第1章-可靠性与风险分析概述(课堂PPT).ppt

系统可靠性与概率风险分析主讲：谢里阳教授助课：钱文学博士1n用概率的观点看问题不确定性n在系统层面上看问题整体性 概率论是数学科学中应用最广泛的一个分支。概率论是数学科学中应用最广泛的一个分支。概率乃生命之真实向导概率乃生命之真实向导Cicero,106-43BC应用概率论时常能得到有趣、惊人的发现。这些发现通常会对普通和熟应用概率论时常能得到有趣、惊人的发现。这些发现通常会对普通和熟悉的现象有新的解释。概率论使我们以新的方式看待和思考世界。悉的现象有新的解释。概率论使我们以新的方式看待和思考世界。S=klnW-物理概念第一次用几率形式表达出来，意义深远。物理概念第一次用几率形式表达出来，意义深远。序2n第第1 1章可靠性及概率风险分析概述章可靠性及概率风险分析概述 n1.11.1可靠性与安全性可靠性与安全性n可靠性与安全性问题无处不在。美国可靠性与安全性问题无处不在。美国“挑战者挑战者”号和号和“哥伦比亚哥伦比亚”号航天飞机、前苏联切号航天飞机、前苏联切尔诺贝利核电站等事故所引起的严重后果，都足以说明因产品的可靠性差会引起严重安全尔诺贝利核电站等事故所引起的严重后果，都足以说明因产品的可靠性差会引起严重安全问题。而人造卫星、载人宇宙飞船等可靠性技术成功的典范，更说明了高科技的发展要以问题。而人造卫星、载人宇宙飞船等可靠性技术成功的典范，更说明了高科技的发展要以可靠性技术为基础。可靠性技术为基础。n在现代生产中，可靠性与安全性技术已贯穿于产品研制、设计、制造、试验、使用、运输、在现代生产中，可靠性与安全性技术已贯穿于产品研制、设计、制造、试验、使用、运输、保管及维修保养等各个环节。保管及维修保养等各个环节。n风险风险v.s.v.s.可靠性？可靠性？3风险n风险(risk)包括危险(hazard)及其发生的可能性大小这两方面的信息。风险分析是为了回答以下问题：n.有什么危险？n.危险发生的可能性有多大？n.危险出现的后果是什么？4概率风险分析的范围nL1 系统分析nL2 系统、扩散(containment)分析nL3 系统、扩散、后果(consequence)分析5不确定性为了实际应用，不得不偶尔涉足基本原理(philosophy)n概率经典解释、频率解释、主观解释n不确定性偶然不确定性、认识不确定性、参数不确定性、模型不确定性、意志不确定性n概率的不确定性6n产品（零部件、系统）的可靠性：n在规定的条件下，规定的时间内，完成规定功能的能力。在规定的条件下，规定的时间内，完成规定功能的能力。nn规定条件规定条件n“规定的时间规定的时间”是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，产品的可靠是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，产品的可靠性水平会随着使用或贮存时间的增加而降低。因此以数学形式表示的可靠性性水平会随着使用或贮存时间的增加而降低。因此以数学形式表示的可靠性特征量是时间的函数。这里的时间概念不限于一般的时间概念，也可以是产特征量是时间的函数。这里的时间概念不限于一般的时间概念，也可以是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。n“规定功能规定功能”是要明确具体产品的功能是什么，以及怎样才算是完成规定功是要明确具体产品的功能是什么，以及怎样才算是完成规定功能。产品丧失规定功能称为能。产品丧失规定功能称为失效失效，对可修复产品通常称为，对可修复产品通常称为故障故障。7维修性、有用性n机械产品一般是可维修的，要使一台设备发挥更好的机械产品一般是可维修的，要使一台设备发挥更好的作用，不仅要求在单位时间内出现的故障次数少，故作用，不仅要求在单位时间内出现的故障次数少，故障间隔时间长，而且要求维修时间短。