2024年山东省泰安市中考数学试题含答案.pdf

第1页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 泰安市泰安市 2024 年年初中学业水平考试年年初中学业水平考试 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1.56的相反数是（）A.65 B.65 C.56 D.56 2.下列运算正确的是（）A.22223x yxyx y=B.82224422x yx yx=C.()()22xyxyxy=D.()22346x yx y=3.下面图形中，中心对称图形的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.据泰山景区 2024 年 1月 4日消息，2023 年泰山景区累计接待进山游客超 860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据 860万用科学记数法表示为（）A.78.60 10 B.586.0 10 C.70.860 10 D.68.60 10 5.如图，直线lm，等边三角形ABC的两个顶点 B，C分别落在直线 l，m上，若21ABE=，则ACD的度数是（）A.45 B.39 C.29 D.21 6.如图，AB是O直径，C，D是O上两点，BA平分CBD，若50AOD，则A的度数为（）的 第2页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 A 65 B.55 C.50 D.75 7.关于x一元二次方程2230 xxk+=有实数根，则实数k的取值范围是（）A.98k B.98k C.98k D.98k 8.我国古代 四元玉鉴 中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果 x 个，买苦果 y 个，列出符合题意的二元一次方程组：100011499997xyxy+=+=根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为（）A.甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B.甜果七个四文钱，苦果九个十一文 C.甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D.甜果四个七文钱，苦果十一个九文 9.如图，RtABC中，90ABC=，分别以顶点 A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：30C=；AP垂直平分线段BF；2CEBE=；16BEFABCSS=其中，正确结论的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）.的 第3页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 A 433 B.43 C.233 D.4334 11.如图所示是二次函数()20yaxbxc a=+的部分图象，该函数图象的对称轴是直线1x=，图象与y轴交点的纵坐标是 2，则下列结论：20ab+=；方程20axbxc+=一定有一个根在2和1之间；方程2302axbxc+=一定有两个不相等的实数根；2ba，请直接写出满足条件的x的取值范围；（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求ACD的面积 22.随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？23.综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图 1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG，EF与BG相交于点H同学们发现图形中四条线段成比例，即EFABBGBC=，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图 2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF，将纸片展平，连结EG，FH，FG，同学们探究后发现，若FGCD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分剧点”，即2BGBD GD=请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由 24.如图 1，在等腰RtABC中，90ABC=，ABCB=，点D，E分别在AB，CB上，第7页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 DBEB=，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF （1）求证：2CDBF=，CDBF；（2）将DBE绕点B顺时针旋转到图 2的位置 请直接写出BF与CD的位置关系：_；求证：2CDBF=25.如图，抛物线214:43Cyaxx=+的图象经过点()1,1D，与x轴交于点 A，点B （1）求抛物线1C的表达式；（2）将抛物线1C向右平移 1个单位，再向上平移 3个单位得到抛物线2C，求抛物线2C的表达式，并判断点D是否在抛物线2C上；（3）在x轴上方的抛物线2C上，是否存在点P，使PBD是等腰直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 泰安市泰安市 2024 年年初中学业水平考试年年初中学业水平考试 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1.56的相反数是（）A.65 B.65 C.56 D.56【答案】D【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可【详解】解：56的相反数是56 故选：D【点睛】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键 2.下列运算正确的是（）A 22223x yxyx y=B.82224422x yx yx=C.()()22xyxyxy=D.()22346x yx y=【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解【详解】解：A、22x y与23xy不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；B、82226422x yx yx=，故不符合题意；C、()()()()()2222xyxyxyxyxyyx=+=，故不符合题意；D、()22346x yx y=，故符合题意；故选：D【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 3.下面图形中，中心对称图形的个数有（）.第2页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意；第二个是是中心对称图形，符合题意；第三个是是中心对称图形，符合题意；第四个不是中心对称图形，不符合题意；所以符合题意的有 3 个 故选：C 4.