2024年深圳市中考数学试题（解析版） .pdf

第 1页/共 26页学科网（北京）股份有限公司2024 年深圳市初中学业水平测试数学学科试卷年深圳市初中学业水平测试数学学科试卷说明：说明：1答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好2全卷共全卷共 6 页考试时间页考试时间 90 分钟，满分分钟，满分 100 分分3作答选择题作答选择题 1-8，选出每题答案后，用，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案作答非选择题铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案作答非选择题 920，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效4考试结束后，请将答题卡交回第一部分选择题一、选择题（本大题共考试结束后，请将答题卡交回第一部分选择题一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点【详解】解：选项 A、B、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C2.如图，实数 a，b，c，d 在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A.aB.bC.cD.d【答案】A【解析】【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断第 2页/共 26页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由数轴知，0abcd，则最小的实数为 a，故选：A3.下列运算正确的是（）A.523mm B.23m n mm nC.33mnmnD.2211mm【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解【详解】解：A、6523mmm，故该选项不符合题意；B、23m n mm n，故该选项符合题意；C、33mnmn，故该选项不符合题意；D、2221211mmmm，故该选项不符合题意；故选：B4.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A.12B.112C.16D.14【答案】D【解析】【分析】本题考查了概率公式根据概率公式直接得出答案【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，则抽到的节气在夏季的概率为61244，故选：D5.如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150，则反射光线与平面镜夹角4的度数为（）第 3页/共 26页学科网（北京）股份有限公司A.40B.50C.60D.70【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据CDAB，56 ，则1250 ，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答【详解】解：如图：一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150，CDAB，56 ，152690 ，则1250 ，光线是平行的，即DEGF，2450 ，故选：B6.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分BAC的是（）A.B.C.D.只有【答案】B【解析】第 4页/共 26页学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可在图中，利用基本作图可判断AD平分BAC；在图中，利用作法得AEAFAMAN，可证明AFMAEN，有AMDAND，可得MENF，进一步证明MDENDF，得DMDN，继而可证明ADMADN，得MADNAD，得到AD是BAC的平分线；在图中，利用基本作图得到 D 点为BC的中点，则AD为BC边上的中线【详解】在图中，利用基本作图可判断AD平分BAC；在图中，利用作法得AEAFAMAN，在AFM和AEN中，AEAFBACBACAMAN，SASAFMAEN，AMDAND，AMAEANAFMENF在MDE和NDF中AMDANDMDENDFMENF ，AASMDENDF，DMDN，,ADAD AMAN，SSSADMADN，MADNAD，AD是BAC的平分线；第 5页/共 26页学科网（北京）股份有限公司在图中，利用基本作图得到 D 点为BC的中点，则AD为BC边上的中线则可得出射线AD平分BAC故选：B7.在明朝程大位算法统宗中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间房设该店有客房 x 间，房客 y 人，则可列方程组为（）A.7791xyxyB.7791xyxyC.7791xyxyD.7791xyxy【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组设该店有客房 x 间，房客 y 人；每一间客房住 7人，那么有 7 人无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间客房得出方程组即可【详解】解：设该店有客房 x 间，房客 y 人；根据题意得：7791xyxy，故选：A8.