障间隔时间长，而且要求维修时间短。n产品的能工作时间与总时间之比称为产品的产品的能工作时间与总时间之比称为产品的有效性有效性，产品的有效性是指可修产品产品的有效性是指可修产品维持其功能的能力维持其功能的能力。8n可靠性是许多领域共同关心的问题可靠性是许多领域共同关心的问题n不同领域的可靠性问题有各自不同的特点不同领域的可靠性问题有各自不同的特点n人的可靠性问题与设备可靠性问题不同人的可靠性问题与设备可靠性问题不同n软件系统的可靠性问题与硬件系统的可靠性问题不同软件系统的可靠性问题与硬件系统的可靠性问题不同n机械系统的可靠性问题与电子系统的可靠性问题也有明显机械系统的可靠性问题与电子系统的可靠性问题也有明显的不同。的不同。9n随着系统的复杂化，可靠性变得更加重要随着系统的复杂化，可靠性变得更加重要:n(1)(1)工程系统日益庞大和复杂。工程系统日益庞大和复杂。n(2)(2)应用环境更加复杂和恶劣。应用环境更加复杂和恶劣。n(3)(3)系统要求的持续无故障任务时间加长。系统要求的持续无故障任务时间加长。n(4)(4)人身安全直接相关。人身安全直接相关。n(5)(5)市场竞争的影响。市场竞争的影响。10n可靠性由可靠性数学、可靠性物理和可靠性工程三部分内容构成。可靠性由可靠性数学、可靠性物理和可靠性工程三部分内容构成。n可靠性数学可靠性数学解决可靠性问题的数学方法及模型。解决可靠性问题的数学方法及模型。n可靠性物理可靠性物理失效现象、失效机理、检测方法等。失效现象、失效机理、检测方法等。n可靠性工程可靠性工程产品的可靠性数据收集与分析、可靠性设计、预测、产品的可靠性数据收集与分析、可靠性设计、预测、试验、管理、控制和评价。试验、管理、控制和评价。n可靠性工程可靠性工程立足于系统工程方法，运用概率论与数理统计等数学工具，研究产品故障，找出薄弱环节，确定提高产品可靠性的途径，并综合地权衡经济、功能等方面的得失，使产品的可靠性达到预期指标。11n（1 1）可靠性管理可靠性管理制定可靠性计划和其它可靠性文件（如可靠性指标等），对生产过程的可靠性进制定可靠性计划和其它可靠性文件（如可靠性指标等），对生产过程的可靠性进行监督，计划评审，建立失效报告、分析和改进系统，收集可靠性数据和进行可靠性教育、培训等。行监督，计划评审，建立失效报告、分析和改进系统，收集可靠性数据和进行可靠性教育、培训等。n（2 2）可靠性设计可靠性设计建立可靠性模型，进行可靠性预计、可靠性分配，以及选择和控制部件指标，确建立可靠性模型，进行可靠性预计、可靠性分配，以及选择和控制部件指标，确定可靠性关键部件等。定可靠性关键部件等。n产品开发设计阶段的主要内容还包括预测设计对象的可靠度、找出并消除薄弱环节、不同设计方产品开发设计阶段的主要内容还包括预测设计对象的可靠度、找出并消除薄弱环节、不同设计方案之间的可靠性指标比较等。案之间的可靠性指标比较等。n（3 3）可靠性试验可靠性试验环境应力筛选试验、可靠性增长试验等。环境应力筛选试验、可靠性增长试验等。n（4 4）可靠性评价可靠性评价对零件及系统的失效模式、影响及危害性分析、故障树分析、概率风险评价等。对零件及系统的失效模式、影响及危害性分析、故障树分析、概率风险评价等。可靠性工程包括：12可靠性工作内容可靠性工作内容策划、设计阶段策划、设计阶段n这个阶段对产品的可靠性有决定性的影响。调查并明确市场的需要，掌握市场使用环境特性是产品设计的前提；设计过程中应综合考虑国家标准法规、用户的需要、工艺、成本等各方面的因素，采用FMECA、FTA、设计评审等方法，并要进行迅速有效的可靠性试验验证，确保产品固有的可靠性。n生产阶段生产阶段n必须在生产阶段对材料的质量，生产过程控制，生产、检验设备，人员培训等进行严格管理，从而避免在策划、设计阶段确定的产品固有可靠性下降。n售后服务售后服务n对售后发生的故障、维修时间及费用等住处必须及时跟踪、调查、反馈；对维修服务人员应定期培训；维修、诊断设备、工具应完备；用户信息反馈系统应及时、准确。