广东深圳2024年高一下学期期末调研考试数学试题含答案.pdf

第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试年深圳市普通高中高一年级调研考试 数学数学 2024.7 本试卷共本试卷共 4 页，页，19 小题，小题，淌分淌分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项注意事项:1.答题前，答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘条形码粘贴处贴处”.2.作答选择题时，作答选择题时，选出每小题答案后，选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑黑:如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上位置上:如需改动，如需改动，先划掉原来的答案，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回将试卷和答题卡一并交回.一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合 11,3,0,1,3AB=,，则 AB=（）A.1,3 B.1,1,3 C.0,1,3 D.1,0,1,3 2.函数()ln2f xxx=+的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3.已知幂函数()f xx=，则“0”是“()f x在()0,+上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量()()2 0,12ab=，若()aba+，则=（）A.1 B.12 C.1 D.2 5.设,m n是两条不同直线，,是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）的 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 A.若/,mn，则/mn B.若/,/m ，则/m C.若,mmn，则/?n D.若,/mm，则 6.已知 ABC 中，22AEAB BMMC=，若 AFxAC=，且 EMF，三点共线，则 x=（）A.23 B.34 C.45 D.56 7.已知正实数,a b 满足 4abab+=，则 ab+最小值为（）A.4 B.9 C.10 D.20 8.已知函数()()()()sin,2,3f xxx afbfcf=，则,a b c的大小关系为（）A.abc B.acb C.bca D.bac 二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题，小题，每小题每小题 6 分，分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，分，部分选对的得部分分，部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分.9.若复数z满足i1 iz=，下列说法正确是（）A.z的虚部为i B.1 iz=+C.2z=D.2z zz=10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A=“第一次的点数不大于 3”，B=“第二次的点数不小于 4”，C=“两次的点数之和为 3 的倍数”，则下列结论正确的是（）A.事件A发生的概率()12P A=B.事件A与事件B相互独立 C.事件 C 发生的概率()13P C=D.事件AB与事件C对立 11.已知正方体 1111ABCDABC D 的棱长为2E，是正方形11ABB A 的中心，F是棱 CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（）A.EF的最小值为5 B.不存在点F，使EF与 11AD所成角等于30 C.二面角EAFB正切值的取值范围为12，D.当F为CD中点时，三棱锥FABE的外接球表面积为254 三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 15 分分.12.已知 1sin,3=则cos2+=_ 的的 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 13.若 1,22x，不等式 210 xax+恒成立，则a取值范围为_.14.已知圆O为ABC的外接圆，,33ABC=，则()AOABAC+的最大值为_.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题，小题，共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，sin3 cos0cAaC+=.（1）求C;（2）若4aABC=，的面积为3，求b和c.16.已知函数()()sin02f xx=+，函数()f x的最小正周期为，且06f=（1）求函数()f x的解析式:（2）求使()210f x 成立的x的取值范围.17.如图，AB 是 O 的直径，2AB=，点 C 是 O 上的动点，PA 平面 ABC，过点 A 作 AEPC，过点 E 作 EFPB，连接 AF.（1）求证：BCAE；（2）求证：平面 AEF 平面 PAB；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45，求四棱锥 AEFBC 的体积.18.某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100 分.参加考核的学生有 40 人，考核得分的频率分布直方图如图所示.