压电方程组专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

压电方程组压电方程组压电晶体切割压电晶体切割边界条件和四类压电方程组边界条件和四类压电方程组各类压电方程组常数之间关系各类压电方程组常数之间关系二级压电效应二级压电效应第1页压电晶体切割压电晶体切割经经过过前前几几节节相相关关压压电电常常数数讨讨论论使使我我们们了了解解到到，不不是是压压电电晶晶体体任任何何方方向向都都存存在在压压电电效效应应，而而只只有有一一些些特特定定方方向向才才存存在在压压电效应。电效应。第2页压电晶体切割压电晶体切割比比如如，石石英英晶晶体体，假假如如选选择择了了与与z z轴轴垂垂直直方方向向切切下下一一块块晶晶片片（即即晶晶片片厚厚度度方方向向与与z z轴轴平平行行），不不论论对对此此晶晶体体作作用用什什么么力力，都都不不能能在在z z轴轴方方向向产产生生压压电电效效应应。假假如如选选择择了了与与x x轴轴垂垂直直方方向向切切下下一一块块晶晶片片，则则当当应应力力T T1 1、T T2 2或或T T4 4作作用用时时，在在x x方方向向能能产产生压电效应。生压电效应。第3页所所以以，用用压压电电晶晶体体做做压压电电元元件件时时，不不是是随随便便从从晶晶体体上上切切下下一一块块晶晶片片，就就能能够够做做成成所所需需要要元元件件，而而是是要要依依据据压压电电晶晶体体压压电电常常数数，以以及及对对压压电电元元件件性性能能设设计计要要求求，并并经经过过重重复复试试验验后后，才才能能找找到到较较适适当当方方向进行切割。向进行切割。第4页切割符号要求切割符号要求 x x、y y、z z代代表表晶晶体体三三个个坐坐标标轴轴，l l、w w、t t代代表表晶片长度、宽度、厚度。晶片长度、宽度、厚度。比比如如：xyxy切切割割表表示示晶晶片片厚厚度度与与x x轴轴平平行行，长长度度与与y y轴轴平平行行（即即第第一一个个字字母母代代表表厚厚度度方方向向，第第二个字母代表长度方向二个字母代表长度方向）。）。又又如如：xzxz切切割割表表示示晶晶片片厚厚度度与与x x轴轴平平行行，长长度度与与z z轴轴平平行行。也也有有把把xyxy切切割割和和xzxz切切割割简简称称为为x x切割。切割。l length,ength,w width,idth,t 第5页图图4-13 4-13 晶片切割示意图晶片切割示意图XY-XY-切割切割XY-cutXY-cutXZ-XZ-切割切割XZ-cutXZ-cutYZ-YZ-切割切割YZ-cutYZ-第6页图图4-13 4-13 晶片切割示意图晶片切割示意图YX-YX-切割切割YX-cutYX-cutZX-ZX-切割切割ZX-cutZX-cutZY-ZY-切割切割ZY-cutZY-第7页一次旋转切割yzw-50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕宽度沿顺时针方向旋转50，即即第第一一个个字字母母代代表表厚厚度度方方向向，第第二二个个字字母母代代表表长长度度方方向向，第第三三个个字字母母代代表表转转轴轴方向，方向，-50-50 代表沿顺时针方向旋转代表沿顺时针方向旋转5050。xyt+45切割，表示厚度方向平行于x轴，长轴平行于z轴，并绕厚度沿逆时针方向旋转45，有时简称这种切割为45x切割。第8页yzw-50yzw-50切割切割yzw-50 cutyzw-50 cutxyt+45xyt+45切割切割xyt+45 cutxyt+45 第9页二次旋转切割yzlt40/50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕长度沿逆时针方向旋转40，再绕厚度沿逆时针方向旋转50。yzlt+40yzlt+40/50/50 第10页酒石酸钾钠晶体切割酒石酸钾钠晶体NaKC4H4O6-4H2O（即罗息盐）属于正交晶系222点群，它压电常数为第11页当电场当电场E=0E=0时，电位移时，电位移D D与应力张量之间关系为：与应力张量之间关系为：第12页当应力为零时，电场当应力为零时，电场E E与应变张量之间关系为与应变张量之间关系为第13页可可见见当当酒酒石石酸酸钾钾钠钠晶晶体体分分别别受受到到应应力力X X4 4、X X5 5或或X X6 6作作用用时时，将将分分别别在在x x方方向向、y y方方向向或或z z方方向向产产生生压压电电效效应应。