131.21.2可靠性工程发展历史可靠性工程发展历史n德国学者最先提出了可靠性问题、Weibull于二十世纪三十年代研究了材料疲劳寿命的概率分布问题。n可靠性学科是第二次世界大战后从电子产品领域发展起来的。在机械工程领域，A.M.Freudenthal于1947年提出了著名的应力-强度干涉模型。至今为止，应力强度干涉模型仍是机械可靠性设计中使用的最基本的模型。n干涉分析的基本思想是，在可靠性设计中，将应力和强度均作为随机变量，这两个随机变量一般有“干涉”区存在。分别用h(s)和f(S)表示它们的概率密度函数，借助于应力-强度干涉分析，可以得出如下形式的零件的可靠度R的计算公式：(1.1)14n1957年，美国电子设备可靠性咨询委员会发表了题为“军用电子设备的可靠性”的电子产品可靠性理论和方法的奠基性文献，标志着可靠性工程已经发展成为一门独立的工程学科。n由此，也决定了传统可靠性理论与方法的基本特点 主要涉及的是具有恒定失效率的二态元件及具有元件独立失效特征的二态系统。n根据传统的观点（假设），系统的可靠度可以通过零件的可靠度计算。15n传统的串联系统的可靠度模型为(1.2)n传统的并联系统的可靠度模型为 (1.3)n式中，Rs为系统可靠度，Ri为零件可靠度，n为系统包含的零件数。n显然，以上系统可靠性模型都隐含着这样一个假定条件：系统中各零件的失效是相互独立的。16n从六十年代开始，应力-强度干涉模型被应用于疲劳强度的可靠性设计中。七十年代，D.Kececioglu 和E.B.Haugen 等人提出了一整套基于干涉模型的疲劳强度可靠性设计方法，并在工程上得到了应用。n材料在循环载荷的长期作用下，强度逐渐衰减。因此，疲劳载荷-疲劳强度干涉模型本质上应该是一个动态概率模型。但当寿命给定时，疲劳强度分布是一定的。这样，就将动态概率模型转变成了静态概率模型。但存在的困难是，给定寿命下的疲劳强度分布难以确定。17n在工程实际应用方面，还有大量问题有待于解决。目前，可靠性工程的研究主要集中于以下方面：n1.1.可靠性基本理论可靠性基本理论n寿命分布形式。n数据统计处理n复杂载荷环境、复杂失效机理下的可靠性模型。n机械系统的可靠性理论。可靠性预测和可靠性分配（可靠性优化设计）问题始终是系统可靠性分析与可靠性设计最为关心的问题。18n2.2.结构系统可靠性结构系统可靠性n在零部件强度可靠性分析方面，已提出了各种各样的方法。但对涉及到复杂承载结构、载荷分担等情形，采用的还都是比较简单、近似的方法，计算精度不是很高。n对机械结构和机械系统的可靠性问题，目前大都是在各元件独立失效的假设条件下进行分析与设计，与真实情况相关较大。n多年来的实践已使人们认识到，要想较为精确地预测结构的可靠性，必须使用系统工程学理论把结构物作为一个系统来看待，使用系统分析的方法进行可靠性分析。由于在方法与模型上还没有做到这一点，目前部件、结构及系统可靠性保证主要还是依靠实验。19n3.3.机构可靠性机构可靠性n实现预期运动和承受或传递动力是机构的两大基本功能，而可靠性正是针对产品功能而言的。因此，根据机构的两大基本功能，可将机构可靠性问题划分为与承载能力相关的可靠性问题和与运动功能相关的可靠性问题，前者一般可归结为机械结构零部件的可靠性问题，目前已有较成熟的方法，后者属于机构功能可靠性问题，仍是目前研究的热点之一。201.3 可靠性学科发展现状n国际著名可靠性专家OConnor指出，目前“大多数已经被发展并且由可靠性和质量专家使用的方法都是容易误导(misleading)和无效的(un-effective)”。这一论断虽然会让很多人感到意外，但的确是在一定程度上反映了目前国际上可靠性理论与方法的发展水平与应用现状。n还有文献也指出，当代的研究者应当以批评的观点去审视上世纪八、九十年代可靠性的发展趋势，尤其要明确什么是理论模型与实际系统之间的差异，怎样去消除它？