广东茂名2024年高二下学期期末数学试卷含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年茂名市普通高中高二年级教学质量监测年茂名市普通高中高二年级教学质量监测 数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 4 页，页，19 题题.全卷满分全卷满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的）1.已知集合104xAxx+=，则AB=（）A.()0,1 B.()0,4 C.()1,0 D.()4,0 2.复数i1 i=z（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数()lnf xxx=的图象大致为（）A.B.C.D.第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 4.已知直线220 xy+=与抛物线C：24yx=交于,A B两点，则AB=（）A.5 B.5 C.3 5 D.4 5 5.已知一个等差数列项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是（）A.43 B.45 C.47 D.49 6.已知函数()2211xf xx=+，则不等式()()211fxf x，02”，B=“mn为偶数”，C=“mn+为奇数”，则（）A ()16p A=B.()15p A B=C.()19p A C=D.B与C互斥 11.已知函数()3233af xxaxaxb=+，其中实数a，bR，且0a，则（）A 当1a=时，()f x没有极值点 B.当()f x有且仅有 3个零点时，5,93ba C.当113ba=时，()1f x+为奇函数 D.当,3amb+时，过点()0,Am作曲线()f x的切线有且只有 1条 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知圆锥的底面直径为2 2，母线长为 2，则此圆锥的体积是_.13.已知数列1na 是首项为23，公比为13的等比数列，且123100naaaa+，0b）的左、右焦点分别为1F，2F.过点2F的直线与y轴交于点B，与E交于点A，且2232F BF A=，点1F在以AB为直径的圆上，则E的渐近线方程为_.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，正三棱柱111ABCABC中，D为BC边的中点.第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：1/AB平面1ADC；（2）若2AB=，三棱锥1CADC的体积为33，求二面角1DACC的余弦值.16.已知函数()()ln1f xxax=+，aR.（1）若()f x在点()1,1处的切线的斜率为 1，求()f x的极值；（2）若1a=，证明：当01x时，()f xx）的一个顶点为()0,1A，离心率为32.（1）求E的方程；（2）设()1,0M，直线xn=（nR且1n ）与E交于不同的两点B，C，若直线BM与E交于另一点D，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.19.某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第 1次答题时，若答对则得 2分，否则得 1 分；从第 2 次答题开始，若答对则获得上一次答题得分2倍，否则得 1分，该同学每次答对的概率都为13，答错的概率都为23，且每次答对与否相互独立.记第n次答题得分为nX.（1）求()34p X=；（2）求nX（2n）的分布列和期望；（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，从第 2次开始，若第n次得分刚好为n时，则该同学获得胜利，游戏结束.从第 1次开始，若第n次得分刚好为2n时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有 4 次的的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 2024 年茂名市普通高中高二年级教学质量监测年茂名市普通高中高二年级教学质量监测 数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 4 页，页，19 题题.全卷满分全卷满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）是符合题目要求的）1.已知集合104xAxx+=，则AB=（）A.()0,1 B.()0,4 C.()1,0 D.()4,0【答案】B【解析】【分析】求出集合A，根据集合的交集运算进行求解.【详解】由题可得10|144xAxxxx+=，则()0,4AB=，故选：B 2.复数i1 i=z（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【详解】1izi=(1)11222iii+=+,对应点为1 1(,)2 2,位于第二象限,选 B.3.函数()lnf xxx=的图象大致为（）第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除 C,D，在根据01x时，()0f x 排除 B,进而得答案.【详解】因为()()lnlnfxxxxxf x=，所以()f x是奇函数，排除 C，D.当01x时，ln0 x，()0f x，排除 B.