对对于于x x切切割割酒酒石石酸酸钾钾钠钠晶晶片片，要要它它在在x x方方向向出出现现正正压压电电效效应应时时，必必须须使使晶晶片片受受到到切切应应力力X X4 4作作用用。实实际际上上要要在在晶晶体体上上作作用用一一个个切切应应力力是是比比较较困困难难，所所以以用用x x切切割割晶晶片片经经过过D D1 1=d=d1414X X4 4关关系系式式来来测测定定压压电电常数常数d d1414是不方便。是不方便。第14页其其次次当当x x切切割割晶晶片片受受到到x x方方向向电电场场E E1 1作作用用时时，经经过过逆逆压压电电效效应应，晶晶片片产产生生切切应应变变x x4 4，而而不不能能产产生生身身长长缩缩短短应应变变。为为了了得得到到能能产产生生伸伸缩缩振振动动晶晶片片，生生产产 上上 常常 采采 取取 4545 x x切切 割割。从从 图图 4-144-14看看 出出：（1 1）4545 x x切切割割是是利利用用晶晶片片切切应应变变转转为为沿沿长长度度方方向向伸伸缩缩应应变变。（2 2）4545 x x切切割割长长度度与与宽宽度度不不在在和和晶体晶体y y轴与轴与z z轴平行。轴平行。第15页图图4-14 4-14 酒石酸钾钠酒石酸钾钠4545 x x切割切割第16页坐标变了，不能直接使用（坐标变了，不能直接使用（4-184-18）式来描写）式来描写4545 x x切割晶片压电行为，需要对压电常数进行切割晶片压电行为，需要对压电常数进行坐标变换，求出压电常数在新坐标系中矩阵表坐标变换，求出压电常数在新坐标系中矩阵表示式。在新坐标系中压电常数矩阵为示式。在新坐标系中压电常数矩阵为 第17页新坐标系中压电常数矩阵新坐标系中压电常数矩阵第18页即新坐标系中压电常数与旧坐标系中即新坐标系中压电常数与旧坐标系中压电常数之间关系为压电常数之间关系为第19页假如假如4545 x x切割晶片只受到切割晶片只受到yy方向（即方向（即长度方向）应力长度方向）应力XX2 2作用时，在作用时，在x x方向产方向产生电位移生电位移DD1 1为，为，第20页可可见见经经过过DD1 1=d=d1414XX2 2/2/2来来测测定定压压电电常常数数d d1414时时，只只需需要要用用张张力力或或压压力力，这这就就比比经经过过D D1 1=d=d1414X X4 4来测定压电常数来测定压电常数d d1414方便多。方便多。试试验验上上，惯惯用用4545 x x切切割割晶晶片片来来测测定定酒酒石石酸酸钾钾钠钠晶晶体体压压电电常常数数d d1414；用用4545 y y切切割割晶晶片片来来测测定定d d2525；用；用4545 z z切割晶片来测定切割晶片来测定d d3636。第21页这些压电常数数值为：这些压电常数数值为：d d1414=345=345 1010-12-12库仑库仑/牛顿牛顿 d d2525=-54=-54 1010-12-12库仑库仑/牛顿牛顿d d3636=12=12 1010-12-12库仑库仑/牛顿牛顿第22页 石英晶体切割石英晶体切割 石石英英晶晶体体z z轴轴是是光光轴轴，z z切切割割晶晶片片在在z z方方向向无无压压电电效效应应。x x切切割割是是最最早早采采取取切切割割，x x 切切割割晶晶片片，频频率率温温度度系系数数约约为为-30-30 1010-6-6/度度左左右右，还还不不够够理理想想。y y切切割割晶晶片片，频频率率温温度度系系数数较较高高，约约为为100100 1010-6-6/度度左左右右。所所以以生生产产上上很很小小采采取取y y切切割割晶晶片片。当当前前生生产产上上广广泛泛采采取取切切割方式，如图割方式，如图4-154-15所表示。所表示。第23页第24页图图4-15 4-15 常见石英晶体切型常见石英晶体切型第25页这这些些切切割割温温度度系系数数，在在较较广广温温度度范范围围内内靠靠近于零。近于零。在高频方面惯用切割有在高频方面惯用切割有:ATAT切切割割（=35=35 1515）适适合合用用于于250kHz250kHz3MHz3MHz；BTBT切割（切割（=-49=-49）适合用于）适合用于3MHz3MHz以上；以上；第26页在低频方面惯用切割有：在低频方面惯用切割有：CTCT切切割割（=38=38 3636）适适合合用用于于100kHz100kHz400kHz400kHz；DTDT切切 割割（=-51=-51）适适 合合 用用 于于 70kHz70kHz500kHz500kHz；ETET切切 割割（=66=66）适适 合合 用用 于于250kHz800kHz250kHz800kHz；FTFT切切割割（=-57=-57）适适合合用于用于200kHz600kHz200kHz600kHz；GTGT切割适合用于切割适合用于100kHz500kHz100kHz500kHz；第27页钛酸钡钛酸钡z z切割晶片切割晶片压电方程压电方程 晶体介电性质所遵从电学规律，要用电位晶体介电性质所遵从电学规律，要用电位移移D D（极化强度（极化强度P P）与电场）与电场E E之间关系式来之间关系式来描写。