当代工程系统所面临的挑战是什么？同时强调了在可靠性问题中深入研究载荷环境、失效机理、时间相关等问题的重要性、必要性与复杂性。21系统失效状态与失效类型系统失效状态与失效类型n传统的系统可靠性理论涉及的主要问题是零件及系统完全失效的概率，以及系统失效与零部件（完全）失效之间的逻辑关系。(在表决系统中，关心的是“系统的n个零件中有k个以上零件失效”这样的事件，或一个/多个零件失效后系统可靠性的降低)。n这里，“失效”的含意多是完全失效，很少关注零部件的部分失效对系统功能及可靠性的影响。在结构系统可靠性研究中，对结构系统中部分结构断裂后结构系统中载荷转移和重新分配及相应的可靠性问题进行过较多的研究，但对结构局部的非完全失效（表现形式为出现一定尺寸的裂纹或其它形式的性能指标退化等）本身的概率特性及其对系统可靠性的影响的考虑则较少。n目前，已有越来越多的研究工作涉及到结构/零件或系统的老化问题和模糊性问题、多状态问题，发展了多状态系统可靠性理论。22n在工程实际问题中，绝大部分结构或零部件的失效都有一个过程，都表现出明显的渐变特征，而系统失效表现为多个零件性能变化的集合效应。突变型失效是较少见的，而且大部分所谓的突变失效也都是许多局部失效（反映为渐变过程）累积的结果。n在传统的可靠性研究中，一般是把研究对象看作只有两种状态，即对一个零件或系统来说，或者失效，或者不失效（处于完好状态），这是由于对研究对象的特性过分简化的结果。n究其原因，一方面是由于可靠性理论是以古典概率论为基础的，而古典概型最基本的特征就是二态性和等可能性；另一方面的原因是，由于可靠性研究是从电子产品开始的，关心的主要是电路的“通”或“断”等问题，自然对问题的性质进行了简化和抽象。n还有一个潜在的原因是，“长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里德几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型（绝大多数是线性模型）把问题纳入可以解决的范畴”。231.4 1.4 产品可靠性指标产品可靠性指标n1 1可靠度可靠度n可靠度是产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，记为R(t)。可靠度是时间的函数，故R(t)也称为可靠度函数。若产品寿命t的概率密度函数为f(t)，可靠度函数可用公式表示如下：（t0）（1-4）n显然，可靠度是时间的单调减函数，随着时间t的增加，可靠度函数R(t)单调下降，且有0R(t)1。24n与之对应，产品失效概率F(t)定义为：(1-5)n显然，R(t)F(t)=。n将寿命累积分布函数F(t)对时间t微分，即得到寿命概率密度函数f(t)：（1-6）25n可靠度、失效概率的统计表达式：可靠度、失效概率的统计表达式：n设有n个同一型号的产品（概率意义上相当于属于同一母体），工作到时刻t时有n(t)个失效，则（1-7）（1-8）n将寿命累积分布函数F(t)对时间t微分，即得到寿命概率密度函数f(t)：nf(t)的统计意义可表达为：（1-9）26可靠度计算可靠度计算n零件可靠度“强度应力”的概率n若应力为确定性量，显然有n在应力与强度均为随机变量的情况下，可以定义作为应力随机变量的函数的零件的条件可靠度如下n 27n相应地，可靠度公式 28可靠度可靠度v.s.v.s.应力应力/强度强度回顾：随机变量函数的均值回顾：随机变量函数的均值由概率论可知，随机变量x的数学期望（均值）定义为积分式中，f(x)为x的概率密度函数。如果用条件概率密度函数f(x|M)代替概率密度函数f(x)，则可得到在条件M下，随机变量的条件均值29回顾n对于随机变量x的函数y=g(x),有如下的均值计算公式n或n式中，fy(y)为随机变量y的概率密度函数。