广东深圳市南山区2024年八年级下学期期末数学试题含答案.pdf

第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第二学期期末教学质量监测学年度第二学期期末教学质量监测八年级数学试题八年级数学试题 说明：说明：1.答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卷指定的位置上。答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卷指定的位置上。2.全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 6 页；考试时间页；考试时间 90 分钟，满分钟，满分分 100 分分.3.本卷试题，考生必须在答题卡上作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无本卷试题，考生必须在答题卡上作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。答题效。答题 卡必须保持清洁，不能折叠卡必须保持清洁，不能折叠.4.本卷选择题本卷选择题 110，每小题选出答案后，用，每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡选择题答题区内对应题铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题 1122，答案答案(含作辅助含作辅助 线线)必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区规定必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区规定范围内范围内.5.考试结束，请将答题卡交回考试结束，请将答题卡交回.第第 一一 部分选择题部分选择题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出四个选项中，只有一项是在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用符合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔填涂在答题卡上）铅笔填涂在答题卡上）1.如果分式xx1有意义，则x的取值范围是（）A.x0B.x1C.x1D.x12.下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为 v 千米/小时，则符合限速规定的 v应 满足的条件是（）A.120v B.100v C.60120vD.60v 4.下列因式分解的结果正确的是（）广东深圳市南山区2024年八年级下学期期末数学试题含答案 第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 A.()222abab+=+B.()()22333ababab=+C.()22424xxxx=D.()22121xxx x+=+5.如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点 O，且垂直于地面于点 C，0.6mOC=当它的一端 A着地时，另一端 B 离地面的高度为（）A.0.6m B.1m C.1.1m D.1.2m 6.有理数 a、b 对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（）A.ba B.ab D.abab+7.如图，在ABC中，8BC=cm 将ABC沿BC向右平移，得到DEF（点E在线段BC上），若要使3ADCE=成立，则平移的距离是（）A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 8.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 9.如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作AOB平分线的图示，对于三人不同的作法，其中正确的个数是（）的 第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.如图，在RtABC中，90BABBC=，点 P 从点 B 出发沿线段BC向点 C 运动，线段AP垂直平分线分别交ABAP、于点 M、N，设BMyBPx=，y 与 x 之间的函数图象如图所示，则图中 a 的值为（）A.4 B.2 5 C.5 D.4.5 第二部分非选择题第二部分非选择题 二、填空题二、填空题(每小题每小题 3 分，共计分，共计 15分分)11.一个多边形的内角和是外角和 2 倍，则这个多边形是_ 12.因式分解：2221x yxy+=_ 13.如图，直线11:lyk xb=+与直线22:lyk x=在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式12k xbk x+的解集为_ 的 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 14.如图，在ABCD 中，CE 平分BCD，交 AB 于点 E，EA3，EB5，ED4，则 CE的长是_ 15.若关于 x 的一元一次不等式组2133xxxm+至少有 2 个整数解，且关于 y 的分式方程1122ymyy+=的解是非负整数，则满足条件的整数 m 的和是_ 三三、解答题、解答题(本题共本题共 7 小题，其中第小题，其中第 16 题题 8 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 6 分，第分，第 19 题题 8 分，分，第第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 9 分，第分，第 22题题 10 分，共分，共 55 分分)16.（1）解不等式：173xx+；（2）解不等式组：()51 312151132xxxx+，并把它的解集在数轴上表示出来 17.解方程：31144xxx+=18.