ： x3l： + 0 = ： /,故选 D.18 .【答案】Ct解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得+ y.阶线性微分方程，故选C.19 .【答案】B【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，刃+力=2工+2。*为微分方程）, + y = 2x + 2e-'的解；设二阶线性齐次微分方程为y + y = 0,特征方程为，2+1=0,r =,得二阶线性齐次微分方程的通解为：y = Ccosx+Czsinx,故微分方程+ y = 2x + 2e的通解为 G cosx + C2sinx+2x+*_,故选 B.20 .【答案】C【解析】在点（与，为）处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分 条 件知选项C正确，故选C.21 .【答案】C- 2,一dxdy dxdy (I2)二-2,故选C.【解析】一二2x-2y, dx22 .【答案】A【解析】与72,（2,-1）同向的单位向量2二（令，虽）又因为以一 1,2）故龚21二金.4 +余-（一 2）二2打，故选A.dl(2.-1)23 .【答案】C【解析】由么知积分区域。表达式为：0 < y < 30<x<3-y,交换积分次序后积，即Jo刈顶尤,）办二*：公'/ （1,）'）玲'，故选 C.0<x<3 分区域D可表示为：0<y<3-x24 .【答案】A【解析】根据交错P级数结论，A选项为绝对收敛；B、C、D选项为条件收敛；故选A.25 .【答案】D【解析】根据级数的性质：收敛级数加;成发散级数，结果为发散，选项D正确，选项C错误；选 项A：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化；选项 B：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为发散； 故选I).二、填空题(每小题2分，共30分)26 .【答案】(-1,3)9-x2>0-3 < x < 3【解析】定义域：xe(-1,3),初等函数在其定义域内都连续，x + 1>0x>T故连续区间为(T, 3).27 .【答案】3【解析】求导后奇偶性发生改变，即/X/禺函数，则广(-2)=广(2) = 3.28 .【答案】(e-ljn(e-l)【解析】由题意知曲线在该点的斜率为=上* = ±,所以;/ =±=±,解得x=e-lx e-l代入 >二 Inx 得)* = In(eT):故该点(eT, In(eT).29 .【答案】/【解析】应用第二重要极限，原式Timll + LLfTEm'U%*】二ex30 .【答案】x = 1【解析】lim " + *=。，故*二1为函数p = 垂直渐近线.XT a x-131 .【答案】1【解析】_dyldO_ 2coso 一 2sin2。dx dx! dO一 2sinQ + 2cos2032 .【答案】-xcosx + sinx + C【解析】jxsinx6Zr - - Jxobosx - -xcosx+jcosxdv - -xcosx + sinx+C.33 .【答案】3【解析】*21 时，/(x) = maxx, 2 x = x； xvl 时，f (x) maxx, 2 x - 2 x.j max x, 2-x) 6Zr =(2-厂 +j xdr = (2x-x2) -x =3. o o I 2 n 2 34 .【答案】 2xcosx【解析】变限积分求导，£ FCOSyftdt4A - 2yC0SX.dd35 .【答案】(-In2, 4)【解析】xwR, yMe'-e-' - -。，解得：x = -ln2, e-<o<x<-ln2 , 丫30,则)在(-。0,-111 2)单调递减：x>-ln2, />0,则 y 在(一 ln2,+oo)单调递增;所以x =2为极小值点，y = 4-m2 + 丁点)=4. ： +2 = 4故极值点坐标是(Tn 2,4).36 .【答案】x+2y-4z-4 = 0【解析】令 F(x, y, z) - e:-5z + xy-3, F； - y, F； - x, F：- 瓦则曲面在(2, 1,0)处法向量为；二(1,24),切平面方程为(工一 2) +2(), 1) 4(z 0)= 0 ,即x + 2y-4z-4 = 0.37 .