302 2失效率失效率n失效率-工作到时刻t时尚未失效的产品，在时刻t以后的单位时间内发生失效的可能性，记为(t)，称为失效率函数，也称为故障率函数或风险函数。n根据定义，(1-10)31n失效率的观测值（平均值）-在时刻t以后的单位时间内发生失效的产品数与工作到该时刻尚未失效的产品数之比 (1-11)n比较：n在失效率为常数的简单情况下，有 失效数/总运行时间(1-11)32n例，100个产品工作到80小时尚有50个未失效，在8082小时又失效4个，则nf(t)=4，ns(t)=50，t=2，故n失效率的单位为单位时间的失效数，即1/h、1/km、1/次等，一般用单位时间的百分数表示，例如/103h，可记为10-5/h、10-9/h。n例如，失效率0.0025/(103h)0.25l0-5/h，表示10万个产品中，每小时只有0.25个产品失效。33n图1-失效率及其在有效寿命期间的均值n平均失效率是指在某一规定时期内失效率的平均值。如图1-所示，在（t1，t2）内失效率的平均值为 （1-12）34n平均失效率的观测值，对于不可修复的产品是指在一个规定的时期内失效数与累积工作时间之比。对于可修复的产品是指某个观测期间一个或多个产品的故障发生次数与累积工作时间之比：(1-13)n式中：r在规定时间内的失效数；t累积工作时间。35n例例：有10个零件在指定运行条件下进行了600小时的试验。零件失效情况如下：零件1于75小时时失效，零件2于125小时时失效，零件3于130小时时失效，零件4于325小时时失效，零件5于525小时时失效。因此，在试验中有5个零件发生了失效，总运行时间为4180小时。平均每小时的失效率为n5/41800.00119636n例例：某系统的运行及故障记录如图所示（在此期间，发生了6次故障）。假设寿命服从指数分布，试计算其失效率。n平均每小时的失效率为：6/1420.04225n图系统的运行情况图示37n失效率(t)与可靠度R(t)、失效概率密度函数f(t)等有以下关系：(1-14)n由于n所以有(t)dt=-dR(t)/R(t)，即 (1-15)n若(t)为常数，则有 (1-16)38n图1-概率密度函数、可靠度与失效率关系图394041n典型的失效率曲线如图1-，传统上根据曲线的形状将其称为“浴盆曲线”。浴盆曲线可以明显地划分为三个范围：早期失效范围、偶然失效范围以及耗损失效范围。图图1-1-典型失效率曲线典型失效率曲线42n(1)(1)淘汰期淘汰期 n在产品投人使用的初期，产品的故障率较高，但表现出迅速下降的特征。n(2)(2)偶然故障偶然故障 n主要是由操作或维护不当等随机因素引起引起的，一般难以事先预料。n(3)(3)耗损期耗损期 n产品的故障主要是由老化、疲劳、磨损、腐蚀等耗损性因素引起的。采取定时维修、更换等预防性维修措施，可以降低产品的故障率，以减少由于产品故障所带来的损失。43n并非所有产品的故障率曲线都可以分出明显的三个阶段。n系统的失效率曲线、电子元件的失效率曲线、机械零件的失效率曲线、软件的失效率曲线各有不同的特征。高质量等级的电子元器件其故障率曲线在其寿命期内基本是一条平稳的直线。而质量低劣的产品可能存在大量的早期故障或很快进人耗损故障阶段。n与之相关的一个问题是，指数分布这个在传统可靠性分析中广泛应用的寿命分布形式的适用范围实际上是很有限的只适用于失效率为常数的情形。44Introduction-Failure raten“零件的缺陷可以通过其强度分布特征反映出来”n零件投入使用的初期失效率下降的规律也是由载荷-强度干涉关系确定的。n在不考虑强度退化的条件下，一个零件一旦经受了某一水平的载荷而没有失效，就意味着其强度大于该载荷。因此，这个零件永远不会在不大于该水平的载荷作用下失效。换句话说，这个零件只可能在大于曾经经历过的载荷水平上失效。n对于一个平稳随机载荷历程而言，随着载荷作用次数的增加，单位时间内出现更大载荷的概率逐渐减小，失效率也自然就随着载荷作用次数的增加而降低。