的 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 （1）由频率分布直方图，求出图中t值，并估计考核得分的第 60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在)70,90内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自)70,80和)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在)70,80内的平均数为 75，方差为 6.25，在)80,90内的平均数为 85，方差为 0.5，求得分在)70,90内的平均数和方差.19.已知函数()yf x=为R上的奇函数.当01x时，()23f xaxxc=+(ac，为常数)，()11f=.（1）当1122x时，求函数()2f xy=的值域:（2）若函数()yf x=的图像关于点()1,1中心对称.设函数()()g xf xxx=R，求证:函数()g x为周期函数;若()94188f x对任意,xm n恒成立，求nm的最大值.的 第1页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试年深圳市普通高中高一年级调研考试 数学数学 2024.7 本试卷共本试卷共 4 页，页，19 小题，小题，淌分淌分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项注意事项:1.答题前，答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘条形码粘贴处贴处”.2.作答选择题时，作答选择题时，选出每小题答案后，选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑黑:如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上位置上:如需改动，如需改动，先划掉原来的答案，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回将试卷和答题卡一并交回.一、选择题一、选择题:本题共本题共 8 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合 11,3,0,1,3AB=,，则 AB=（）A.1,3 B.1,1,3 C.0,1,3 D.1,0,1,3【答案】D【解析】【分析】根据并集含义即可得到答案.【详解】根据并集含义知1,0,1,3AB=，故选：D.2.函数()ln2f xxx=+的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】B【解析】的 第2页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可【详解】函数()ln2f xxx=+的定义域为()0,+，函数()f x在()0,+上单调递增，又()1ln1 1 210f=+=，根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为()1,2 故选：B.3.已知幂函数()f xx=，则“0”是“()f x在()0,+上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案.【详解】当“0”时，根据幂函数性质知()f xx=在()0,+上单调递增，则充分性成立；反之，若“()f xx=在()0,+上单调递增”则“0”，必要性也成立，故“0”是“()f x在()0,+上单调递增”的充分必要条件，故选：C.4.已知向量()()2 0,12ab=，若()aba+，则=（）A.1 B.12 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()()()2 01221,2ab+=+=+，,因为()aba+，则()0aba+=，即()2 210+=，于是 12=.故选：B.5.设,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若/,mn，则/mn B.若/,/m ，则/m 第3页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 C.若,mmn，则/?n D.若,/mm，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项 A，B，C 的正误；对于选项 D，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项 D 的正误.【详解】对于选项 A，如图，在正方体中，取面ABCD为平面，直线11AB为直线m，直线BC为直线n，显然有/,mn，但m不平行n，所以选项 A错误，对于选项 B，如图，在正方体中，取面ABCD为平面，直线11AB为直线m，面1111DCBA为平面，有/,/m，但m，所以选项 B错误，对于选项 C，取面ABCD为平面，直线1A A为直线m，直线BC为直线n，因为n ，显然有,mmn，但n ，所以选项 C错误，对于选项 D，因为/m，在内任取一点P，过直线m与点P确定平面，则l=，由线面平行的性质知/ml，又m，所以l，又l，所以，所以选项 D 正确，故选：D.6.已知 ABC 中，22AEAB BMMC=，若 AFxAC=，且 EMF，三点共线，则 x=（）A.23 B.34 C.45 D.56【答案】C【解析】【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可.第4页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为2,BMMC=所以1233AMABAC=+，2,AEAB AFxAC=,因为,E M F三点共线，所以,1AMAEAF=+=,12233ABACABx AC+=+,所以112,36=524,635x=.故选：C.7.已知正实数,a b 满足 4abab+=，则 ab+的最小值为（）A.4 B.9 C.10 D.20【答案】B【解析】【分析】方程4abab+=两边同时除以ab得141ba+=，利用“1代换”即可求解.