描写。第28页晶晶体体弹弹性性性性质质所所遵遵从从力力学学规规律律，要要用用应应力力张张量量X X与与应应变变张张量量x x之之间间关关系系式式广广义义胡胡克克定律来描写。定律来描写。或或第29页一一样样，压压电电晶晶体体压压电电性性质质所所遵遵从从机机电电规规律律，要要用用电电位位移移D D，电电场场强强度度E E，应应力力张张量量X X，应应变变张张量量x x之之间间关关系系压压电电方方程程来来描写。描写。下下面面先先以以钛钛酸酸钡钡晶晶体体z z切切割割为为例例，进进行行分分析析讨讨论论。然然后后推推广广到到普普通通情情况况下下压压电电方方程。程。第30页实实际际生生产产上上常常使使用用压压电电元元件件形形状状，大大多多数数是是薄薄长长片片或或薄薄圆圆片片等等简简单单形形状状。又又因因为为钛钛酸酸钡钡压压电电常常数数d d3131 0 0，所所以以可可选选择择钛钛酸酸钡钡zxzx切切割割晶晶片片为为例例。这这么么切切割割晶晶片片，长长度度l l沿沿x x方方向向，厚厚度度l lt t沿沿z z方方向向和和宽宽度度l lw w沿沿y y方方向向。即即晶晶片片坐坐标标轴轴与与晶晶体体坐坐标标轴轴一一致。致。第31页图图4-16 4-16 钛酸钡钛酸钡zxzx切割晶片示意图切割晶片示意图 第32页因因为为晶晶片片长长度度ll宽宽度度l lw w和和厚厚度度l lt t，长长度度是是主主要要矛矛盾盾，故故只只要要考考虑虑x x方方向向应应力力T T1 1作作用用，其其它它应应力力分分量量X X2 2、X X3 3、X X4 4、X X5 5、X X6 6能能够够忽忽略略不不计计；因因为为晶晶片片电电极极面面与与z z面面垂垂直直，故故只只要要考考虑虑电电场场E E3 3作作用用，其其它它电电场分量场分量E E1 1、E E2 2能够忽略不计。能够忽略不计。第33页现现在在只只考考虑虑在在应应力力X X1 1和和电电场场E E3 3作作用用下下晶晶片片形形变变。当当电电场场E E3 3=0=0，应应力力X X1 1 0 0时时，晶晶片片在在应应力力X X1 1作用下产生弹性形变为，作用下产生弹性形变为，弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sE E1111上上标标E E表表示示电电场场E=0E=0（或或E E为为常常数数），即即s sE E1111代代表表E=0E=0弹弹性性柔柔顺顺常常数数，故称故称短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数。第34页当电场当电场E E3 3 0 0，应力，应力X X1 1=0=0时，晶片在电场时，晶片在电场E E3 3作作用下经过逆压电效应产生压电应变为，用下经过逆压电效应产生压电应变为，第35页当当电电场场E E3 3 0 0，应应力力X X1 1 0 0时时，晶晶片片在在应应力力X X1 1和和电电场场E E3 3作作用用下下，产产生生应应变变应应该该是是弹弹性性应应变变和压电应变之和，即和压电应变之和，即第36页在在应应力力X X1 1和和电电场场E E3 3作作用用下下晶晶片片电电位位移移：当当电电场场E E3 3 0 0，应应力力X X1 1=0=0时时，晶晶片片在在电电场场E E3 3作作用用下下产生介电电位移为产生介电电位移为介介电电常常数数 X X3333上上标标X X表表示示应应力力X=0X=0（或或X X为为常常数数），即即 X X3333代代表表X=0X=0（或或X X为为常常数数）时时介介电电常数，称为常数，称为机械自由介电常数机械自由介电常数。第37页当当电电场场E E3 3=0=0，应应力力X X1 1 0 0时时，晶晶片片在在应应力力X X1 1作作用用下下经经过正压电效应产生压电电位移为，过正压电效应产生压电电位移为，当当电电场场E E3 3 0 0，应应力力X X1 1 0 0时时，晶晶片片在在应应力力X X1 1和和电电场场E E3 3作作用用下下，产产生生电电位位移移应应该该是是介介电电电电位位移移与与压压电电电位移之和，即电位移之和，即 第38页最最终终得得到到钛钛酸酸钡钡晶晶体体zxzx切切割割晶晶片片压压电电方方程程为为（以以应力应力X X和电场强度和电场强度E E为自变量）：为自变量）：上被称为上被称为第一类压电方程组第一类压电方程组。