45n动态应力动态应力-强度干涉分析与失效率函数模型强度干涉分析与失效率函数模型46Introductionn失效率通常是借助于以时间为量纲的寿命分布进行描述的。n至于机械零件的典型失效机理，例如变形、断裂、疲劳等，载荷历史或载荷作次数是比时间更直接的物理量。n例如，传统上计算机械零件可靠度 R 的应力-强度干涉模型计算的是载荷一次作用情况下可靠度：47Introduction-Component reliabilityn对于载荷多次作用的情形，零件可靠度计算公式为 48次序统计量与失效率函数方程次序统计量与失效率函数方程n由于零件性能及载荷环境不同，不同零件的失效率函数也大不相同。n零件失效是应力大于强度的反映，零件的失效概率和失效率都应该能够根据应力分布与强度分布计算出来。n借助于次序统计量的概念，失效概率模型及失效率与载荷作用次数的关系都更容易表达。49Failure Rate Functionnn n个来自同一母体的样本个来自同一母体的样本 Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yn n，可以看作是彼此独立的，可以看作是彼此独立的随机变量。该样本的次序统计量随机变量。该样本的次序统计量Y Y(k)(k)表示从小到大排列的第表示从小到大排列的第 k k个样个样本值。本值。n由概率论可知，若母体的概率密度函数为由概率论可知，若母体的概率密度函数为 g(y)g(y)，累积分布函数为，累积分布函数为 G(y)G(y)，则最大次序统计量，则最大次序统计量 Y(n)Y(n)的概率密度函数为：的概率密度函数为：50n应用次序统计量，载荷作用 n 次时的失效概率/可靠度可以表达为51n根据定义，在时刻 t 或第 n 次载荷 Ln 之后的失效率，是在 t 或前 n 次载荷作用下没有失效的产品，在时间 t 之后的单位时间内或载荷 Ln+1作用时的失效概率。n为了根据载荷-强度干涉关系计算失效率，首先需要知道在时刻 t 或第 n 次载荷 Ln 作用后仍存活的产品的强度分布 fs(s)。由此，失效率函数可以表示为 52n通过修正初始强度概率密度函数（以保持其概率之和为1），载荷作用 n 次仍存活的产品的强度概率密度函数为 53n如前所述，n 次载荷中的最大值 xn 也是一个随机变量，可以用最大次序统计量表示，因此有以下失效率方程 54Failure rate functions at different load/strength relationships 55失效率与载荷及强度分布参数之间的关系失效率与载荷及强度分布参数之间的关系n为了展示零件强度分布及载荷分布对失效率的影响，下面就几种典型情况（下表所示的载荷分布与强度分布的组合）下的失效率进行比较。n在这四种组合中，载荷及强度都假设为正态分布。对应的四种失效率函数分别称为“基准失效率函数”、“高载荷分散性”、“高强度分散性”和“较高的载荷与强度分散性”。n结果示于下图中，表明载荷及强度分布及其干涉关系对失效率函数有显著影响。56Table.Parameters for the different load/strength distributionsn y/y x/x y/(x2+y2)1/2nBase line 400/40600/400.707nHigh load std 400/80600/400.894nHigh strength std 400/40600/800.447nHigher load/400/60600/600.707nstrength std57585960n强度退化模式对失效率函数的影响616263The comparison of fitted results with date 64n在产品的寿命指标中，最常用的是平均寿命。