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知直线220 xy+=与抛物线C：24yx=交于,A B两点，则AB=（）A.5 B.5 C.3 5 D.4 5【答案】B【解析】【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案.【详解】将220 xy+=与抛物线2:4C yx=联立得2310 xx+=，第3页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 设()()1122,A x yB xy，显然抛物线焦点坐标为()1,0，令1x=，即220y+=，则0y=，则直线过焦点，则12325ABxxp=+=+=.故选：B.5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是（）A.43 B.45 C.47 D.49【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质与其前n项和的性质求解即可.【详解】设该等差数列中有()*21,1,nnn+N项，其中偶数项有n项，奇数项有1n+项，设等差数列 na的前n项和为nS，则()12113521222462122nnnnaanSaaaaaaSaaaan+=+奇偶，na为等差数列，12122nnaaaa+=+，1264253SnSn+=奇偶，解得23n=，2147n+=，此数列的项数是47项.故选：C.6.已知函数()2211xf xx=+，则不等式()()211fxf x，解出即可.【详解】由221()1xf xx=+可得xR且()()222211()11xxfxxx=+，则()f x偶函数，为 第4页/共19页 学科网（北京）股份有限公司()222221212()1111xxf xxxx+=+，因为21yx=+在(,0)上单调递减，在(0,)+上单调递增，则210yx=+恒成立，则()f x在(0,)+单调递减，在(,0)单调递增，(21)(1),|21|1|fxf xxx，解得0 x.故选：D.7.函数()()2sinf xx=+，（0，02）满足()01f=，且()yf x=在区间,03上有且仅有 3个零点，则实数的取值范围为（）A.()5,7 B.11,82 C.13 19,22 D.)4,8【答案】C【解析】【分析】代入()01f=解出6=，再利用整体法得到(3,236+，解出即可.【详解】(0)2sin1,0,26f=，则,636 6x+因为()yf x=在区间,03上有且仅有 3个零点，且sinyx=在零点 0 之前的三个零点依次为3,2,，则(3,236+，解得13 19,22.故选：C.8.如图，棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中，1BPBB=，1BQBC=，()0,1，则下列说法不正确的是（）第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.=时，11/BC平面1D PQ B.12=时，四面体1APQD的体积为定值 C.12=时，()0,1，使得1AQ 平面1D PA D.若三棱锥PCBD的外接球表面积为414，则34=【答案】C【解析】【分析】利用线面平行的判定推理判断 A；由线面平行确定点Q到平面1AD P的距离是定值判断 B；由空间向量数量积的运算律计算判断 C；求出外接球半径计算判断 D.【详解】对于 A，当=时，1111()PQBQBPBCBBBC=，即11/PQBC，而PQ 平面1D PQ，11BC 平面1D PQ，因此11/BC平面1D PQ，A 正确；对于 B，正方体1111ABCDABC D中，当12=时，1AD P面积是定值，又11/BCAD，1AD 平面1AD P，1BC 平面1AD P，则1/BC平面1AD P，于是点Q到平面1AD P的距离是定值，因此四面体1APQD的体积为定值，B正确；对于 C，当12=时，11111111()222AQBQBABCBABBBABBBC=+=+，而1APBPBABBBA=，则11111()()22AQ APBABBBCBBBA=+22114202BBBA=+=，因此1AQ不垂直于AP，不存在(0,1)，使得1AQ 平面1D PA，C错误；对于 D，显然BP 平面ABCD，则三棱锥PCBD与以线段,BA BC BP为棱的长方体有相同的外接球，令球半径为R，则2222222(2)22R=+=+，第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 球的表面积224144(2)4SR=+=，解得34=，D 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解.二、选择题（本题共二、选择题（本题共 3小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9.已知向量a，b不共线且0a b=，则下列结论一定正确的是（）A.0a=或0b=B.ab C.abab+=D.a，b在ab+上投影向量相等【答案】BC【解析】【分析】根据向量垂直的向量表示即可判断 AB；根据向量加减法的几何意义或者根据向量数量积的运算律即可判断 C；举出反例即可判断 D.【详解】对 AB，0,a bab=，A选项错误；B选项正确；对 C，由向量加法和减法的几何意义，|,|abab+是矩形的两条对角线长度是相等的，选项 C正确；或者由0a b=，则222222aaa bba bb=+，则()()22abab+=，则()()22abab+=，则abab+=，故 C 正确；对 D，根据矩形性质知a，b在ab+上在ab+上的投影向量的模不一定相等，如图所示：,OAa OBb OCab=+，且ab，a，b在ab+上的投影向量分别为,OD OE ，故 D选项错误.故选：BC.10.掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为m，n，记事件A=“9mn+”，B=“mn为偶数”，C=“mn+为奇数”，则（）的 第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.()16p A=B.()15p A B=C.()19p A C=D.B与C互斥【答案】AC【解析】【分析】列出所有满足题意的情况，根据古典概型公式即可判断 A；求出事件B，AB，AC的情况，再利用条件概率公式即可判断 BC；再根据互斥事件的判定方法即可判断 D.【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有 36 种.对 A，事件A=“9mn+”的可能结果有 6 种，即()()()()()()()614,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6,366Ap A=，选项 A正确；对 B，事件B=“mn为偶数”的可能结果有11113633CCCC27+=种，事件AB=“mn为偶数且9mn+”的可能结果有 5种，()5(|)()27p ABp A Bp B=，选项 B 错误；对 C，事件C=“mn+为奇数”的可能结果有111233C C C=18种，事件AC=“mn+为奇数且9mn+”的可能结果有 2种.()()21(|)189P ACp A CP C=，选项 C 正确；对 D，样本点为(3,4)时，说明B与C不互斥，选项 D 不正确.故选：AC.11.已知函数()3233af xxaxaxb=+，其中实数a，bR，且0a，则（）A.当1a=时，()f x没有极值点 B.当()f x有且仅有 3个零点时，5,93ba C.当113ba=时，()1f x+为奇函数 D.当,3amb+时，过点()0,Am作曲线()f x的切线有且只有 1条【答案】BCD【解析】【分析】对 A，直接代入求导即可得到其极值点；对 B，求导得到()f x的单调性，再根据其零点个数得到 第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 不等式组，解出即可；对 C，代入113ba=，化简()1f x+即可；对 D，设切点，求出切线方程，代入()0,Am，再转化得13mba，转化为直线mbya=与()0g x的交点个数问题.【详解】对 A，当1a=时，321()33f xxxx=+b，则2()23(3)(1)fxxxxx=+，当13x 时，()0fx，当1x 或3x，所以1,3xx=分别是函数()f x的极大值点和极小值点，选项 A 错误；对 B，当32()33af xxaxaxb=+时，()(1)(3)fxa xx=+，当13x，()0fx，当1x 时，()0fx，即()f x在(1,3)上单调递减，在(,1)和(3,)+上单调递增.当()f x有且仅有 3个零点时，(1)0f 且(3)0f 09+0，得5,93ba，故 B 正确；对 C，当113ba=时，()3211333af xxaxaxa=+，()()()32311(1)11314333aaf xxa xa xaxax+=+=，设()343ah xxax=，定义域为R，且()()()()334433aahxxaxxaxh x=，所以(1)f x+为奇函数，选项 C 正确；对 D，(0)3afbbm=+，(0,)Am不在曲线()f x上.设过点(0,)Am的曲线()f x切线的切点为320000,33axxaxaxb+，(0)fb=，过点(0,)Am的曲线()f x切线的方程为()()3220000003233ayxaxaxbaxaxaxx+=，又点(0,)Am在()f x切线上，有()3220000003233amxaxaxbaxaxa x+=，即230023mbxxa=，设()232300022,()33g xxxg xxx=，2()222(1)g xxxxx=，的 第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 当0 x 时，()0,()g xg x单调递减，当01x单调递增，则()1(1)3g xg=极大值，()(0)0g xg=极小值，3+,+,13，根据图象知()g x与mbya=只有一个交点，选项 D 正确.故选；BCD.【点睛】关键点点睛：本题 D 选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将(0,)Am代入切线方程得230023mbxxa=，最后转化为直线mbya=与函数()g x的交点个数问题.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.已知圆锥的底面直径为2 2，母线长为 2，则此圆锥的体积是_.【答案】2 23【解析】【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案.【详解】记圆锥的底面半径为r，母线为l，高为d，则22222(2)2dlr=，212 233Vrd=，故答案为：2 23.13.已知数列1na 是首项为23，公比为13的等比数列，且123100naaaa+=+，所以使得123100naaaa+，0b）的左、右焦点分别为1F，2F.过点2F的直线与y轴交于点B，与E交于点A，且2232F BF A=，点1F在以AB为直径的圆上，则E的渐近线方程为_.【答案】2 55yx=【解析】【分析】设22AFm=，则2113,22BFmBFAFam=+，利用勾股定理得到 am=，则得到124cos5F AF=，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可.