据泰山景区 2024 年 1月 4日消息，2023 年泰山景区累计接待进山游客超 860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高记录，数据 860万用科学记数法表示为（）A.78.60 10 B.586.0 10 C.70.860 10 D.68.60 10【答案】D【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10na的形式，其中1|10,an为整数，正确确定 a 的值以及 n 的值是解题的关键直接运用科学记数法的定义解答即可【详解】解：860万686000008.6 10=故选：D 5.如图，直线lm，等边三角形ABC的两个顶点 B，C分别落在直线 l，m上，若21ABE=，则ACD的度数是（）A.45 B.39 C.29 D.21【答案】B 第3页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得180EBCDCB+=，从而可得=180EBAABCACBACD+，再根据等边三角形的性质可得60ABCACB=，即可求解【详解】解：lm，180EBCDCB+=，即=180EBAABCACBACD+，ABC是等边三角形，60ABCACB=，又21ABE=，216060=180ACD+，=39ACD，故选：B 6.如图，AB是O直径，C，D是O上两点，BA平分CBD，若50AOD，则A的度数为（）A.65 B.55 C.50 D.75【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到ABCABD=，再根据圆周角定理得到90ACB=，1252ABCABDAOD=，然后利用三角形的内角和定理求解即可【详解】解：BA平分CBD，ABCABD=，AB是O的直径，50AOD，90ACB=，1252ABDAOD=，则25ABC=，180ACABC=1809025=65=，的 第4页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 故选：A 7.关于x的一元二次方程2230 xxk+=有实数根，则实数k的取值范围是（）A.98k B.98k C.98k D.98k 【答案】B【解析】【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键 根据一元二次方程有实数根的条件是0，据此列不等式求解即可【详解】解：关于x的一元二次方程2230 xxk+=有实数根，()234 20k=，解得98k 故选 B 8.我国古代 四元玉鉴 中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果 x 个，买苦果 y 个，列出符合题意的二元一次方程组：100011499997xyxy+=+=根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为（）A.甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B.甜果七个四文钱，苦果九个十一文 C.甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D.甜果四个七文钱，苦果十一个九文【答案】A【解析】【分析】根据100011499997xyxy+=+=可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，【详解】解：根据100011499997xyxy+=+=，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱，故选 A【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系 第5页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 9.如图，RtABC中，90ABC=，分别以顶点 A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：30C=；AP垂直平分线段BF；2CEBE=；16BEFABCSS=其中，正确结论的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】D【解析】【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键 由作图可知MN垂直平分线段AC、AE平分BAC，进而证明30CEACBAE=可判定；再说明ABAF=可得AP垂直平分线段BF可判定；根据直角三角形的性质可得22ACABAEBE=，可判定，根据三角形的面积公式即可判定【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，EAEC=，EACC=，由作图可知AE平分BAC，BAECAE=，90ABC=，30CCAEBAE=，故正确，2ACAB=，AFFC=，第6页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 ABAF=，AP垂直平分线段BF，故正确，2AEBEEAEC=，2ECBE=，故正确，13BEFBCFSS=，AFFC=，12BFCABCSS=，16BEFABCSS=，故正确 故选：D 10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）A.433 B.43 C.233 D.4334【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键 如图：连接OAAO，作ABOO于点 B，得三角形AOO是等边三角形，求出2333AOAOOAOOABSSS=弓形扇形，再根据AOAO OSSS=+阴影弓形扇形，即可解答【详解】解：如图：连接OAAO，作ABOO于点 B，2OAOOAO=，三角形AOO是等边三角形，第7页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 16012AOOOBOO=，22213AB=26021223336023AOAOOAOOSSS=弓形扇形,22433333AOAO OSSS=+=+=阴影弓形扇形 故选：A 11.如图所示是二次函数()20yaxbxc a=+的部分图象，该函数图象的对称轴是直线1x=，图象与y轴交点的纵坐标是 2，则下列结论：20ab+=；方程20axbxc+=一定有一个根在2和1之间；方程2302axbxc+=一定有两个不相等的实数根；2ba其中，正确结论的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与 x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可【详解】解：抛物线的对称轴为直线1x=，12ba=，2ba=20ab+=，故正确；抛物线()20yaxbxc a=+的对称轴为直线1x=，与 x 轴的一个交点在 2、3 之间，与 x 轴的另一个交点在1、0之间，方程20axbxc+=一定有一个根在1和 0 之间，故错误；,第8页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 抛物线2yaxbxc=+与直线32y=有两个交点，方程2302axbxc+=一定有两个不相等的实数根，故正确；抛物线与 x轴的另一个交点在1，0 之间，0abc+，图象与 y 轴交点的纵坐标是 2，2c=，20ab+故错误 综上，正确，共 2个 故选：B 12.