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）（参考数据：sin5345，cos5335，tan5343）第 6页/共 26页学科网（北京）股份有限公司A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m【答案】A【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三角形，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再设mGMx，表示5 mEMx，然后在RttanAMAEMAEMEM，以及RttanANACNACNCN，运用线段和差关系，即450.33MNANAMxx，再求出15.9mx，即可作答【详解】解：如图：延长DC交EM于一点G，90MEFEFBCDF 四边形EFDG是矩形90MEFEFBB 四边形EFBM是矩形同理得四边形CDBN是矩形依题意，得1.8m1.5mEFMBCD，4553AEMACN，1.8 1.5 m0.3mCG，5mFDEG0.3mCGMN设mGMx，则5 mEMx在RttanAMAEMAEMEM，1EMAM 即5 mAMx在RttanANACNACNCN，4tan533CNxAN即4m3ANx第 7页/共 26页学科网（北京）股份有限公司450.33MNANAMxx15.9mx 15.9520.9 mAM 20.9 1.822.7 mABAMEFAMMB故选：A第二部分非选择题二、填空题（本大题共第二部分非选择题二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）9.已知一元二次方程230 xxm的一个根为 1，则m_【答案】2【解析】【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x 代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可【详解】解：关于x的一元二次方程230 xxm的一个根为1，1x满足一元二次方程230 xxm，1 30m ，解得，2m 故答案为：210.如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且10ABCDS正方形，1GHIJS正方形，则正方形DEFG的边长可以是_（写出一个答案即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算利用算术平方根的性质求得10ABCD，1GHGJ，再根据无理数的估算结合GHDECD，即可求解第 8页/共 26页学科网（北京）股份有限公司【详解】解：10ABCDS正方形，10ABCD，1GHIJS正方形，1GHGJ，3104，即34CD，正方形DEFG的边长GHDECD，即13DE，正方形DEFG的边长可以是 2，故答案为：2（答案不唯一）11.如图，在矩形ABCD中，2BCAB=，O 为BC中点，4OEAB，则扇形EOF的面积为_【答案】4【解析】【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形 利用解直角三角形求得45BOE，45COF，得到90EOF，再利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：2BCAB=，4AB，4 2BC，O 为BC中点，12 22OBOCBC，4OE，在Rt OBE中，2 22cos42OBBOEOE，45BOE，同理45COF，180454590EOF，第 9页/共 26页学科网（北京）股份有限公司扇形EOF的面积为29044360，故答案为：412.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，4tan3AOC，且点 A 落在反比例函数3yx上，点 B 落在反比例函数0kykx上，则k _【答案】8【解析】【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A B、作x轴的垂线，垂足分别为DE、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得232A，52OA，再求得点4 2B，利用待定系数法求解即可【详解】解：过点A B、作x轴的垂线，垂足分别为DE、，如图，4tan3AOC，43ADOD，设4ADa，则3ODa，点3 4Aa a，点 A 在反比例函数3yx上，第 10页/共 26页学科网（北京）股份有限公司343aa，12a（负值已舍），则点232A，2AD，32OD，2252OAODAD，四边形AOCB为菱形，52ABOA，ABCO，点4 2B，点 B 落在反比例函数0kykx上，428k，故答案为：813.