第39页第一类压电方程组第一类压电方程组普通形式为普通形式为矩阵形式为矩阵形式为d d：压电应变常数：压电应变常数压电位移器要求高压电位移器要求高d d常数常数原子力显微镜原子力显微镜第40页这这个个方方程程组组特特点点在在于于以以应应力力X X、电电场场强强度度E E为为自自变变量量，应应变变x x、电电位位移移D D为为因因变变量量；即即认认为为应应变变x x、电电位位移移D D改改变变是是由由应应力力X X、电电场场E E改改变变引引发发。式式中中还还包包含含了了短短路路弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sE E1111，自自由由介介电电常常数数 X X3333以及压电常数以及压电常数d d3131。第41页边界条件边界条件 boundary conditions boundary conditions通通常常测测量量样样品品频频率率特特征征（谐谐振振频频率率和和反反谐谐振振频频率率）时时，晶晶片片中中心心被被夹夹住住，晶晶片片边边界界却却处处于于机机械械自自由由状态。状态。这这时时边边界界上上应应力力X|X|边边界界=0=0，应应变变x x 0 0，这这么么边边界界称称为为机械自由边界条件，或称边界自由条件机械自由边界条件，或称边界自由条件。第42页不不过过应应该该注注意意，边边界界自自由由条条件件只只表表示示样样品品在在边边界界上上应应力力为为零零，样样品品内内应应力力普普通通情情况况下下并并不不等等于于零零，只只有有在在低低频频情情况况下下，样样品品内内应应力力才才靠靠近近于于零零，所所以以在在边边界界自自由由和和低低频频条条件件下下，测测得得介介电电常常数数才才是是（机械）自由介电常数（机械）自由介电常数 X X3333。第43页若若测测量量电电路路电电阻阻远远小小于于样样品品电电阻阻，则则可可认认为为外外电电路路处处于于短短路路状状态态，这这时时电电极极面面上上没没有有电电荷荷积积累累，样样品品内内E=0E=0（或或为为常常数数）。这这么么电电学学边边界界条条件件称称为为（电电学学）短短路路边边界界条条件件。在在短短路路条条件件下下测测得得弹弹性性柔柔顺顺常常数数才才是是短短路路弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sE E1111。第44页其它边界条件其它边界条件比比如如测测量量时时，样样品品边边界界被被刚刚性性夹夹住住，这这时时边边界界上上应应变变x|x|边边界界=0=0，应应力力X X 0 0，这这么么边边界界条条件件称称为为机机械械夹夹住住边边界界条条件件，或或称称边边界界夹夹住住条条件件，或或者者边边界界夹持条件。夹持条件。也也应应注注意意，边边界界夹夹持持条条件件，只只是是表表示示样样品品在在边边界界上上应应变变为为零零，样样品品内内应应变变普普通通情情况况下下并并不不等等于于零零，只只有有当当频频率率非非常常高高情情况况下下，样样品品内内应应变变才才靠靠近近于于零零，所所以以在在非非常常高高频频率率下下测测得得介介电电常常数数才才是是夹夹住住介电常数介电常数 x xmnmn。第45页若若测测量量电电路路电电阻阻远远大大于于晶晶片片内内电电阻阻，则则可可认认为为外外电电路路处处于于开开路路状状态态，这这时时电电极极面面上上自自由由电电荷荷保保持持不不变变，样样品品内内电电位位移移D D为为常常数数（或或D=0D=0）。这这么么电电学学边边界界条条件件称称为为（电电学学）开开路路边边界界条条件件，简简称称开开路路条条件件。在在开开路路条条件件下下测测得得弹弹性性柔柔顺顺常常数才是数才是开路弹性柔顺常数开路弹性柔顺常数s sD Dijij。第46页四个边界条件：四个边界条件：机械边界条件有两种机械边界条件有两种,即即:边界自由条件边界自由条件,边界夹住条件边界夹住条件;Free and clampedFree and clamped电学边界条件也有两种电学边界条件也有两种,即即:短路条件短路条件,开路条件开路条件。