【详解】,a b为正实数，方程4abab+=两边同时除以ab得141ba+=，()14444 1259ababbabbaaabab+=+=+=，当且仅当14ba=即82ab=时等号成立，故ab+的最小值为9.故选：B.8.已知函数()()()()sin,2,3f xxx afbfcf=，则,a b c的大小关系为（）A.abc B.acb C.bca D.bac【答案】A 的 第5页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得()f x的单调性，即可得解.【详解】由Rx，()()()sinsinfxxxxxf x=+=，故()f x为奇函数，则()()33cff=，322，函数sinyx=在,2上单调递减，故()sinf xxx=在,2上单调递增，则()()()32fff.故选：A.二、选择题二、选择题:本题共本题共 3 小题，小题，每小题每小题 6 分，分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中，在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，分，部分选对的得部分分，部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分.9.若复数z满足i1 iz=，下列说法正确的是（）A.z的虚部为i B.1 iz=+C.2z=D.2z zz=【答案】BC【解析】【分析】根据复数的乘除法运算、复数虚部、共轭复数的概念以及复数模的计算公式一一分析即可.【详解】()2i 1 i1 i1 iiiz=，则其虚部为1，故 A 错误；|2|z=，1 iz=+，故 BC正确；()()1 i1 i2z z=+=，而()221 i2iz=，则两者不等，故 D错误.故选：BC.10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A=“第一次的点数不大于 3”，B=“第二次的点数不小于 4”，C=“两次的点数之和为 3 的倍数”，则下列结论正确的是（）A.事件A发生的概率()12P A=B.事件A与事件B相互独立 C.事件 C 发生的概率()13P C=D.事件AB与事件C对立【答案】ABC【解析】【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项 A，C，由相互独立事件的定义即可求解选项 第6页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 B，由对立事件的定义分析选项 D.【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子 2 次，记录每次朝上的点数，则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36不同结果，即()36n =，对于 A，事件A包含的样本点有18种，故()181()()362n AP An=，故 A 正确；对于 B，事件B包含的样本点有18种，故()181()()362n BP Bn=，事件AB包含的样本点有9种，故()91()()364n ABP ABn=，因为()()()P A P BP AB=，所以事件,A B相互独立，故 B正确；对于 C，事件C包含的样本点有12种，故()121()()363n CP Cn=，故 C 正确；对于 D，事件C与事件AB有重复的样本点(1,5),(2,4),(3,6)，故事件AB与事件C不对立，故 D错误.故选：ABC.11.已知正方体 1111ABCDABC D 的棱长为2E，是正方形11ABB A 的中心，F是棱 CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（）A.EF的最小值为5 B.不存在点F，使EF与 11AD所成角等于30 C.二面角EAFB正切值的取值范围为12，D.当F为CD中点时，三棱锥FABE的外接球表面积为254 第7页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD【解析】【分析】对于 A，直接找出最近距离为F为CD中点，计算即可；对于 B，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于 C，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于 D，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可【详解】对于 A，EF最小值时，F为CD中点.作个草图，取AB中点M，连接FM 此时225EFEMFM=+=，故 A正确 设EF与11AD所成的角为，当F与C重合时，()max2tan2BEBC=，当FCD中点时，()min1tan2EMFM=则存在点 F，使3tan3=.即存在点F，使EF与 11AD 所成角等于 30.故 B 错误 如图，过AB中点M作MHAF于H，则EHM为二面角EAFB的平面角，因此1tan1,2EMEHMHMHM=，故 C正确 在 第8页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 设三棱锥FABE的外接球的球心为O，显然FM 平面ABE，ABE为等腰直角三角形，外心为 M，则 O 可以由 M 沿着MF方向移动即可,O 一定在MF上 F为CD中点时，半径OFOAR=，于是2OMR=在OMA中有()22221RR+=，解得54R=，于是球O表面积为22544SR=.故 D正确 故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题.三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题，小题，每小题每小题 5 分，分，共共 15 分分.12.已知 1sin,3=则cos2+=_【答案】13【解析】【分析】由诱导公式求解即可.【详解】由诱导公式可得：1cossin23+=，故答案为：13.13.