如图，在ABC中，ABBC，5tan12B，D为BC上一点，且满足85BDCD，过 D 作DEAD交AC延长线于点 E，则CEAC_【答案】2021【解析】【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设13ABBCx，根据5tan12B，AHCB，得出512AHxBHx，再分别用勾股定理4126ADxACx，故4 41cos41DHADCAD，再运用解直角三角形得出20 4141DMx，21 4141AMx，代入CEMDACAM，化简即可作答【详解】解：如图，过点 A 作AHCB垂足为 H,第 11页/共 26页学科网（北京）股份有限公司85BDDC，ABBC，设13ABBCx，85BDxDCx，5tan12B，AHCB，512AHBH，13ABBCx，2222169AHBHABx，解得512AHxBHx，1284DHxxx，54HCxxx，2241ADAHDHx，2226ACAHCHx，4 41cos41DHADCAD，过点 C 作CMAD垂足为 M，20 41cos41DMCDADCx，21 4141AMADDMx，DEAD,CMAD，MCDE，第 12页/共 26页学科网（北京）股份有限公司20 4120412121 4141xCEDMACAMx，故答案为：2021三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，其中第小题，其中第 14 题题 5 分，第分，第 15 题题 7 分，第分，第 16 题题 8 分，第分，第 17 题题 8 分，第分，第 18 题题 9 分，第分，第 19 题题 12 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 61 分）分）14.计算：1012 cos453.14124 【答案】4【解析】【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得【详解】解：1012 cos453.14124 2212142 21214 415.先化简，再求值：2221111aaaa，其中21a【答案】11a，22【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值【详解】解：2221111aaaa=2112111aaaaa第 13页/共 26页学科网（北京）股份有限公司=21111aaaa=11a，当21a 时，原式=112221 12 16.据了解，“i 深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i 深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有 A，B 两所学校适合，小明收集了这两所学校过去 10 周周六上午的预约人数：学校 A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50，50学校 B：（1）学校平均数众数中位数方差A_4883.299B48.4_354.04第 14页/共 26页学科网（北京）股份有限公司（2）根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由【答案】（1）48.3；25；47.5（2）小明爸爸应该预约学校 A，理由见解析【解析】【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性：（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可；（2）根据方差判断稳定性，进行判断即可【小问 1 详解】解：1283040454848484848505048.310；数据中出现次数最多的是 25，故众数为 25；数据排序后，排在中间两位的数据为45,50，故中位数为：1455047.52；填表如下：学校平均数众数中位数方差A48.34883.299B48.42547.5354.04【小问 2 详解】小明爸爸应该预约学校 A，理由如下：学校 A 的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的进行锻炼17.背景【缤纷 618，优惠送大家】今年 618 各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”深圳各大购物中心早在 5 月就开始推出 618 活动，进入 6 月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的 618优惠节，采购了若干辆购物车第 15页/共 26页学科网（北京）股份有限公司素材如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m问题解决任务1若某商场采购了 n 辆购物车，求车身总长 L 与购物车辆数 n 的表达式；任务2若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？任务3若该商场扶手电梯一次性可以运输 24 辆购物车，若要运输 100 辆购物车，且最多只能使用电梯 5 次，求：共有多少种运输方案？【答案】任务 1：0.80.2Ln m；任务 2：一次性最多可以运输 18 台购物车；任务 3：共有 3 种方案【解析】【分析】本题考查了列代数式表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键任务 1：根据一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，且采购了 n 辆购物车，L 是车身总长，即可作答任务 2：结合“已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车”，得出2.60.80.2n，再解不等式，即可作答任务 3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输 24 辆购物车，若要运输 100 辆购物车，且最多只能使用电梯 5 次”，列式2418 5100 xx，再解不等式，即可作答【详解】解：任务 1：一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m0.80.2Ln m任务 2：依题意，已知该商场的直立电梯长为2.6m，且一次可以运输两列购物车，令2.60.80.2n，解得：9n 第 16页/共 26页学科网（北京）股份有限公司一次性最多可以运输 18 台购物车任务 3：设 x 次扶手电梯，则5x次直梯由题意该商场扶手电梯一次性可以运输 24 辆购物车，若要运输 100 辆购物车，且最多只能使用电梯 5 次可列方程为：2418 5100 xx，解得：53x 方案一：直梯 3 次，扶梯 2 次；方案二：直梯 2 次，扶梯 3 次：方案三：直梯 1 次，扶梯 4 次答：共有三种方案18.