【答案】dz(31) =2dx+3dy【解析】z = 2x), + y . z； = 2y, z= 2x+2y，即 dz = 2ydx + (2x+2y)dy ,故dz| (m=2 么 + 8 如38 .【答案】？2【解析】令(同二件二0,又因为1?,2勺，解得x二瓦则g=£sin x3 32239 .【答案】一 4勿【解析】由格林公式得，血(2y + 丁)妇(工-尸用=J骨一告)dxdy =P(1 - 2)”,二-Jj dxdy=-S 刖=-4 勿.40 .【答案】£(1-吉)T, xe(-l, 1) /! = () 5【解析】/ (x)=一=£v- x -6x + 5 (x-5) (x-1) x-5 x-1 -x 5-x K To5=£o -xe(T, 1).n-0 D三、计算题(每小题5分，共50分)41 .【解析】原式二 lim5xSinX=1().1-COSX XTo 2-x 242 .【解析】+ b) = limX-HC X X-H©即 a 二4 6 = T.202,x +3-a犬 + ax+bx-bx-l.-a)x + (a + b)x + 3- b八=1和-=u，根据有理分式结论，得-4 = 0,a+b$.43.【解析】dx 1 + (>/x)2 2 去(1 + x)44.【解析】函数定义域为R,对函数求导y'二2xx -f- I 2 (J+)-2r2x_ 2-2/)(x2+l)2-=(x2+l)2令)，二 0,即 2 2J=0,得 x, =-1,上二|,综上所述：凹区间为(一 1,1),凸区间为(-。,-1)> (1,+。)：拐点(-1,3+1。2), (1,3 + ln2).45 .【解析】令i/i + x = 3则尤=尸-1, dx = 3J析,3(； FT + Ink + 1|) + C =：(1 + X 户 3(1 + X 户+ 31n (1 + x)孑+1) +C.46 .【解析】令 xT =/，当 x = -|. / = -2； x = 2, / = 1 ；14 2 j f(x_1 )么= F, = J (1 + r)dt +£cosr</r = (r + -r3) |?2 +sinr |+ 一'°2323 /74解析】令台早弓“叫1 + 2,设直窖二早弓与所求直线的z 二一t 十 |交点为(以+ 2,T + 1),过点(-3,-2,0)的所求直线的方向向量；=(f + 3,f + 4,T + 1),直线？二匕2二兰二的方向向量为;二(1,1,-1),又两直线垂直,所以；_L£，即5-二0,则1 11A-/(X4)r+3+/ + 4+r-l = 0, t - -2所以；二（1, 2, 3）,故所求直线方程为甲二导二§48.z 2x ydzf x【解析】一二一一+一.一二一一+ /3y y I -(xy)" oy3y yj-(xy)2nn dz 2 ° z , 2xy则-M-y-矿顼12 j I =2, J 丝3 yl(xy)3 Jl_ (xyV)一)，2(一亍 一，LJ< 3y Ji-* 3/ Jl_(xy)249.【解析"二JJ e' dxdy = J： dxe'dy =e d(-)dx - J： x(e-)dx - (e -1) _L F 29二扩133 5 (2 - 1)-(2 + 1)50.【解析】由比值判别法得Q二lim&二lim-|一u ns1. 5 3 5. (2 -1)n5%! 1 3 3 5 (2 - 1)(2 + 1)5%!2n + 2 .1/ 5( + 1)!1-3-3-5- -(2n-l) 1, 5( + 1) 5所以幕级数尹一3351）-收敛.四、应用题（每小题7分，共14分）51.【解析】（1）设切点为（式0,丸），由题意得&切二匚者主二仁，根据导数的几何意义,To 0*切二刃.一二-。即亡 = -*,解得工0二T,把临二一 1代入y二g及y'中得为二。，xoe,所以曲线过原点的切线方程为y二-四.由得，切线与曲线交点为(一 l,e)即 V =匚(广)2-LexAZd(Te，|eV|。，)二双.52 .【解析】由题知，F = k-V = 10. P= 100, F = 2代入得/=20,则F =又vvF= g，所以一,角牛v2=20/2+C,将，=10, V = 100 代入得 C = 8000,则 dt vV2 = 20r2+8000.将,二30 代入得护=26000, v = V26000 = 20V65 »161.五、证明题(每小题6分，共6分)53 .