若 1,22x，不等式 210 xax+恒成立，则a的取值范围为_.【答案】5,)2+【解析】【分析】分离参数得1axx+，令1()f xxx=+，求出函数在1,22上的最大值即可求解.【详解】1,22x，不等式 210 xax+恒成立，则21xax+，即1,22x，1axx+恒成立，第9页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 令1()f xxx=+，由图知()f x在1,12上单调递减，在1,2上单调递增，又115()(2)2222ff=+=，故max5()2f x=，则52a.故答案为：5,)2+.14.已知圆O为ABC的外接圆，,33ABC=，则()AOABAC+的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取BC的中点D，连接OD，则12OD=，变形得到()22AOABACAOOD+=+，当,A O D三点共线时，AO OD 取得最大值，求出答案.【详解】设圆O的半径为R，则322i3sins nBCRA=，解得1R=，因为,33ABC=，所以23BOC=，取BC的中点D，连接OD，则3BODCOD=，故12OD=，()()()2AOABACAOOBOAOCOAAOOBOCOA+=+=+()2222AOOBOCOAAOOD=+=+，第10页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 当,A O D三点共线时，AO OD 取得最大值，最大值为11122=，故()22AOABACAOOD+=+的最大值为123+=.故答案为：3 四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题，小题，共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，sin3 cos0cAaC+=.（1）求C;（2）若4aABC=，的面积为3，求b和c.【答案】（1）23 （2）1b=，21c=【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到tan3C=，则23C=；（2）根据三角形面积公式即可得b值，再利用余弦定理即可得到c值.【小问 1 详解】由正弦定理：sinsinsinabcABC=，那么sinsin3sincos0CAAC+=，由于sin0A，则sin3cos0CC+=，则tan3C=，且(0,)C，故23C=.【小问 2 详解】由于113sin43222ABCSabCb=，则1b=，根据余弦定理：2222212cos412 4 1212cababC=+=+=，那么21c=.16.已知函数()()sin02f xx=+，则2=，又06f=，即2,Z6kk+=，即,Z3kk=+，又2，则3=，即()sin 23f xx=；【小问 2 详解】若()210f x ，即1sin 232x，即有52 22,Z366kxk k+，即7Z412,kxk k+，故x的取值范围为7Z412,kxk k+.17.如图，AB 是 O 直径，2AB=，点 C 是 O 上的动点，PA 平面 ABC，过点 A 作 AEPC，过点 E 作 EFPB，连接 AF.的 第12页/共17页 学科网（北京）股份有限公司（1）求证：BCAE；（2）求证：平面 AEF 平面 PAB；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45，求四棱锥 AEFBC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5 218.【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.【小问 1 详解】由于AB为圆O的直径，所以BCAC，因PA 平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，又因为,PAACA=PAAC，平面PAC，所以BC平面PAC，又因为AE 平面PAC，所以BCAE;【小问 2 详解】由（1）得，BCAE，PCAE，且,PCBCC=PCBC，平面PBC，所以AE平面PBC，又由于PB 平面PBC，那么AEPB，又因为EFPB，AEEFE=，AEEF，平面AEF，所以PB 平面AEF，又由于PB 平面PAB，那么平面PAB 平面AEF；【小问 3 详解】由（2）可知：AE平面PBC，而直线PA与平面PBC所成角为45，那么45APE=，且90CAPAEP=，所以45PCAPAECAE=且2ACBC=，那么2,1,6,PAACAEPEECPB=在PAB中，1122AF PBPA AB=，得2 33AF=，为 第13页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 所以222263,33PFPAAFEFPEPF=那么11136213323318P AEFA PEFPEFVVAE S=，112222323P ABCV=，则225 231818A EFBCV=.18.某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100 分.参加考核的学生有 40 人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第 60 百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在)70,90内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自)70,80和)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在)70,80内的平均数为 75，方差为 6.25，在)80,90内的平均数为 85，方差为 0.5，求得分在)70,90内的平均数和方差.【答案】（1）0.030t=，85 （2）35 （3）得分在70,90)内的平均数为 81，方差为 26.8.