先化简，再求值：23422xxxxxx+，其 中8x=19.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC的顶点都在格点上.第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司（1）将ABC向左平移 6 个单位长度得到111ABC，请画出111ABC；（2）画出111ABC关于点 O 的中心对称图形222A B C；（3）若第一象限内存在点 D，使得以 A、B、C、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点 D的坐标为 （4）若将ABC绕某一点旋转可得到222A B C，那么旋转中心的坐标为 20.如图，在ABCD中，点 G、H分别AB、CD中点，点 E、F 在对角线AC上，（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形EGFH是平行四边形并说明理由；（2）连接BD交AC于点 O，若10BD=，OEOF=，AECFEF+=，求EG的长.21.第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进 A、B 两种文创饰品，采购 A 种饰品花了 1400 元，采购 B 种饰品花了 630元，其中 A 种数量是 B种数量的 2 倍，A 种的进价比 B 种的进价每件多 1元（1）A、B两种饰品每件进价分别为多少元?（2）该商铺计划购进 A、B 两种饰品共 600件，购进 B 种的件数不低于 390件，且不超过 A 种件数的 4倍，现采购 A 种饰品有优惠政策，若一次性采购 A种超过 150 件，A 种超过的部分按进价打 6折如果购进的这两种饰品均以每件 15 元全部售出，设购进 A种饰品 m 件，那么 m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润 22.综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 1，在RtABC中，90C=，6CA=，8CB=，将ABC绕点 A逆时针旋转得到ADE，旋转角小于CAB，点 B 的对应点为点 D，点 C的对应点为点 E，DE交AB于点 O，延长DE交BC于点 P 数学思考：（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由 是的 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 深入探究：（2）在以上图形旋转过程中，老师让同学们提出新的问题 “乐学小组”提出问题：如图 2，当45CAE=时，则线段BP的长为 “善思小组”提出问题：如图 3，当CAEB=时，求线段BP的长 的 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度第二学期期末教学质量监测学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题八年级数学试题 说明：说明：1.答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卷指定的位置上。答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卷指定的位置上。2.全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 6 页；考试时间页；考试时间 90 分钟，满分钟，满分分 100 分分.3.本卷试题，考生必须在答题卡上作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无本卷试题，考生必须在答题卡上作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。答题效。答题 卡必须保持清洁，不能折叠卡必须保持清洁，不能折叠.4.本卷选择题本卷选择题 110，每小题选出答案后，用，每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡选择题答题区内对应题铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题 1122，答案答案(含作辅助含作辅助 线线)必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区规定必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区规定范围内范围内.5.考试结束，请将答题卡交回考试结束，请将答题卡交回.第第 一一 部分选择题部分选择题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出四个选项中，只有一项是在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用符合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔填涂在答题卡上）铅笔填涂在答题卡上）1.如果分式xx1有意义，则x的取值范围是（）A.x0 B.x1 C.x1 D.x1【答案】B【解析】【分析】根据“要使分式有意义，即分母不能0”，列出不等式，解不等式即可【详解】要使分式有意义，则分母不能为 0，所以有x10，得到x1 故选 B【点睛】本题考查分式的有意义的条件，掌握分式定义是解题关键 2.下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 为 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 根据中心对称图形的概念求解【详解】解：A、不是中心对称图形故不合题意；B、是中心对称图形故符合题意；C、不是中心对称图形故不合题意；D、不是中心对称图形故不合题意 故选：B 3.