如图，在ABD中，ABBD，O为ABD的外接圆，BE为O的切线，AC为O的直径，连接DC并延长交BE于点 E（1）求证：DEBE；（2）若5 6AB，5BE，求O的半径【答案】（1）见解析（2）3 5【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：（1）连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，易证BO垂直平分AD，圆周角定理，切线的性质，推出四边形BHDE为矩形，即可得证；（2）由（1）可知5DHBE，勾股定理求出BH的长，设O的半径为r，在RtAOH中，利用勾股定理进行求解即可【小问 1 详解】证明：连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，第 17页/共 26页学科网（北京）股份有限公司ABBD，OAOD，BO垂直平分AD，BHAD，AHDH，BE为O的切线，HBBE，AC为O的直径，90ADC，四边形BHDE为矩形，DEBE；【小问 2 详解】由（1）知四边形BHDE为矩形，BHAD，AHDH，5AHDHBE，225 5BHABAH，设O的半径为r，则：,5 5OAOBr OHBHOBr，在RtAOH中，由勾股定理，得：22255 5rr，解得：3 5r；即：O的半径为3 519.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为 x，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为 x，CD读数为 y，抛物线的顶点为 C第 18页/共 26页学科网（北京）股份有限公司（1）（）列表：x023456y012.2546.259（）描点：请将表格中的,x y描在图 2 中；（）连线：请用平滑的曲线在图 2 将上述点连接，并求出 y 与 x 的关系式；（2）如图 3 所示，在平面直角坐标系中，抛物线2ya xhk的顶点为 C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且ABm，CDn，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数2ya xhk平移，使得顶点 C 与原点 O 重合，此时抛物线解析式为2yax此时点B的坐标为_；将点B坐标代入2yax中，解得a_；（用含 m，n 的式子表示）方案二：设 C 点坐标为,h k此时点 B 的坐标为_；将点 B 坐标代入2ya xhk中解得a_；（用含 m，n 的式子表示）（3）【应用】如图 4，已知平面直角坐标系xOy中有 A，B 两点，4AB，且ABx轴，二次函数211:2Cyxhk和222:Cya xhb都经过 A，B 两点，且1C和2C的顶点 P，Q 距线段AB的距离之和为 10，若ABx轴且4AB，求 a 的值【答案】（1）图见解析，214yx；第 19页/共 26页学科网（北京）股份有限公司（2）方案一：1,2m n；24nm；方案二：1,2hm kn；24nm；（3）a 的值为12或12【解析】【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；（2）根据图形写出点B或点 B 的坐标，再代入求解即可；（3）先求得28Ahk，28Bhn，1C的顶点坐标为Phk，再求得1C顶点距线段AB的距离为88kk，得到2C的顶点距线段AB的距离为10 82，得到2C的顶点坐标为10Qhk，或6Qhk，再分类求解即可【小问 1 详解】解：描点，连线，函数图象如图所示，观察图象知，函数为二次函数，设抛物线的解析式为2yaxbxc，由题意得04211644cabcabc，解得1400abc，y 与 x 的关系式为214yx；【小问 2 详解】第 20页/共 26页学科网（北京）股份有限公司解：方案一：ABm，CDn，12DBm，此时点B的坐标为1,2m n；故答案为：1,2m n；由题意得212man，解得24nam，故答案为：24nm；方案二：C 点坐标为,h k，ABm，CDn，12DBm，此时点 B 的坐标为1,2hm kn；故答案为：1,2hm kn；由题意得212kna hmhk，解得24nam，故答案为：24nm；【小问 3 详解】解：根据题意1C和2C的对称轴为xh，则28Ahk，28Bhn，1C的顶点坐标为Phk，1C顶点距线段AB的距离为88kk，2C的顶点距线段AB的距离为10 82，2C的顶点坐标为10Qhk，或6Qhk，第 21页/共 26页学科网（北京）股份有限公司当2C的顶点坐标为10Qhk，时，2210ya xhk，将28Ahk，代入得4108akk，解得12a ；当2C的顶点坐标为6Qhk，时，226ya xhk，将28Ahk，代入得468akk，解得12a；综上，a 的值为12或12【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键20.