空间向量基本定理（2课时）导学案 2024-2025学年高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）.docx
1.2 空间向量基本定理导学案一.学习目标1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理、直观想象）二.学习过程（导学、自学）（一）探究新知1空间向量基本定理（互学）空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不 ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p= .（二）探究新知2基底与基向量（互学）由空间向量基本定理可知：如果三个向量a，b，c不 ，那么所有空间向量组成的集合就是p|p= ，x,y,zR这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做 .注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 .（三）探究新知3单位正交基底与正交分解（互学） 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ， 那么这个基底叫做 基底，常用 表示， 由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量a均可以分解为三个向量xi,yj,zk，使a= ， 像这样，把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行 分解.(四)小结（互学）1.提示一由空间向量基本定理可知，如果把三个不 的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.2.提示二进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为 间的运算，这为解决问题带来了方便.三.典例分析（互学）例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，试用向量OA,OB,OC表示OP.例1解:向量OA,OB,OC是空间中三个不共面的向量 据空间向量基本定理可得 OP=OA+AP=OA+34AN =OA+34ON-OA =14OA+34ON =14OA+34×23OM =14OA+12×12OB+OC =14OA+14OB+14OC 注：据加法的平行四边形法则可知“三角形中线所表示的向量等于与它相邻两边表示向量之和的一半”例2 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，DBA=60°，BAA1=60°,DAA1=60°,M，N分别为D1C1,C1B1的中点，求证MNAC1证明：设AB=a,AD=b,AA1=c, 这三个向量不共面，a,b,c构成空间的一个基底，我们可以用它们表示MN,AC1,则MN=MC1+C1N=12a-12b, AC1=AB+AD+AA1=a+b+cMNAC1=12a-12ba+b+c =12a2+12ab+12ac-12ab-12b2-12bc =12a2+12ac-12b2-12bc =12×42+12×4×5×cos60°-12×42-12×4×5×cos60° =0MNAC1故 MNAC1温馨提示：利用空间向量解决立体几何问题是我们学习空间向量的意义所在.例3 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为C'D'，A'D', D'D的中点.(1)求证:EF/AC;(2)求CE与AG所成角的余弦值.证明（1）：设DA=i,DC=j,DD'=k , i，j，k构成空间的一个单位正交基底， EF=D'F-D'E=12i-12j=12i-j CA=DA-DC=i-j EF=12 CA EF CA (向量共线定理) EF/AC解（2）: CE=CC'+C'E=k-12j AG=AD+DG=-i+12kcos CE ,AG=CE,AGCEAG=k-12j -i+12k52×52 =-ki+12k2+12ij-14jk54 =12×1254=25故CE与AG所成角的余弦值为25.四.达标检测（迁移变通、检测实践）1.如图，已知三棱锥O-ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且MG=2GN，若记OA=a，OB=b，OC=c，则OG=( )A. 13a+13b+13cB. 13a+13b+16cC. 16a+13b+13cD. 16a+16b+13c【答案】C 【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把OG用OA，OB和OC线性表示即可【解答】解：如图所示，连接ON，OG=ON+NG，ON=12(OB+OC)，NG=13NM，NM=OM-ON，OM=12OA，OG=ON+NG=ON+13NM=ON+13(OM-ON)=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+13×12OA=16OA+13OB+13OC=16a+13b+13c故选C2.已知空间向量i,j,k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是( )A. 向量i+j+k的模是3B. i+j,i-j,k可以构成空间的一个基底C. 向量i+j+k和k夹角的余弦值为 33D. 向量i+j与k-j共线【答案】BC 【解析】【分析】本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题利用向量的模的性质将i+j+k的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量i+j与k-j的夹角，即可判断选项D【解答】解：对于选项A，因为空间向量i,j,k都是单位向量，且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1，且ij=0,ik=0,jk=0，则|i+j+k|= (i+j+k)2= i2+j2+k2+2ij+2jk+2ik= 3，所以向量i+j+k的模是 3，故选项A错误；对于选项B，因为空间向量i,j,k都是单位向量，且两两垂直，所以i,j,k不共面，而向量i+j,i-j均与i,j共面，所以i+j,i-j与k不共面，则i+j,i-j,k可以构成空间的一个基底，故选项B正确；对于选项C，设i+j+k与k的夹角为，则cos=(i+j+k)k|i+j+k|k|=ik+jk+kk|i+j+k|k|=1 3×1= 33，所以向量i+j+k和k夹角的余弦值为 33，故选项C正确；对于选项D，因为|i+j|= (i+j)2= i2+2ij+j2= 2，同理可得|k-j|= 2，则cos<i+j,k-j>=(i+j)(k-j)|i+j|k-j|=-12，所以向量i+j与k-j的夹角为120°，则向量i+j与k-j不共线，故选项D错误故选：BC3.已知空间四边形ABCD中，AB=b,AC=c,AD=d，若MD=2CM，且BM=xb+yc+zd(x,y,zR)，则y= 【答案】23 【解析】【分析】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题如图所示，BM=BC+CM=-b+23c+13d，与BM=xb+yc+zd(x,y,zR)，比较即可得出【解答】解：如图所示，BM=BC+CM=AC-AB+13CD=AC-AB+13(AD-AC)=-AB+23AC+13AD=-b+23c+13dBM=xb+yc+zd(x,y,zR)，y=23故答案为：234.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a，AC=b，AA1=c(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若BAC=90°，BAA1=CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长【答案】解：(1)BM=2A1M，C1N=2B1N，MA1=13BA1，B1N=13B1C1=13BC，MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+13BC=13(AA1-AB)+AB+13(AC-AB)=13c-a+a+13b-a=13a+13b+13c；(2)a+b+c2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，a+b+c= 5，MN=13a+b+c= 53【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用.(1)由已知条件可得MA1=13BA1，B1N=13B1C1，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出MN=13a+13b+13c即可；(2)求MN的长，即求13a+b+c，利用求向量模的方法，求出a+b+c，即可求得MN的长五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？