如图，菱形ABCD中，=60B，点E是AB边上的点，4AE=，8BE=，点F是BC上的一点，EGF是以点G为直角顶点，EFG为30角的直角三角形，连结AG当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（）A.2 B.4 32 C.2 3 D.4【答案】C【解析】【分析】如图：过 E作EMBC于点 M，作MHAB于点 H，作AIGM于点 I，则点 E、M、F、G四点共圆，从而得到AIMH=，因为AGGF，所以求出MH的值即可解答【详解】解：如图，过 E作EMBC于点 M，作MHAB于点 H，作AIGM于点 I，180EMFEGF+=，第9页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 点 E、M、F、G四点共圆，30EMGEFG=，=60B，30BEMEMG=，M GAB，四边形MHAI是矩形，MHAI=，8BE=，cos304 3EMBE=，12 32MHEMAI=，2 3AGAI=，AG最小值是2 3 故选：C【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分只要求填写最后结果，每小题填对得分只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分）13.单项式23ab的次数是_【答案】3【解析】【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可【详解】解：单项式23ab中，a的指数是1，b的指数是2，此单项式的次数为：123+=故答案为：3【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键 14.某学校在 4 月 23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从西游记、骆驼祥子、水浒传中随机选择一本，小颍准备从西游记、骆驼祥子、朝花夕拾中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是_ 第10页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【答案】29【解析】【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可【详解】解：将西游记、骆驼祥子、水浒传、朝花夕拾分别记为 A，B，C，D，列表如下：A B D A（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有 9 种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有 2种，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为29 故答案为：29 15.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高 60 米的点P处测得瞭望台正对岸 A 处的俯角为50，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6，已知瞭望台BC高 12 米（图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为_米（参考数据：3sin405，9sin63.610，6tan505，tan63.62）第11页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】74【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键 根据题意可得63.65012m,60mNPCPCFMPABAPBCEFPE=，则48mPFPEEF=，再通过解直角三角形求得AE和BE，最后根据线段的和差即可解答【详解】解：由题知63.65012m,60mNPCPCFMPABAPBCEFPE=，,48mPFPEEF=,Rttan63.62PFPFCCF=，24mCF=,24mBE=,在Rt APF中，6tan505PEAE=,50mAE=,74mABAEBE=+=故答案为：74 16.如图，小明的父亲想用长为 60 米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 米，则可围成的菜园的最大面积是_平方米 【答案】450【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键 设垂直于墙的边长为 x米，则平行于墙的边长为()602x米，又墙长为 40 米，从而可得060240 x，故1030 x，又菜园的面积()()22602260215450 xxxxx=+=+，进而结合二次函数的性质在 第12页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 即可解答【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为()602x米，又墙长为 40米，060240 x 1030 x 菜园的面积()()22602260215450 xxxxx=+=+，当15x=时，可围成的菜园的最大面积是 450，即垂直于墙的边长为 15米时，可围成的菜园的最大面积是 450 平方米 故答案为：450 17.如图，AB是O的直径，AH是O的切线，点C为O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若1DF=，1tan2B=，则AE的长为_ 【答案】5【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键 先证DAFABD=可得DAFDBA从而得到1tan2DFADBADBD=，求得2AD=，再运用勾股定理可得5AF=，再根据圆周角定理以及角的和差可得AEDAFD=，最后根据等角对等边即可解答【详解】解：AB是O的直径，90ADB=，AH是O的切线，90BAF=，90DAFABDDAB=，DAFDBA，第13页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 1tan2DFADBADBD=，1DF=，2AD=，5AF=，点D为AC的中点，ADCD=，ABDDACDAF=，90ADEADF=，9090DAEDAF=，即AEDAFD=，5AEAF=故答案为：5 18.如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”按照此规律继续摆下去，第_个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的 3 倍 【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“”和“”的个数变化规律是解题的关键 根据所给图形，依次求出“”和“”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可【详解】解：由所给图形可知，第 1 个“小屋子”中图形“”的个数为：11=，“”的个数为：41 22=+；第 2 个“小屋子”中图形“”的个数为：312=+，“”的个数为：6222=+；第 3 个“小屋子”中图形“”的个数为：6123=+，“”的个数为：83 22=+；第 4 个“小屋子”中图形“”的个数为：101234=+，“”的个数为：104 22=+；第14页/共25页 学科网（北京）股份有限公司，所以第 n个“小屋子”中图形“”的个数为：()11232n nn+=，“”的个数为：22n+；由题知()()13 222n nn+=+，解得12112nn=，又 n为正整数，则12n=，即第 12 个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的 3 倍 故答案为：12 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，满分小题，满分 8 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）骤）19.