【详解】依题意，设22AFm=，则2113,22BFmBFAFam=+，因为点1F在以AB为直径的圆上，则190AF B=，在 Rt1ABF中，2229(22)25mamm+=，则(3)()0am am+=，故am=或3am=(舍去)，所以12214,2,3AFa AFa BFBFa=，则|5ABa=，故11244cos55AFaF AFABa=，所以在12AFF中，12cosF AF=222164442 425aacaa+=，整理得2259ca=，则()22259aba+=，则2254ba=，则2245ba=，第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 故E的渐近线方程为2 55yx=.故答案为：2 55yx=.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到124cos5F AF=，最后再利用余弦定理得到齐次方程，四、解答题（本题共四、解答题（本题共 5小题，共小题，共 77分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，正三棱柱111ABCABC中，D为BC边的中点.（1）证明：1/AB平面1ADC；（2）若2AB=，三棱锥1CADC的体积为33，求二面角1DACC的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）155【解析】【分析】（1）证明1/DEAB，利用线面平行判定即可证明；（2）利用等体积法求出12CC=，再建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用面面角的夹角公式即可.的 第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】连接1AC，与1AC交于点E，连接DE，,D E分别为1,BC AC边的中点，1/DEAB；又DE平面11,ADC AB 平面1ADC，1/AB平面1ADC.【小问 2 详解】11113ADCCADCCADCVVCCS=三棱锥三棱锥 1133,2323CCCC=，正三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC，1BBAD，又ABC是正三角形，D是BC边的中点，BCAD，又1BCBBB=，且1,BC BB 平面11BBC C，AD平面11BBC C，取11BC的中点1D，则1,DC DA DD两两垂直，故以D为原点，1,DA DB DD分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系；则1(0,0,0),(3,0,0),(0,1,2),(0,1,0)DACC，11(3,0,0),(0,1,2),(0,0,2),(3,1,0)DADCCCCA=，记平面1DAC，平面1AC C的法向量分别为()()11112222,nx y znxyz=，则11100DA nDC n=，21200CA nCC n=，即11130200 xyz=+=，2222030zxy=+=，故可取121,1zx=，则12(0,2,1),(1,3,0)nn=，1212122 315cos,552n nn nn n=，第13页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 又二面角1DACC所成的平面角是锐角，故其余弦值为155.16.已知函数()()ln1f xxax=+，aR.（1）若()f x在点()1,1处的切线的斜率为 1，求()f x的极值；（2）若1a=，证明：当01x时，()f xx可得()g x单调性，结合()g x在01xxafxxxx，若()f x在点()1,1处的切线的斜率为 1，则()111fa=+=，解得0a=，所以()ln1f xxx=+，()()ln10fxxx=+，令()ln10fxx=+=，解得1ex=，当10ex时，()0fx时，0fx，所以()f x单调递增，所以()f x在1ex=有极小值，为1111ln11eeee=+=+f，无极大值；的 第14页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】若1a=，则()()1 ln1=+f xxx，令()()g xf xx=，所以()11ln1ln+=+=+xgxxxxx，令()()1ln=+h xgxxx，则()22111xh xxxx=，当01x时，()0h x=，即()0gx，所以()g x在()0,1x上单调递增，所以()()12ln1 1 10=+=g xg，可得()()0=g xf xx，即()f xx.17.锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32 sin3bcA=+.（1）求角C的大小；（2）若73ac=，求11tantanAB+的值.【答案】（1）3C=（2）7 39【解析】【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式展开化简即可得到tan3C=，则得到角C的大小；（2）记3am=，则7cm=，再利用余弦定理得bm=或2bm=，再分类讨论即可.【小问 1 详解】由正弦定理得：133sin2sinsincossinsin3sincos22BCAACACA=+=+，3sin3sin()3sincos3sincosBACACCA=+=+，sinsin3sincosCAAC=，又sin0A，第15页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 tan3C=，又(0,),3CC=.【小问 2 详解】记3am=，则7cm=；由余弦定理222cos2abcCab+=，即22219726mbmmb+=，bm=，或2bm=，bm=时，角A对的边最大，且2221 791cos022 72 7bcaAbc+=，符合.