Short and openShort and 第47页从从二二种种机机械械边边界界条条件件和和二二种种电电学学边边界界条条件件中中各各选选一一个个，就就可可组组成成四四类类不不一一样样边边界条件界条件：（1 1）机械自由和电学短路条件；）机械自由和电学短路条件；（2 2）机械夹持和电学短路条件；）机械夹持和电学短路条件；（3 3）机械自由和电学开路条件；）机械自由和电学开路条件；（4 4）机械夹持和电学开路条件。）机械夹持和电学开路条件。第48页对对于于不不一一样样边边界界条条件件，为为了了运运算算方方便便，就就必必须须选选择择不不一一样样自自变变量量。比比如如，当当边边界界条条件件为为边边界界自自由由条条件件和和短短路路条条件件时时，以以选选应应力力张张量量X X和和电电场场强强度度E E为为自自变变量量，应应变变张张量量x x 和和电电位位移移D D为为因因变变量量较较方方便便，对对应应压压电电方方程程组组就就是是第第一一类类压压电电方方程组。程组。与与其其它它各各类类边边界界条条件件相相适适应应自自变变量量与与压压电电方方程程组以下。组以下。第49页第二类压电方程组第二类压电方程组假假如如在在测测量量上上述述z z切切割割钛钛酸酸钡钡晶晶片片时时，在在晶晶片片长长度度两两端端被被刚刚性性夹夹具具所所夹夹住住，即即边边界界上上应应变变x=0 x=0，应应力力X X 0 0；而而且且外外电电路路电电阻阻远远小小于于晶晶片片内内电电阻阻，在在电电极极面面上上无无电电荷荷积积累累，即即电电压压保保持持不不变变（或或E=E=常常数数），电电位位移移D D 常常数数。这这时时晶晶片片边边界界条条件件为为机机械械夹夹持持和和电电学短路学短路条件。条件。第50页在在此此边边界界条条件件下下，以以选选应应变变张张量量x x和和电电场场强强度度E E为为自自变变量量，应应力力张张量量X X和和电电位位移移D D为为因因变变量较方便。对应第二类压电方程组为量较方便。对应第二类压电方程组为 第51页式中式中:c cE E1111=(=(X X1 1/x x1 1)E E称称为为短短路路弹弹性性刚刚度度常常数数，是是在在外电路为短路条件下，测得弹性刚度常数；外电路为短路条件下，测得弹性刚度常数；E E3333=(=(D D3 3/E E3 3)x x称称为为机机械械夹夹持持介介电电常常数数，是是在在机械夹持条件下，测得介电常数。机械夹持条件下，测得介电常数。第52页e e3131称为第二类压电常数（也称称为第二类压电常数（也称压电应力常数压电应力常数）。）。它它意意义义为为：e e3131=(=(D D3 3/x x1 1)E E为为在在短短路路条条件件下下，因因为为晶晶片片沿沿x x方方向向应应变变x x1 1改改变变，引引发发沿沿z z方方向向电电位位移移改变与应变改变与应变x x1 1改变之比。改变之比。或或者者：e e3131=-(=-(X X1 1/E E3 3)x x为为机机械械夹夹持持条条件件下下，因因为为沿沿z z方方向向电电场场强强度度E E3 3改改变变，引引发发沿沿x x方方向向应应力力X X1 1改改变变与与E E3 3改改变变之之比比。负负号号表表示示电电场场强强度度E E3 3增增加加时时，应力应力X X1 1变小。变小。第53页第二类压电方程组第二类压电方程组普通形式为普通形式为矩阵形式为矩阵形式为e:e:压电应力常数压电应力常数第54页第三类压电方程组第三类压电方程组当当边边界界条条件件为为机机械械自自由由和和电电学学开开路路情情况况下下，以以选选应应力力张张量量X X和和电电位位移移D D为为自自变变量量，应应变变张张量量x x和和电电场场强强度度E E为为因因变变量量比比较较方方便便，对对应应第第三三类类压压电电方程组，方程组，第55页式中：式中：s sD D1111=(=(x x1 1/X X1 1)D D称称为为开开路路弹弹性性柔柔顺顺常常数数，是是在在外电路为开路条件下，测得弹性柔顺常数；外电路为开路条件下，测得弹性柔顺常数；X X3333=(=(E E3 3/D D3 3)X X称称为为自自由由介介电电隔隔离离率率，它它等等于于自自由由介介电电常常数数 X X3333倒倒数数，即即 X X3333=1/=1/X X3333，是是在在机机械械自自由由条条件件下下，测测得得介介电电隔隔离离率率，或或介介电电常常数数倒倒数数1/1/X X3333。第56页g g3131称为第三类压电常数，也称称为第三类压电常数，也称压电电压常数压电电压常数。它它意意义义为为：g g3131=(=(x x1 1/D D3 3)X X为为在在机机械械自自由由条条件件下下，因因为为晶晶片片沿沿z z方方向向电电位位移移D D3 3改改变变，引引发发沿沿x x方向应变方向应变x x1 1改变与改变与D D3 3改变之比。