小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为 v 千米/小时，则符合限速规定的 v应 满足的条件是（）A.120v B.100v C.60120v D.60v 【答案】C【解析】【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过 120，进而作答【详解】解：由图可知最低限速 60，60v，又自驾游的车属于小轿车，小轿车的最高速不超过 120，即120v，综上60120v，故选：C 4.下列因式分解的结果正确的是（）A.()222abab+=+B.()()22333ababab=+C.()22424xxxx=D.()22121xxx x+=+【答案】B【解析】第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了因式分解，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键【详解】解：A、()2222aabbab+=+，原式因式分解错误，不符合题意；B、()()()22223333abababab=+，原式因式分解正确，符合题意；C、()22422xxx x=，原式因式分解错误，不符合题意；D，()22211xxx+=，原式因式分解错误，不符合题意；故选：B 5.如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点 O，且垂直于地面于点 C，0.6mOC=当它的一端 A着地时，另一端 B 离地面的高度为（）A.0.6m B.1m C.1.1m D.1.2m【答案】D【解析】【分析】过点 B作BDAC交AC的延长线于 D，根据三角形中位线定理解答即可【详解】解：过点 B作BDAC交AC的延长线于 D，OCAC，OCBD，AOOB=，ACCD=，OC是ABD的中位线，21.2mBDOC=，故选：D【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键 6.有理数 a、b 对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（）第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 A.ba B.ab D.abab+【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了有理数加、减、乘法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握 根据图示，可得：0ba，据此逐项判断即可【详解】解：根据图示，可得0ba，ba，故 A 符合题意；ab，故 B 不符合题意；00ab,a，0ab,aba，C不符合题意；00ab,ab,abab+，点 P 从点 B 出发沿线段BC向点 C 运动，线段AP的垂直平分线分别交ABAP、于点 M、N，设BMyBPx=，y 与 x 之间的函数图象如图所示，则图中 a 的值为（）A.4 B.2 5 C.5 D.4.5 的的 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，先由线段垂直平分线的性质得到AMMP=，再由勾股定理得到2222PMBPBMxy=+=+，由图可知，当62.5xy=，则()222.566.5AMPM=+=，进而得到9ABAMBM=+=，则当0 xBP=，即点 M为AB的中点时，14.52aBMAB=【详解】解：如图所示，连接PM，线段AP的垂直平分线分别交ABAP、于点 M、N，AMMP=，90B，2222PMBPBMxy=+=+，由图可知，当62.5xy=，()222.566.5AMPM=+=，9ABAMBM=+=，当0 xBP=，即点 M为AB的中点时，14.52aBMAB=，故选：D 第二部分非选择题第二部分非选择题 二、填空题二、填空题(每小题每小题 3 分，共计分，共计 15分分)11.一个多边形的内角和是外角和 2 倍，则这个多边形是_【答案】六边形 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和定理和外角和能够根据多边形的内角和定理和外角和的特征，把求边数的问题就可以转化为解方程的问题是解题的关键多边形的外角和是360，则内角和是3602720=设这个多边形是 n边形，内角和是()2 180n，这样就得到一个关于 n 的方程，从而求出边数 n 的值【详解】解：设这个多边形是 n 边形，根据题意，得()2 1803602720n=，解得：6n=，即这个多边形为六边形 故答案为：六边形 12.因式分解：2221x yxy+=_【答案】()21xy【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可【详解】解：()222211x yxyxy+=，故答案：()21xy 13.如图，直线11:lyk xb=+与直线22:lyk x=在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式12k xbk x+的解集为_ 【答案】x-1【解析】【分析】求关于 x的不等式 k1x+bk2x 的解集就是求能使函数 y=k1x+b的图象在函数 y=k2x 的上边的自变量的取值范围【详解】由图象可以看出，在交点的左侧，相同的 x 值，l1的函数值较大，为 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 不等式 k1x+bk2x的解集为 x1，故答案为 x1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值的大小的问题是解决本题的关键 14.如图，在ABCD 中，CE 平分BCD，交 AB 于点 E，EA3，EB5，ED4，则 CE的长是_ 【答案】4 5【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得 ADBCEB5，根据勾股定理的逆定理可得AED90，再根据平行四边形的性质可得 CDAB8，EDC90，根据勾股定理可求 CE 的长【详解】解：CE平分BCD，BCEDCE，四边形 ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，ABCD，BECDCE，BECBCE，BCBE5，AD5，EA3，ED4，在AED中，32+4252，即 EA2+ED2AD2，AED90，CDAB3+58，EDC90，在 RtEDC中，CE2222484 5EDDC+=+=故答案为：4 5【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 15.