广东汕头2024年高一下学期期末数学试题含答案.pdf
汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测高一数学第 1 页（共 4 页）试卷类型：A汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测高 一 数 学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第卷 选择题一、选择题：一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合1,2,3,4,5,6A，35xBx yx，则AB（）A4,6B3,4,6C4,5,6D3,4,5,62已知一组数据12,nx xx的平均数为x，方差为2s，则数据143x，243x，43nx 的平均数和方差分别为（）A43x，243s B4x，2169s C43x，216s9D43x，216s3当12k时，复数 2i4ik 在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A若/m，/n，则/mnB若m，/m，n，/n，则/C若，m，/n，mn，则nD若mn，m，n，则5已知平面内两个粒子,A B从同一发射源(1,2)C射出，在某一时刻，它们的位置分别为(3,3),(2,4)AB，相应的位移分别为,ABss ，则As 在Bs 上的投影向量为（）A4 5 8 5,55B4 8,5 5C9 18,5 5D(4,8)6已知(,),(,0)22，12sin13=，3cos4，则sin等于（）A5 73652B5 73652C15 12 752D15 12 752#QQABJYCEggAAAIBAAAgCUQEICgKQkBEAAagOQFAIsAIAQBNABAA=#QQABLYAoxgKQkITACC5LUQE4CgqQsJOhJagshUCEuA4KABNABIA=#汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测高一数学第 2 页（共 4 页）7已知p：()2 44162234xxxxf xaa在,0有两个零点，q：0a，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8如图，边长为 2 的正方形ABCD中，,P Q分别为边,BC CD上的点，2AP AQPQ ，则12APAQ的最大值为（）A1B52C3 24D3 22二、多项选择题：二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分9如图，一个正八面体，八个面分别标以数字 1 到 8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为1,2,3,4,5,6,7,8，设事件1,2,7,8A，事件B“得到的点数为偶数”，事件C“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A事件B与C互斥B34P ABC事件A与C相互独立D P ABCP A P B P C10已知函数 2sincos3f xxx，则（）A f x的最小正周期为B不等式()0f x 的解集为,Z32x kxkkC f x在区间 3,44上单调递减D为了得到函数 f x的图象，只要把函数sin2yx曲线上所有的点向左平移3个单位长度，再向上平移32个单位长度11已知21yg x为定义在 R 上的奇函数，当2,x时，2()log1g xx；将函数()4sin1f xx和 g x图象的所有交点从左到右依次记为12,nA AA，则（）A yg x的图象关于点2,1对称B当12,2x x 时，1212()()()22xxg xg xgC579(log 3)(log 5)(log 7)gggD若P点坐标为0,2，则1211 5nPAPAPA （第 8 题图）（第 9 题图）#QQABJYCEggAAAIBAAAgCUQEICgKQkBEAAagOQFAIsAIAQBNABAA=#QQABLYAoxgKQkITACC5LUQE4CgqQsJOhJagshUCEuA4KABNABIA=#汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测高一数学第 3 页（共 4 页）第卷 非选择题三、填空题：三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12已知x是方程2250 xx在复数范围内的根，则x 13将一个底面边长为2cm，高为3cm的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为2cm14始建于 1880 年的表角灯塔位于汕头港达濠半岛广澳角，既是粤东沿海干线的重要灯塔，又是进出汕头港外航道的重要助航标志，其射程 24 海里（射程：在晴天黑夜，观测者能够看到灯塔灯光的最大距离）一艘船以 16 海里/小时的速度航行，到某点时测得表角灯塔在其西南方向 32 海里，随后向正南方向航行，在同一气象能见度条件下，大约min 后，这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间min（结果都精确到 1min，参考数据：21.414）四、解答题：四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）如图，在等边ABC中，3AB，点 O 在边 BC 上，且2OCBO 过点 O 的直线分别交射线 AB，AC 于不同的两点 M，N（1）设,ABa ACb ，试用,a b 表示,BC AO ；（2）求cos,OA OC ；（3）设ABmAM ，ACnAN，求2mn的值和11mn的最小值16（本小题满分 15 分）某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度（单位：cm），所得数据统计如右图（1）求a的值，并估计这批植株高度的平均数和第 75 百分位数；（第 75 百分位数的结果保留小数点后两位）；（2）若从高度在15,17和23,25的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本，再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取 2 株，求抽取的 2 株植株高度均在23,25内的概率（第 15 题图）（第 16 题图）#QQABJYCEggAAAIBAAAgCUQEICgKQkBEAAagOQFAIsAIAQBNABAA=#QQABLYAoxgKQkITACC5LUQE4CgqQsJOhJagshUCEuA4KABNABIA=#汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测高一数学第 4 页（共 4 页）17（本小题满分 15 分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，点C是圆周上的点且3ACCB，M在线段PA上且2AMMP，N是BM的中点（1）若二面角PBCA的大小为45，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值；（2）线段PC上是否存在点Q，使得/NQ平面ABC？