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”（1）如图 1 所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，5AF，2CE，则AE _；AB_；（2）如图 2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且ABBD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；（3）如图 3 所示，在ABC中，5BE，212CEAE，BEAC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具温馨提示：不限作图工具）；若ABC关于直线AC对称得到ABCV，连接CB，作射线CB交中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值第 22页/共 26页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）1，17（2）2AFCD，理由见解析（3）见解析；3 414PE 或3 412【解析】【分析】（1）根据题意可推出AEFCEB，得到AFAEBCCE，从而推出AE，再根据勾股定理可求得BE，再求得AB；（2）根据题意可推出AEDFEB，得到2AEADDEEFBFEB，设BEa，则2DEa，3ABCDa，再利用勾股定理得到AE，从而推出EF、AF，即可求得答案；（3）分情况讨论，第一种情况，作BC的平行线AD，使ADBC，连接CD，延长BE交AD于点F；第二种情况，作ABC的平分线，取CHCB交ABC的平分线于点H，延长CH交BE的延长线于点D，在射线BA上取AFAB，连接DF；第三种情况，作ADBC，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线；在DA延长线上取点 F，使AFAD，连接BF；根据中的三种情况讨论：第 一 种 情 况，根 据 题 意 可 证 得PAC是 等 腰 三 角 形，作PHAC，则AHHC，可 推 出CPHCB E，从而推出PHCHB ECE，计算可得PH，最后利用勾股定理即可求得PE；第二种情况，延长CA、DF交于点G，同理可得PGC是等腰三角形，连接PA，可由GAFCAB，结合三线合一推出PAAC，从而推出CPACB E，同第一种情况即可求得PE；第三种情况无交点，不符合题意【小问 1 详解】解：ADBC，F为AD的中点，ADBC，5AF，2CE，AEFCEB，22 5BCADAF，AFAEBCCE，即522 5AE，解得1AE，22222(2 5)216BEBCCE，22211617ABAEBE；第 23页/共 26页学科网（北京）股份有限公司故答案为：1；17；【小问 2 详解】解：2AFCD，理由如下：根据题意，在垂中四边形ABCD中，AFBD，且F为BC的中点，2ADBCBF，90AEB；又ADBC，AEDFEB，2AEADDEEFBFEB；设BEa，则2DEa，ABBD，23ABBDBEEDaaa，2222(3)2 2AEABBEaaa，2EFa，2 223 2AFAEEFaaa，ABCD，3 223AFAFaCDABa，2AFCD；【小问 3 详解】解：第一种情况：作BC的平行线AD，使ADBC，连接CD，则四边形ABCD为平行四边形；延长BE交AD于点F，BCAD，AEFCEB，AFAEBCCE，ADBC，2CEAE，第 24页/共 26页学科网（北京）股份有限公司12AFAEBCCE，即1122AFBCAD，F为AD的中点；故如图 1 所示，四边形ABCD即为所求的垂中平行四边形：第二种情况：作ABC的平分线，取CHCB交ABC的平分线于点H，延长CH交BE的延长线于点D，在射线BA上取AFAB，连接DF，故A为BF的中点；同理可证明：12ABCD，则2BFABAFABCD，则四边形BCDF是平行四边形；故如图 2 所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形：第三种情况：作ADBC，交BE的延长线于点D，连接CD，作BC的垂直平分线；在DA延长线上取点 F，使AFAD，连接BF，则A为DF的中点，同理可证明12ADBC，从而DFBC，故四边形BCDF是平行四边形；故如图 3 所示，四边形BCDF即为所求的垂中平行四边形：第 25页/共 26页学科网（北京）股份有限公司若按照图 1 作图，由题意可知，ACBACP，四边形ABCD是平行四边形，ACBPAC，PACPCA，PAC是等腰三角形；过 P 作PHAC于 H，则AHHC，5BE，212CEAE，5B EBE，6AE，111()(6 12)9222AHHCACAECE，963EHAHAE；PHAC,BEAC，CPHCB E，PHCHB ECE，即9 515124CH B EPHCE2222153 41344PEEHPH若按照图 2 作图，第 26页/共 26页学科网（北京）股份有限公司延长CA、DF交于点G，同理可得：PGC是等腰三角形，连接PA，GFBC，GAFCAB，1AFAGABAC，AGAC，PAAC；同理，CPACBE，6AE，12EC，5BEBE，B ECEPAAC，即5 1815122B E ACPACE，2222153 41622PEPAAE，若按照图 3 作图，则：没有交点，不存在 PE（不符合题意）故答案为：3 414PE 或3 412【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键