若关于 x 的一元一次不等式组2133xxxm+至少有 2 个整数解，且关于 y 的分式方程1122ymyy+=的解是非负整数，则满足条件的整数 m 的和是_【答案】1【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键 先解不等式组，确定 m的取值范围4m，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 32my+=，由分式方程有非负整数解，确定出 m 的值，相加即可得到答案【详解】解不等式组 2133xxxm+得2.53,xm；（2）解不等式组：()51 312151132xxxx+，并把它的解集在数轴上表示出来 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）12x；（2）12x 移项得：73 1xx ，合并同类项得：84x，系数化为 1 得：12x；（2）()51 312151132xxxx+解不等式得：2x，解不等式得：1x ，不等式组的解集为12x，数轴表示如下所示：17.解方程：31144xxx+=【答案】x=3【解析】【分析】首先两边同乘以(x4)，将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，最后需要进行验根得出答案【详解】解：原方程化为：3x1=x4，即：2x=6，x=3，经检验：x=3是原方程的解，原方程的解为：x=3 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查的是解分式方程，属于基础题型解分式方程时最后需要进行验根 18.先化简，再求值：23422xxxxxx+，其 中8x=【答案】28x+，24【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可【详解】解：23422xxxxxx+()()()()2322422x xx xxxxx+=+()()()()222236222xxxxxxxxx+=+()()()()2222822xxxxxxx+=+228xxx+=28x=+，当8x=时，原式28824=+=19.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC的顶点都在格点上.第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（1）将ABC向左平移 6 个单位长度得到111ABC，请画出111ABC；（2）画出111ABC关于点 O 的中心对称图形222A B C；（3）若第一象限内存在点 D，使得以 A、B、C、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点 D的坐标为 （4）若将ABC绕某一点旋转可得到222A B C，那么旋转中心的坐标为 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）()5,6 （4）()3,0【解析】【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称及平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键（1）根据平移的性质作图即可（2）根据中心对称的性质作图即可（3）根据平移规律可得点 D 的坐标；（4）连接2AA，2BB，2CC，交于点 M，则ABC绕点 M 旋转180可得到222A B C，即可得出答案【小问 1 详解】解：如图，111ABC即为所求【小问 2 详解】解：如图，222A B C即为所求 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【小问 3 详解】解：()()1,1,4,2BC，点 C 可以看作点 B向右平移 3个单位再向上平移 1个单位得到的，将()2,5A作相同的变换可得点()5,6D，故答案为：()5,6；【小问 4 详解】解：连接2AA，2BB，2CC，交于点 M，则ABC绕点 M旋转180可得到222A B C，旋转中心 M的坐标为()3,0 故答案为：()3,0 20.如图，在ABCD中，点 G、H分别是AB、CD中点，点 E、F在对角线AC上，（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形EGFH是平行四边形并说明理由；（2）连接BD交AC于点 O，若10BD=，OEOF=，AECFEF+=，求EG的长.【答案】（1）AECF=（答案不唯一）（2）2.5【解析】第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键（1）先由平行四边形的性质及点 G，H分别是AB，CD的中点，得出AGE和CHF全等的条件，从而判定()SASAGECHF，然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GEHF=，GEHF，则可得出结论（2）先由平行四边形的性质及10BD=，得出5OBOD=再根据 AE=CF、AECFEF+=及OAOC=得出AEOE=，从而可得EG是ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度【小问 1 详解】解：添加AECF=（答案不唯一）理由：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，GAEHCF=，点 G，H分别是AB，CD的中点，AGCH=，AECF=，()SASAGECHF，GEHF=，AEGCFH=，GEFHFE=，GEHF，又GEHF=，四边形EGFH是平行四边形；【小问 2 详解】解：连接BD交AC于点 O，如图：四边形ABCD是平行四边形，OAOC=，OBOD=，10BD=，第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 5OBOD=，AECF=，OAOC=，OEOF=，AECFEF+=，22AEEFOE=，AEOE=，又点 G 是AB的中点，EG是ABO的中位线，12.52EGOB=EG的长为 2.5 21.