改变之比。或或者者g g3131=-(=-(E E3 3/X X1 1)D D为为开开路路条条件件下下，因因为为沿沿x x方方向向应应力力X X1 1改改变变，引引发发沿沿z z方方向向电电场场强强度度E E3 3改改变变与与X X1 1改改变变之之比比，负负号号表表示示应应力力X X1 1增增加加时时，电电场场强强度度E E3 3变小。变小。第57页第三类压电方程组第三类压电方程组普通形式为普通形式为矩阵形式为矩阵形式为g:g:压电电压常数压电电压常数压电点火器要求高压电点火器要求高g g常数常数第58页第四类压电方程组第四类压电方程组 当边界条件为机械夹持和电学开路情况下，以选当边界条件为机械夹持和电学开路情况下，以选应变张量应变张量x x和电位移和电位移D D为自变量，应力张量为自变量，应力张量X X和电场和电场强度强度E E为因变量比较方便，对应第四类压电方程组，为因变量比较方便，对应第四类压电方程组，第59页式中：式中：c cD D1111=(=(X X1 1/x x1 1)D D称称为为开开路路弹弹性性刚刚度度柔柔顺顺常常数数，是在外电路为开路条件下，测得弹性刚度常数；是在外电路为开路条件下，测得弹性刚度常数；x x3333=(=(E E3 3/D D3 3)x x称称为为夹夹持持介介电电隔隔离离率率，它它等等于于夹夹持持介介电电常常数数 x x3333倒倒数数，即即 x x3333=1/=1/x x3333，是是在在机机械械夹夹持持条条件件下下测测得得介介电电隔隔离离率率，或或介介电电常常数数倒倒数数1/1/x x3333。第60页h h3131称为第四类压电常数（也称称为第四类压电常数（也称压电刚度常数）。压电刚度常数）。它它物物理理意意义义为为：g g3131=-(=-(X X1 1/D D3 3)x x为为在在机机械械夹夹持持条条件件下下，因因为为沿沿z z方方向向电电位位移移D D3 3改改变变，引引发发沿沿x x方方向向应应力力X X1 1改改变变与与D D3 3改改变变之之比比，负负号号表表示示电电位位移移D D3 3增增加加时，应力时，应力X X1 1变小。变小。或或者者h h3131=-(=-(E E3 3/x x1 1)D D为为电电学学开开路路条条件件下下，因因为为沿沿x x方方向向应应变变x x1 1改改变变，引引发发沿沿z z方方向向电电场场强强度度E E3 3改改变变与与x x1 1改改变变之之比比，负负号号表表示示应应变变x x1 1增增加加时时，电电场场强强度度E E3 3变小。变小。第61页第四类压电方程组第四类压电方程组普通形式为普通形式为矩阵形式为矩阵形式为h:h:压电刚度常数压电刚度常数第62页旋转坐标系中压电方程组旋转坐标系中压电方程组前面介绍压电方程组是在前面介绍压电方程组是在主轴坐标系中压电主轴坐标系中压电方程组方程组,介电常数介电常数,弹性常数和压电常数都是弹性常数和压电常数都是在主轴坐标系中数值。这些数值能够在相关在主轴坐标系中数值。这些数值能够在相关手册中查到。手册中查到。不过实用压电晶片所处坐标系（普通以晶片不过实用压电晶片所处坐标系（普通以晶片长、宽、厚为坐标轴）与主轴坐标系不一样。长、宽、厚为坐标轴）与主轴坐标系不一样。第63页以第一类压电方程组为例介绍怎样得到旋以第一类压电方程组为例介绍怎样得到旋转坐标系中压电方程组，其它压电方程组转坐标系中压电方程组，其它压电方程组变换类似。变换类似。第64页变换矩阵坐标变换：电学量变换：力学量变换：第65页第66页第67页例：绕例：绕x x轴旋转轴旋转 后后-石英晶体第一类压电方石英晶体第一类压电方程组程组第68页介电常数介电常数第69页式中：式中：第70页弹性常数弹性常数第71页变换矩阵变换矩阵N N第72页第73页式中：式中：第74页压电常数压电常数第75页式中：式中：第76页新坐标系中压电方程组为新坐标系中压电方程组为第77页压电方程组常数之间关系压电方程组常数之间关系 因为自变量不一样，共得到了四类压电方因为自变量不一样，共得到了四类压电方程组，都是晶体压电性质所遵从规律，所程组，都是晶体压电性质所遵从规律，所以它们之间不是相互不相关，而是存在一以它们之间不是相互不相关，而是存在一定联络。这个联络一定会在各压电方程组定联络。这个联络一定会在各压电方程组常数之间反应出来。就是说，各压电方程常数之间反应出来。就是说，各压电方程组常数之间存在一定关系。