若存在，则求PQQC的值；若不存在，请说明理由18（本小题满分 17 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到 2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车经过反复试验，喝了一定量的酒后，酒精在人体血液中含量的变化规律如下：一开始含量呈线性增长，当其上升到 1.2mg/mL 时，会以每小时 20%的速度减少（函数模型如右图）（1）求血液中酒精含量y（单位：mg/mL）关于时间x（单位：小时）的函数解析式；（2）某驾驶员在喝了同等量的酒后，至少要经过几个小时才能合法驾驶？（结果取整数）（参考数据：4771.03lg,3010.02lg）19(本小题满分 17 分)已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，且cos3 sin0cAcAba，1c.（1）求角C；（2）若ABC外接圆的圆心为 O，P 为圆 O 上的一动点，求PA PB 的取值范围；（3）若ABC的面积30,8S，D为AB边上一点且总存在0使得CACBCDCACB 成立，求线段CD长度的取值范围（第 17 题图）（第 18 题图）#QQABJYCEggAAAIBAAAgCUQEICgKQkBEAAagOQFAIsAIAQBNABAA=#QQABLYAoxgKQkITACC5LUQE4CgqQsJOhJagshUCEuA4KABNABIA=#数学试题参考答案 第 1页（共 7 页）汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测汕头市 20232024 学年度普通高中教学质量监测高一数学科参考答案与评分标准高一数学科参考答案与评分标准第卷第卷题号1234567891011答案题号1234567891011答案BDACBAABBCDABACD1.【解析】335xBx yx xxx且5，则AB3,4,62.【解析】数据143x，243x，43nx 的平均数为43x，方差为216s3.【解析】因为2i4i24(1)ikkk ，且12k，所以240,10kk，则复数2i4ik 在复平面上对应的点位于第一象限4.【解析】A若/m,/n,两直线不一定平行B若m,/m,n,/n,两平面可能相交也可能平行C若,m,/n,mn,通过面面垂直的性质和平行的传递性可以推出nD若mn,m,n,则两平面不一定垂直5.【解析】,(2,1)(1,2)ABss ，则As 在Bs 上的投影向量为24 8(,)5 5ABBBssss 6.【解析】因为(,),(,0)22,12sin13=，3cos4，所以5cos13=-，7sin4，则sinsin()=+-=5 736527.【解析】令22xxt，函数单调递增，且0,x，则0,t，所以原函数化为ataty3)61(22其在0,t有两个零点，所以0230216024)61(21212at tattaa，解得0a且61a，所以p是q的充分不必要条件8.【解析】因为2AP AQPQ ，即()()222AP AQABBPADDQDBQPPQ#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#数学试题参考答案 第 2页（共 7 页）即DQPBPQ，又因ADAB,所以ABPRtADQRt,分别沿,AP AQ翻折可与QAP重合，可得QAP是DAB的半角，即4QAP.设BAPQAD,则cos()12cos2cos2cos5sin()422222APAQ，其中31sin,cos1010因为)2,4(),4,0(，所以最大值为259.【解析】A.因为得到的点数是 2 时，事件B与C同时发生，所以不互斥B6384P AB，正确C 1121,2284P APP ACC,则 P ACP A P C，即事件A与C相互独立，正确D 11,82P ABCP B，则 18P ABCP A P B P C，正确10.【解析】32sincossin 2332fxxxxA最小正周期为，正确B3sin 2032x，即3sin 232x，4222333kxk，所以解集为,Z32x kxkk，正确C因为 3,44x，即 32,32323x，fx在该区间不单调递减，错误D 为了得到函数 fx的图象，只要把函数sin2yx上所有的点向左平移6个单位长度,再向上平移32个单位长度，错误11.【解析】A21yg x为定义在 R 上的奇函数，通过平移，可得 yg x的图象关于点2,1对称，正确B当2,x时，1log)(2xxg，再利用 yg x的图象关于点2,1对称，yg x在,2凹凸性相反，所以当12,2x x 时，2)()()2(2121xgxgxxg，错误C当2,x时，1log)(2xxg是增函数，再利用 yg x的图象关于点2,1对称，yg x在,2单调性相同，所以 yg x是增函数，又7log5log3log975，所以#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#数学试题参考答案 第 3页（共 7 页）)7(log)5(log)3(log975ggg，正确D()4sin1f xx和 g x的所有交点有 11 个，且关于点2,1对称，P点坐标为0,2，则11162PAPAPA.以此类推，所以，121161111 5PAPAPAPA 第卷第卷题号121314答案题号121314答案54355，60注：14 题第一空 2 分，第二空 3 分12.【解析】方程解得ix21，得x513.【解析】可得正四棱锥侧面斜高为 2，利用等体积法求得内切球半径为33，所以球的表面积为4314.