解析】已知 /(x)= 2x3- 6x +。，fx) - 6x2 -6 = 6(x2 -1),在区间-1,1上fx) K 0,故/7切在区间-1,1单调递减，因此/(%)=2X3- + a在一 1, 1至多有一个根，即f(x) = 2x-6x+ a在一 1,1至多有一个零点，其中。为任意常数.C. g(x)f(x)D. -g (-x)2.极限临竺工f 2xa.22C.OD.8 3.当XT+8时，下列变量不是无穷大量的是（B. 12C. -14D. 86.下列关于函数y二打制在点玉，的命题不正确的是().A.可导必连续B.可微必可导C.可导必可微D.连续必可导7.设函：y = x" + a(x、+ a2x + an, WJ/n) = () . K. anB. ！C. 08.设/（x） = InVT+x，则，=（）.A. 2B. 1c.l 2D. 1 49 .设函数y =在点x = 1处可导，且1而仰触二3,贝I广（1） = XT1 X -1A. 2B. 3C. 6D. 1210 .曲线y =-4在区间（-oo4） rt的特性是（A.单调递7威且为凹B.单调递减且为凹C.单调递增且为凸D.单调递增且为凹11下列等式中正确的是(A. J： 2 么=2b.£7177c.虾YD. J (sinx + cosx)dx = 012 .已知 jf(x)dx = F(x) +C,贝 ij j-/(lnx)A. F(lnx)B. F(lnx) + CC. xF (Inx) + CD. -F(lnx) + C13 .下列式子正确的是().A 士 J 对B. d(jf(x)dx) = f(x)C ± P 3dx=f(x) + CD. f f(x)dx = f(x)14 .平面2x+y 3 =()的位置是(A.平行于xO),而B. 平行于z釉，但不通过z轴C. 垂直于z轴D. 通过z轴成方程身、所表示的曲面为（A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C.椭球面D.椭圆柱面16 .下列广义积分中发散的是（）f2 dxaLtc. gwDC”17 .常数 a>0f ? (x + x>cf-x)cbc=(A. 0c.M2D金318 .下列方程中为一阶线性微分方程的是（A. （y + e）2=B. Ay + （y'）2 + y = 0C. xy + y = xD. /-2/ + y = 0,则微分方程19 .已知 y=2x 是/ + y = 的解，y2=e是 / + y = 2e）, + y=2x + 2广的通解是（A. 2x + e'B. C） cosx + C, sinx+2x+e-XC. C（ cosx+C2s力I）. C, cos x + C2 sin x+2x20.若函数/Xx, y;在点（X。，yj处具有一阶及二阶偏导数且取极小值, 则A. y0） = fy（x09 y。）= 0B. 若（气，光）是D内唯一极值点，则必为最小值点C.二（） , %） 六；（如 %）-有（吒，Jo） 2 。，且/ （吒，月）。D. 尺（易）（用，成-加斤万且以（与，肉）021 .设 z = x-2xy-y,贝=( dxdy (1.2)A. 1B. 2C. -2D. -122 .函数/（x,y） = 2勺在点（-1,2）沿7二（2,-1）方向的变化率为（A. 2打B. -100-25D. 1023.24.二次积分 J： dy yf (x, y) dx = ).aJM火奶B - j> M （3用可可川泌D. J：,下列级数中绝对收敛的是（）.D.y (-1)皿25.下列说法正确的是(£(«+ 1) (/7 + 3)A. 一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛C. 一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛D. 一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散 J2F+4B. IgXC. 3*D. arctan xx）0',则工二0处是f （对的（x<0 ' xcosx.A.无穷间断点B.可去间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点145.极限lim （）的值为（）.a x-2 X* 1 2 * 4-4A.4