组常数之间存在一定关系。第78页在四类压电方程组中有：在四类压电方程组中有：（1 1）反反应应压压电电晶晶体体弹弹性性性性质质常常数数，如如s sE E1111、s sD D1111和和c cE E1111、c cD D1111等机械参量；等机械参量；（2 2）反反应应压压电电晶晶体体介介电电性性质质常常数数，如如 x x3333、X X3333和和 x x3333、X X3333等电学参量；等电学参量；（3 3）反反应应压压电电晶晶体体压压电电性性质质常常数数，如如d d3131、e e3131、g g3131、h h3131等机电参量。等机电参量。第79页由第一类压电方程组（由第一类压电方程组（4-234-23）式中第一式可得：）式中第一式可得：第80页再再将将此此式式代代入入第第一一类类压压电电方方程程组组（4-234-23）式式中中第第二式可得：二式可得：第81页整理得：整理得：第二类压电方程组第二类压电方程组第82页将此两式与第二类压电方程组（将此两式与第二类压电方程组（4-244-24）式比较能）式比较能够得到够得到:（1 1）c cE E1111=(s=(sE E1111)-1-1这表明这表明z z切割钛酸钡晶片开路弹切割钛酸钡晶片开路弹性刚度常数性刚度常数c cE E1111为开路弹性柔顺常数为开路弹性柔顺常数s sE E1111倒数。倒数。第83页（2 2）e e3131=d=d3131(s(sE E1111)-1-1=d d3131c cE E1111这这表表明明z z切切割割钛钛酸酸钡钡晶晶片片第第二二类类压压电电常常数数e e3131为为第第一一类类压压电电常常数数d d3131与与短短路路弹弹性性刚刚度度常常数数c cE E1111乘乘积积，或或第第一一类类压压电电常常数数d d3131为为第第二二类类压压电电常常数数e e3131与与开开路路弹弹性性柔柔顺顺常数常数s sE E1111乘积。乘积。第84页（3 3）x x3333=X X3333-d d3131(s(sE E1111)-1-1d d3131=X X3333-e e3131d d3131 或或 X X3333-x x3333=e=e3131d d3131这这表表明明z z切切割割钛钛酸酸钡钡晶晶片片自自由由介介电电常常数数 X X3333与与夹夹持持介介电电常常数数 x x3333之之差差等等于于e e3131与与d d3131只只乘乘积积。采采取取上上述述类类似似方方法法，可可深深入入得得到到诸诸常常数之间关系如表数之间关系如表4-24-2所表示。所表示。第85页表表4-2 4-2 钛酸钡钛酸钡z z切割晶片各常数之切割晶片各常数之间关系式间关系式n介电常数与压电常数之间关系n弹性常数与压电常数之间关系n压电常数与介电常数、弹性常数之间关系第86页次级压电效应次级压电效应为为了了深深入入说说明明介介电电常常数数 X X3333与与 x x3333之之间间以以及及弹弹性性常常数数s sE E1111与与s sD D1111之之间间差差异异是是什什么么原原因因造造成成，这这里里首首先先要介绍二级压电效应。要介绍二级压电效应。二级压电效应又称为次级压电效应。二级压电效应又称为次级压电效应。Secondary piezoelectric effectSecondary piezoelectric 第87页当当z z切切割割钛钛酸酸钡钡晶晶片片只只受受到到应应力力X X1 1作作用用时时，作作为为弹弹性介质它将产生弹性应变性介质它将产生弹性应变x x1 1(1)(1)，即，即作作为为压压电电晶晶体体，X X1 1还还将将经经过过正正压压电电效效应应（即即第第一一次压电效应），产生压电电场次压电效应），产生压电电场EE3 3，即，即而压电电压将再经过压电效应（即第二次压电效而压电电压将再经过压电效应（即第二次压电效应），使晶片又产生一个附加压电应变应），使晶片又产生一个附加压电应变x x1 1(2)(2)第88页可可见见附附加加压压电电效效应应是是因因为为对对同同一一晶晶片片考考虑虑了了第第二二次次压压电电效效应应结结果果，常常称称为为二二级级压压电电效应（第一次压电效应称为一级压电效应）。效应（第一次压电效应称为一级压电效应）。