【解析】设船行驶距离为x，由余弦定理得45cos3222432222xx，解得82162,1x由速度 16 海里/小时，可得行驶的时间2122,1t，所以，1)212()212(,914.0212，即 55min 后这艘船上的船员就能看到灯塔的灯光，并持续时间 60min15解：（1）2OCBO ，13BOBC BCACABba （1 分）112121()333333AOABBOABBCABACABABACba （3 分）(2)1412949292)3232()3132(22abababbaOCOA（5 分）7124)3132(2baOA，2OC（7 分）147271,cosOCOAOCOAOCOA（8 分）（3）2OCBO ，ABmAM ，ACnAN所以21213333AOABACmAMnAN （9 分）因为M，O，N共线，#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#数学试题参考答案 第 4页（共 7 页）所以21133mn，23mn（10 分）0,nm111111222312333mnmnmnmnnm（12 分）当且仅当mn2且32 nm，即3 23,3 232mn时，11mn取到最小值2123（13 分）16解：（1）依题意可得0.050.0750.150.121a，解得0.125a（2 分）样本每组的频率分别为2.0,3.0,25.0,15.0,1.0所以，样本的平均数7.202.0243.02225.02015.0181.016x（4 分）高度在15,21的频率为5.025.015.01.0高度在15,23的频率为8.03.025.015.01.0（5 分）所以，第 75 百分位数在21,23则67.225.08.05.075.0221（7 分）据此，可以估计这批植物高度的平均数约为7.20，第 75 百分位数约为67.22（8 分）（2）由（1）可得高度在15,17的频率为：2 0.0500.1，高度在23,25的频率为：20.1000.2即0.110.22，所以分层抽取的 6 株样本中，高度在15,17和23,25的株数分别为 2 和 4（9 分）因此记高度在15,17两株植株分别为nm,，高度在23,25四株植株分别为,A B C D则试验的样本空间),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(DCDBCBDACABADnCnBnAnDmCmBmAmnm（11 分）设“抽取的 2 株高度均在23,25内”为事件M，),(),(),(),(),(),(DCDBCBDACABAM（13 分）由古典概型的计算公式得：62155P M（14 分）抽取的 2 株高度均在23,25内的概率为52（15 分）17.解：(1)连接MC#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#数学试题参考答案 第 5页（共 7 页）AB为圆 O 直径90ACB即BCAC（1 分）PA平面ABC，BC平面ABCBCPA（2 分）ACPAAACPA,平面PACBC平面PAC（3 分）BM与平面PAC所成角为BMC（4 分）PC平面PAC，BCPC，又BCAC 二面角ABCP的平面角为PCA,即45PCA（5 分）PACRt为等腰三角形又3 CBAC，23AB，232PAMA22MB（7 分）在BCMRt中，22223sinMBBCBMC即BM与平面PAC所成角的正弦值为22223（8 分）（2）存在点Q，假设2QCPQ,使得/NQ平面ABC（9 分）过点Q作AMQD/交AC于点D，连接DONQNO,，APQD31又MPAM2AMAMQD212331（10 分）ON,分别是ABBM,的中点，AMNOAMNO/,21（11 分）QDNOQDNO/,四边形NODQ为平行四边形（12 分）ODNQ/（13 分）又NQ 平面ABC,OD平面ABC，/NQ平面ABC（15 分）18.解（1）依题意，得当酒精含量呈直线上升时，设bkxy（1 分）函数过点)3.0,25.0(),0,0(bkbk0025.03.0#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#数学试题参考答案 第 6页（共 7 页）解得0,2.1bk，即xy2.1（3 分）当2.1y时，解得1x（4 分）又当其上升到 1.2mg/mL 时，会以每小时 20%的速度减少当1x时，118.02.1)2.01(2.1xxy（7 分）1,8.02.110,2.11xxxyx（9 分）（2）根据题意，1201.20.8100 x（10 分）即110.86x，即0.80.811log0.8log6x可得0.811log6x （12 分）1lg(lg2lg3)(0.30100.4771)68.0242lg2(1lg2)20.30100.6990lg5（14 分）02.9x（15 分）驾驶员甲至少要经过 10 个小时才能合法驾驶.（17 分）19.解：（1）0sin3cosabAcAc由正弦定理得0sinsinsinsin3cossinABACAC（1 分）又CACACABsincoscossin)sin(sin（2 分）0sinsincoscossinsinsin3cossinACACAACAC又0sinA化简得3sincos1CC，即2sin16C又,0C，则65,66C，66C，3C（4 分）（2）如图所示，取AB的中点M则 PAPBPMMAPMMBPMMAPMMA 22214PMMAPM （6 分）#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#数学试题参考答案 第 7页（共 7 页）由正弦定理得22sin3cRC，即33R（7 分）2233,36OPOMRAMOPOMPMOPOM,即33,62PM（9 分）211 1,46 2PA PBPM （10 分）(3)CBCBCACACD,23)cos1(CCACACBCBCACACACACD同理，23CBCBCD即CD为角C的平分线（11 分）ABCCDBCDASSS，111sinsinsin222CD ACACDCD BCBCDAC BCACB，113222CD bCD aab，即3abCDab（13 分）由余弦定理得2222cos3cabab，即22213abababab，2()13abab，（14 分）又ABC的面积133sin0,2348Sabab10,2ab，解得101,2ab（15 分）233()131()3()3ababCDabababab令bat，tty133在101,2上单调递增（16 分）CD的取值范围为300,10（17 分）#QQABbYgEogCgApAAAQhCQQ0aCkOQkBGAAQgOgEAAoAAAARFABAA=#