第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进 A、B 两种文创饰品，采购 A 种饰品花了 1400 元，采购 B 种饰品花了 630元，其中 A 种数量是 B种数量2倍，A种的进价比 B 种的进价每件多 1元（1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元?（2）该商铺计划购进 A、B 两种饰品共 600件，购进 B 种的件数不低于 390件，且不超过 A 种件数的 4倍，现采购 A 种饰品有优惠政策，若一次性采购 A种超过 150 件，A 种超过的部分按进价打 6折如果购进的这两种饰品均以每件 15 元全部售出，设购进 A种饰品 m 件，那么 m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润【答案】（1）A 种饰品每件的进价为 10 元，则 B种饰品每件的进价为 9 元 （2）当采购 A 种饰品 210件，B 种饰品 390 件，商铺获利最大，最大利润为 3630元【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用：（1）设 A 种饰品每件的进价为 a 元，则 B种饰品每件的进价为()1a元，再根据采购 A 种饰品花了 1400元，采购 B 种饰品花了 630 元，其中 A 种数量是 B种数量的 2 倍，列出方程求解即可；（2）根据题意，确定不等关系，列一元一次不等式组求解，确定变量取值范围；根据题意，分情况讨论，列出相应的解析式，根据一次函数的增减性求解【小问 1 详解】解：设 A 种饰品每件的进价为 a 元，则 B种饰品每件的进价为()1a元，由题意得：140063021aa=，解得：10a=，的 第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 经检验，10a=是所列方程的解，且符合题意，19a=，答：A 种饰品每件的进价为 10 元，则 B种饰品每件的进价为 9 元；【小问 2 详解】解：设购进 A 种饰品 m件，则购进 B种饰品()600m件 由题意得：6003906004mmm，解得：120210m，购进 A种饰品件数 m 的取值范围为：120210m，且 m 为整数；设采购 A 种饰品 m件时的总利润为 w元，当120150m时，()15 600 109 6003600wmmm=+，10，w随 m 的增大而减小，当120m=时，w有最大值，最大值为12036003480+=，当150210m，w随 m 的增大而增大，当210m=时，w有最大值是：3 21030003630+=，36303480，w有最大值是 3630，此时600600210390m=，即当采购 A种饰品 210 件，B种饰品 390件，商铺获利最大，最大利润为 3630 元 22.综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 1，在RtABC中，90C=，6CA=，8CB=，将ABC绕点 A逆时针旋转得到ADE，旋转角小于CAB，点 B 的对应点为点 D，点 C的对应点为点 E，DE交AB于点 O，延长DE交BC于点 P 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 数学思考：（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由 深入探究：（2）在以上图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题 “乐学小组”提出问题：如图 2，当45CAE=时，则线段BP的长为 “善思小组”提出问题：如图 3，当CAEB=时，求线段BP的长【答案】（1）PCPE=，理由见详解；（2）146 2；6【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到，ACAE=，90CAEP=，根据HL证明RtRtAPEAPC，即可证明PCPE=；（2）延长AE，交BC于点 F，由4590CAE,CAEP=，得45EPFEFPCAE=，PEEF=，6ACCF=，设PCPEx=，由勾股定理求得 x，进而可求线段BP的长；由 勾 股 定 理 求 得 AB=10，由 旋 转 的 性 质 知，10ADAB=，8DEBC=，BD=，90CAED=，当CAEB=时，得 出ADBC，进 而 可 得1,2BD=，12D,B=，AODO,BOPO=，即可求出BP【详解】（1）PCPE=，证明：连接AP，如图 1，由旋转的性质知，ACAE=，90AEDCAEP=，APAP=，第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()RtRtHLAPEAPC，PCPE=；（2）解：如图 2，延长AE，交BC于点 F，4590CAE,CAEP=，45EPFEFPCAE=，PEEF=，6ACCF=，由(1)知，PCPE=，设PCPEx=，则22222PFPEEFxxx=+=+=，26xxCF+=，6 26x=，()86 26146 2BPBCPC=，故答案为：146 2；如图 3，90C=，6CA=，8CB=，第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 226810AB=+=，由旋转的性质知，10ADAB=，8DEBC=，BD=，90CAED=，当CAEB=时，90DEAD+=，90CAEDCAD+=，180CADC+=，ADBC，1,2BD=，12D,B=，AODO,BOPO=，10AOBOAB+=，10PODOPD+=，1082PEPDDE=，2PCPE=，6BPBCPC=【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的判定，正确作出辅助线解决问题是解答本题的关键