【解析】【分析】（1）首先根据频率和为 1求出0.03t=，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【小问 1 详解】第14页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 由题意得:10(0.01 0.0150.0200.025)1t+=，解得0.03t=，设第 60百分位数为x，则0.01 100.015 100.02 100.03(80)0.6x+=，解得85x=，第 60百分位数为 85.【小问 2 详解】由题意知，抽出的 5 位同学中，得分在70,80)的有85220=人，设为A、B，在80,90)的有125320=人，设为a、b、c.则样本空间为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),()10A BA aA bA cB aB bB ca ba cb cn=.设事件M=“两人分别来自70,80)和80,90)，则(,),(,),(,),(,),(,),(,),()6MA aA bA cB aB bB cn M=，因此()63()()105n MP Mn=，所以两人得分分别来自70,80)和80,90)的概率为35.【小问 3 详解】由题意知，落在区间70,80)内的数据有40 10 0.028=个，落在区间80,90)内的数据有40 10 0.0312=个.记在区间70,80)的数据分别为128,x xx，平均分为x，方差为2xs；在区间80,90)的数据分别为为1212,y yy，平均分为y，方差为2ys；这 20 个数据的平均数为z，方差为2s.由题意，2275,85,6.25,0.5xyxyss=，且8121111,812ijijxx yy=，则8128 75 12 85812020 xyz+=.根据方差的定义，()()()()812812222221111112020ijijijijsxzyzxxxzyyyz=+=+()()()()88812121222221111111()2()()2()20iijjiiijjjxxxzxzxxyyyzxzyx=+第15页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 由()()881212111180,120iijjiijyxxxxyyyy=，可得()()8812122222211111()()20ijiijjsxxxzyyyz=+2222188()1212()20 xysxzsyz=+222223()()55xysxzsyz=+22236.25(7581)0.5(8581)26.855=+=故得分在70,90)内的平均数为 81，方差为 26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可.19.已知函数()yf x=为R上的奇函数.当01x时，()23f xaxxc=+(ac，为常数)，()11f=.（1）当1122x时，求函数()2f xy=的值域:（2）若函数()yf x=的图像关于点()1,1中心对称.设函数()()g xf xxx=R，求证:函数()g x为周期函数;若()94188f x对任意,xm n恒成立，求nm的最大值.【答案】（1）1,22 （2）证明见解析；1322+【解析】【分析】（1）代入(0)0f=，(1)1f=，得到2()23,01f xxxx=+，再二次性质求出当1122x时，()1,1f x ，最后根据复合函数单调性得1,22；（2）运算得(2)()2f xf x+=，则可证明(2)()g xg x+=；求出1 1(),21,21,2 2f xxxkkk +Z，然后转化为求n最大，m最小即可.【小问 1 详解】由于函数()f x为R上奇函数，那么(0)0f=，且(1)1f=，第16页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 则(0)0(1)31fcfac=+=，则02ca=，则2()23,01f xxxx=+；那么239()248f xx=+，由10,2x，则()0,1f x，而函数()f x为奇函数，那么1,02x 时，()1,0)f x ，综上所述:当1122x时，()1,1f x ，由复合函数单调性可知:则()12,22f xy=.【小问 2 详解】由于()()fxf x=，且()(2)2fxfx=+，由于()(2)2f xfx=+，则(2)()2f xf x+=，那么(2)(2)(2)()2(2)()()g xf xxf xxf xxg x+=+=+=，则()g x为R上周期为 2 的函数.由（1）可知，当0,1x时，22111()2220,222g xxxx=+=+，1,0)x 时，1(),02g x，那么21,2),xkk kZ时，1(),02f xx ；2,21,xkkk+Z时，1()0,2f xx；那么1 1(),21,21,2 2f xxxkkk +Z；若nm要最大，仅需n最大，m最小，从而考虑如下临界：由于941()88f x，令1928x+=，则138x=，此时(2,1)x；14145,(5,6)288xxx=；第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 当(2,1)x 时，2(0,1)x+，2(2)(2)(2)2(2)3(2)(2)()()g xf xxxxxg xf xx+=+=+=，那么2()254,(2,1)f xxxx=，令2952254,84xxx=（524x+=舍去）；同理，(5,6)x时，6(1,0)x ，2(6)(6)(6)2(6)3(6)(6)()()g xf xxxxxg xf xx=+=，那么2()22160,(5,6)f xxxx=+，令24121222160,84xxx+=（2124x=舍去）；从而21252,44nm+，那么nm的最大值为262 213242+=.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出1 1(),21,21,2 2f xxxkkk +Z，再求出,m n的临界值即可.