第89页一一样样，当当晶晶片片只只受受到到电电场场E E3 3作作用用时时，作作为为电电介介质质它将产生极化，对应电位移它将产生极化，对应电位移D D3 3(1)(1)为为 作作为为压压电电晶晶体体，E E3 3还还将将经经过过逆逆压压电电效效应应（一一级级压压电效应），产生压电应变，电效应），产生压电应变，xx1 1即即而而压压电电应应变变将将再再经经过过正正压压电电效效应应（二二级级压压电电效效应应），使晶片又产生一个附加压电电位移，使晶片又产生一个附加压电电位移D D3 3(2)(2)，第90页可可见见附附加加压压电电电电位位移移也也是是二二级级压压电电效效应应。以以上上讨讨论论了了二二级级压压电电效效应应，要要不不要要再再讨讨论论三阶以上压电效应？三阶以上压电效应？因因为为二二级级压压电电效效应应比比一一级级压压电电效效应应小小得得多多，三三级级压压电电效效应应比比二二级级压压电电效效应应小小得得多多，所所以以普普通通情情况况下下不不再再需需要要考考虑虑三三级级以以上上压压电电效应。效应。第91页夹持介电常数与自由介电常数夹持介电常数与自由介电常数 普普通通电电介介质质不不存存在在压压电电效效应应，所所以以介介电电性性质质与与机机械性质无关，即有械性质无关，即有 X X3333=x x3333=3333。可可见见对对于于非非压压电电体体，只只要要用用介介电电常常数数 ijij来来描描写写介介电电性性质质就就够够了了。不不过过对对于于压压电电体体，其其介介电电性性质质与与机机械械条条件件相相关关，所所以以存存在在夹夹持持介介电电常常数数 x x3333与与自自由由介介电电常常数数 X X3333之之别别。所所谓谓机机械械“夹夹持持”是是晶晶体体被被刚刚性性夹夹具具夹夹住住，不不论论在在多多大大电电场场作作用用下下，都都不不能使晶体产生形变。能使晶体产生形变。第92页Clamped Clamped（夹持（夹持 夹住夹住 夹紧）夹紧）这这时时电电场场对对压压电电晶晶体体作作用用，只只能能使使之之产产生生介介电电极极化化，而而不不能能经经过过二二级级压压电电效效应应产产生生附附加加压压电电极极化化。也也就就是是说说在在机机械械夹夹持持条条件件下下，电电场场在在压压电电体体中中所所引引发发作作用用与与它它在在普普通通电电介介质质所所起起作作用用相同。机械夹持状态下相同。机械夹持状态下对应电位移为：对应电位移为：第93页Mechanical freeMechanical free所所谓谓机机械械“自自由由”是是压压电电体体处处于于自自由由状状态态。这这时时压压电电体体在在电电场场作作用用下下，能能够够产产生生自自由由形形变变，所所以以电电场场在在压压电电晶晶体体中中作作用用，除除了了使使晶晶体体产产生生极极化化外外，还还能能经经过过二二级级压压电电效效应应使使之之产产生生附附加加压压电电极极化化。也也就就是是说说在在机机械械自自由由条条件件下下，电电场场在在压压电电体体中中所所起起作作用用要要大大于于它它在在普普通通非非压压电电体体中作用。中作用。第94页可可见见自自由由介介电电常常数数 X X3333与与夹夹持持介介电电常常数数 x x3333差差异异是是因为二级压电效应造成。因为二级压电效应造成。在机械自由条件下，对应电位移为：在机械自由条件下，对应电位移为：故得：故得：第95页n数值举比如下：n钛酸钡晶体（25C）：X33=168，x33=109，故有X33-x33=59；n铌酸锂晶体：X33=30，x33=29，故有 X33-x33=1；n钛酸钡陶瓷：X33=1700，x33=1260，故有X33-x33=440；nPZT-4陶瓷：X33=1300，x33=635，故有X33-x33=665。第96页短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数短路弹性柔顺常数s s s sE E E E11111111和开路弹性柔顺常数和开路弹性柔顺常数和开路弹性柔顺常数和开路弹性柔顺常数s s s sD D D D11111111 普普通通弹弹性性介介质质不不存存在在压压电电效效应应,弹弹性性性性质质与与电电学学边边界界条条件件无无关关,所所以以即即有有s sE E1111=s=sD D1111=s=s1111。可可见见对对于于非非压压电电体体只只要要用用弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sijij来来描描述述弹弹性性性性质质就就足足够够了了。不不过过对对压压电电体体，因因为为存存在在压压电电效效应应，压压电电体体弹弹性性性性质质与与电电学学边边界界条条件件相相关关，所所以以存存在在短短路路弹弹性性柔柔顺顺常常数数s sE E1111和和开开路路弹弹性性柔柔顺顺常数常数s s