对于不可修复的产品，平均寿命是指产品从开始使用到失效这段有效工作时间的平均值，记为MTTF(Mean Time To Failure)。对于可修复的产品，平均寿命指的是平均无故障工作时间，记为MTBF(Mean Time Between Failures)。nMTTFMTTF图示图示MTBFMTBF图示图示MTTFMTBF3.3.平均寿命平均寿命65n平均寿命通常用寿命均值表示，其经验算术平均值由失效时间t1、t2、tn按下式求出：(1-17)n算术均值对与其偏离较大的“离散值”很敏感，也就是说，一个极短的或极长的失效时间会大大地影响均值的大小。n另一个表示平均寿命的参数是中位数tmed。中位数是当失效数正好为总失效数一半时的失效时间。也就是说，中位数将概率密度函数曲线f(t)与横坐标轴围成的面积分成相等的两部分。因此，中位数tmed可以简单地通过失效概率F(t)与时间的关系求出：F(tmed)=0.5 (1-18)n中位数与均值相比最大的优点在于，它对偏离较大的“离散值”很不敏感。一个很小的或很大的失效时间都不会使中位数移动。66n还有一个参数是众数tmod。最常出现的数值称为众数。因此，众数tmod可以从密度函数f(t)中简单求出：tmod是当密度函数最大时的失效时间。n在概率论中，众数具有重要的意义。假如进行一个试验，就可以预料，大多数零件在寿命等于众数时失效。n均值、中位数和众数在一般的非对称分布时各不相同。只有当密度函数曲线完全对称时（正态分布就属于这种情形）这些参数值才相等。概率密度分布及均值、中位数和众数67n平均寿命与其它参数的关系：(1-19)n由于，n即 (1-20)n当产品失效率(t)为常数时，有 (1-21)684.4.寿命方差与标准差寿命方差与标准差n平均寿命是一批产品中各个产品的寿命的平均值。它只能反映这批产品寿命分布的中心位置，而不能反映各产品寿命与此中心位置的偏离程度。n寿命方差和标准差是用来反映产品寿命离散程度的特征值。寿命方差为：(1-22)n寿命标准差为：(1-23)69n可靠寿命是指可靠度为给定值时的工作寿命，用tR表示。n中位寿命是指可靠度50%时的工作寿命，用t0.5表示。n特征寿命是指可靠度e-1时的工作寿命，用表示。n如图所示，可靠度一般随着工作时间t的增大而下降，对给定的不同R，则有不同的t(R)，即tRR-1(R)(1-24)n式中：R-1R的反函数，即由R(t)R反求t。5.5.可靠寿命、中位寿命与特征寿命可靠寿命、中位寿命与特征寿命70n例例 某某产产品品的的失失效效率率为为常常数数，即即，可可靠靠度度函函数数，试求可靠度，试求可靠度R=99%R=99%时的相应寿命时的相应寿命、产品的中位寿命和特征寿命。、产品的中位寿命和特征寿命。n解：解：n由由 n有有 n两边取对数两边取对数 n得可靠度寿命得可靠度寿命 n中位寿命中位寿命 n特征寿命特征寿命 716.6.维修度维修度n产品的维修性可用其维修度来衡量。维修度的定义是“对可维修的产品在发生故障或失效后在规定的条件下和规定的时间(0,)内完成修复的概率”，记为M()。n与维修度相关的特征量还有平均修理时间和修复率。n平均修理时间MTTR(Mean Time To Repair)是指可修复的产品的平均修理时间。n修复率()是指“维修时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率”。727.7.有效度有效度n有效度或称可用度，是指“可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻t具有或维持其功能的概率”。有效度是综合可靠度与维修度的广义可靠性尺度。n有效度A为工作时间对工作时间(MTBF)与维修时间(MTTR)之和的比，当寿命和维修时间均为指数分布时可表达为n式中：为失效率，为修复率。73可靠性杂谈产品全寿命周期可靠性问题74谢谢！本讲结束75