等差数列前n项和(北师大版-优质课比赛-优秀获奖)(课堂PPT).ppt
2.22.2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和 讲课人：张江平1 如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列等差数列，这个，这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d表示。表示。4如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等成等差数列，那么差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项：等差中项：_。复习复习2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an_，可变形为可变形为_或或_3等差数列的性质：等差数列的性质：若若mnpq，则则_(m，n，p，qN*)a1(n1)danam(nm)dannd(a1d)amanapaq1.等差数列的定义等差数列的定义21+2+3+100=?高斯，高斯，(17771855）德国著德国著名数学家。名数学家。3提问提问:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每层的根数先算出每层的根数-每层都是每层都是14根根!再计算层数再计算层数-共共5层层!所以共所以共(14 5)/2=35根根.4 在日常生活中，经常会遇到这样的等差数列求和在日常生活中，经常会遇到这样的等差数列求和问题。如何计算该等差数列的和呢？问题。如何计算该等差数列的和呢？请猜想高斯是如何计算得到前请猜想高斯是如何计算得到前100100项的和，并尝试是项的和，并尝试是否可以找到求解一般等差数列前否可以找到求解一般等差数列前n n项和的方法。项和的方法。抽象概括抽象概括设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，即项和，即 设等差数列设等差数列 an 的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，如何求，如何求等差数列的前等差数列的前n项和项和Sn=a1+a2+a3+an?5解：解：因为因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得倒序相加倒序相加S=a1+a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+a3 +a2 +a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用变式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)d比较两个公式的异同比较两个公式的异同 两两个个公公式式共共同同的的已已知知量量是是a1和和n,不不同同的的已已知知量量是是:公公式式（1 1）已已知知an,公公式式（2 2）已已知知d 。已已知知三三个个量量就就可可以以求求出出Sn，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。6解题思路一般是:建立方程(组)求解在等差数列在等差数列在等差数列在等差数列 aan n 中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素 a a1 1,a,an n,n,d,S,n,d,Sn n 中的任意三个中的任意三个中的任意三个中的任意三个,请问请问请问请问:能否能否能否能否求出其余两个量求出其余两个量求出其余两个量求出其余两个量?结论：知结论：知 三三 求求 二二想想 一一想想说明说明说明说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到及到及到及到5 5个量，通常已知其中个量，通常已知其中个量，通常已知其中个量，通常已知其中3 3个，可求另外个，可求另外个，可求另外个，可求另外2 2个。个。个。个。7an=a1+(n-1)d8解解 由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得例例7 7 求前求前n n个正奇数的和个正奇数的和.解解 由等差数列前由等差数列前n n项和公式，得项和公式，得推广：推广：求前求前n n个正偶数的和个正偶数的和.9例例1.根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 。10等差数列等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，项数为，项数为n，第，第n项为项为an，前，前n项和为项和为Sn，请填写下表：，请填写下表：9550010022150.7604.5课堂练习课堂练习11 例例8 8 在我国古代，在我国古代，9 9是数字之极，代表尊贵之意，所以中是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与国古代皇家建筑中包含许多与9 9相关的设计相关的设计.例如，北京天坛圆例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有围绕它的第一圈有9 9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多多9 9块，共有块，共有9 9圈圈.请问：请问：（1 1）第）第9 9圈共有多少块石板？圈共有多少块石板？（2 2）前）前9 9圈一共有多少块石板？圈一共有多少块石板？解解 （1 1）设从第）设从第1 1圈到第圈到第9 9圈石板数所成数列为圈石板数所成数列为 a an n,由由题意可知题意可知 a an n 是等差数列，其中是等差数列，其中a a1 1=9=9，d=9,n=9.d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第由等差数列的通项公式，得第9 9圈有石板圈有石板（2 2）由等差数列的前）由等差数列的前n n项和公式，得前项和公式，得前9 9圈一共有石板圈一共有石板答答 第第9 9圈有圈有8181块石板，前块石板，前9 9圈一共有圈一共有405405块石板块石板.121.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：3.(1)倒序相加法求和 (2)“知三求二”方程思想：在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.作业布置作业布置P17.练习1第3题13