又273 213 21(0,),sin1,tan3 314147AAA=；2229742 7cos276 7acbBac+=，又(0,)B，22 721213sin1,tan7722 7BB=，11127 3tantan93 33AB+=+=.18.已知椭圆E：22221xyab+=（0ab）的一个顶点为()0,1A，离心率为32.（1）求E的方程；（2）设()1,0M，直线xn=（nR且1n ）与E交于不同的两点B，C，若直线BM与E交于另一点D，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2214xy+=；（2）过定点，定点坐标为(4,0).【解析】【分析】（1）首先得到1b=，再根据离心率和,a b c关系即可得到方程组，解出即可；第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司（2）设直线BM的方程为()()()1122111,xmyB x yD xyC xy=，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算直线CD的方程，令0y=化解即可.【小问 1 详解】由题意可得，1b=，又由22112acca=+=，得2,3ac=，所以E的方程为2214xy+=.【小问 2 详解】显然直线BM的斜率不为 0，设直线BM的方程为()()()1122111,xmyB x yD xyC xy=，由22114xmyxy=+=消去x整理得()224230mymy+=，()()222,(2)4 4(3)1630mmmm=+=+R，所以12122223,44myyyymm+=+，直线CD的方程为()122212yyyxxyxx=+，根据BC的对称性可知，若直线CD恒过定点，则定点在x轴上，令0y=，解得()212122121212yxxx yx yxxyyyy+=+=+()()12211212121121myymyymy yyyyy+=+223241424mmmm+=+所以直线CD过定点(4,0).第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再写出直线CD的表达式，令0y=计算x为定值即可.19.某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第 1次答题时，若答对则得 2分，否则得 1 分；从第 2 次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的 2 倍，否则得 1分，该同学每次答对的概率都为13，答错的概率都为23，且每次答对与否相互独立.记第n次答题得分为nX.（1）求()34p X=；（2）求nX（2n）的分布列和期望；（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，从第 2次开始，若第n次得分刚好为n时，则该同学获得胜利，游戏结束.从第 1次开始，若第n次得分刚好为2n时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有 4 次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大.【答案】（1）227 （2）分别列见解析，()223nnE X=（3）方案【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）首先分析出nX得可能取值，再按步骤列出分布列，最后利用期望公式和等比数列求和公式即可；（3）选择方案，计算出()p AB+的值，选择方案，计算出()p MQ+，两者比较大小即可.【小问 1 详解】由题意可知34X=表示事件“第 1 次答错，第 2，3 次均答对”，()321124.33327p X=【小问 2 详解】nX可取1,2,4,2n且1nX=表示事件“第n次答错”，第18页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以()213np X=，当2n 时，2,1,2,3,1knXkn=，表示事件“第nk次答错，第1,2,nknkn+次均答对”，所以()12122,1,2,3333kknkp Xk+=，,1n，2nnX=表示事件“第1,2,3,n次都答对”()11233nnnnp X=，所以()12,0,1,2,1,321,3kknnknp Xkn+=所以nX的分布列为：nX 1 2 4 12n 2n p 23 223 323 23n 13n()()()1100221332122222222333313nnnnnkkknnnknkkE Xp X+=+=+=【小问 3 详解】若选择方案，n只可能为 2，4，即:2X=42,4X=，22X=表示事件A=“第 1 次答错，第 2次答对”，44X=表示事件B=“第 2 次答错，第 3、4次均答对，因为A、B互斥，所以23228()()()3327p ABp Ap B+=+=+=若选择方案，n只可能为 1，2，4，即:122,XX=44,8X=，12X=表示事件M=“第 1 次答对”；24X=表示事件N=“第 1、2 次均答对”，第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 而第 1 次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况；48X=表示事件Q=“第 1 次答错，第 2，3，4 次均答对”；因为M与Q互斥，所以()()()p MQp Mp Q+=+4122924833818127=+=，所以应该选择方案.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到nX，再利用等比数列的性质得到()12,0,1,2,1,321,3kknnknp Xkn+=，最后列出分布列，再求出期望即可.