（1）计算：()2212tan601232+；（2）化简：2211xxxxx【答案】（1）7；（2）11xx+【解析】【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键（1）利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算；（2）利用分式的运算法则化简即可【详解】解：（1）()2212tan601232+；2 342 33=+7=；（2）2211xxxxx 22211xxxxx+=()()()2111xxxxx=+第15页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 11xx=+20.某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取 10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 b 乙 m a 76 则m=_，=a_，b=_（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，_供应商供应的苹果大小更为整齐（填“甲”或“乙”）（3）超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果 2000个，其中，大果约有多少个？【答案】（1）80，79.5，83 （2）甲 （3）600【解析】【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；（2）根据方差的意义解答即可；（3）利用样本估计总体，即用 2000 乘样本中直径82mm（含82mm）以上所占比例即可【小问 1 详解】第16页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 解：由题意得：()7576 3798081 8386881080m=+=；把乙的 10 个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是 79，80，故中位数798079.52a+=；甲 10 个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数83b=故答案为：80，79.5，83【小问 2 详解】解：甲的方差为：()()()()()()2222221 76807780788079802808081 8010+()2383805.8+=；乙的方差为：()()()()()()2222221 7580376807980808081 80838010+()()228680888018.4+=，因为5.818.4，请直接写出满足条件的x的取值范围；（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求ACD的面积【答案】（1）1132yx=+（2）2x或08x时，2x或08x【小问 3 详解】解：把3y=时代入28yx=中，得83x=，D点坐标为8,33，即83CD=，()18443233ACDS=22.随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两 第18页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 个组共35名工人甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人【解析】【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有x名工人，则乙组有()35x名工人根据题意得270030001.235xx=，据此即可求解【详解】解：设甲组有x名工人，则乙组有()35x名工人 根据题意得：270030001.235xx=，解答：20 x，经检验，20 x是所列方程的解，且符合题意，35352015x=答：甲组有20名工人，乙组有15名工人 23.综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图 1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG，EF与BG相交于点H同学们发现图形中四条线段成比例，即EFABBGBC=，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图 2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF，将纸片展平，连结EG，FH，FG，同学们探究后发现，若FGCD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分剧点”，即2BGBD GD=请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由 第19页/共25页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）EFABBGBC=正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识点，掌握相关知识是解题的关键（1）如图：作EMBC于点 M，再证EMFBCG可得EFEMBGBC=，再证明四边形ABME是矩形可得ABEM=即可证明结论；（2）利用平行线分线段比例可得CDBDFGBG=，再说明GDGF=，进而得到CDBDGDBG=；再由由平行四边形及折叠可得ABBG=，ABCD=，则BGBDCDBG=即可证明结论【详解】解：（1）EFABBGBC=正确，理由如下，作EMBC于点M，EFBG，90BHF=，90FBHBFH+=，90EMF=，90MEFBFH+=，FBHMEF=，又90EMFC=，EMFBCG EFEMBGBC=ABCD是矩形，EMBC，四边形ABME是矩形 ABEM=，EFABBGBC=（2）同学们的发现说法正确，理由如下，第20页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 CDFG，CDBDFGBG=，CDFDFG=，由折叠知CDFBDF=，DFGBDF=，GDGF=，CDBDGDBG=，由平行四边形及折叠知ABBG=，ABCD=，BGBDCDBG=，2BGBD GD=，即点G为BD的一个黄金分割点 24.如图 1，在等腰RtABC中，90ABC=，ABCB=，点D，E分别在AB，CB上，DBEB=，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF （1）求证：2CDBF=，CDBF；（2）将DBE绕点B顺时针旋转到图 2的位置 请直接写出BF与CD的位置关系：_；求证：2CDBF=【答案】（1）见解析 （2）BFCD；见解析【解析】【分析】（1）先证明ABECBD得到AECD=，FABBCD=，根据直角三角形斜边中线性质得到2CDAEBF=，根据等边对等角证明FBABCD=，进而可证明BFCD；（2）延长BF到点G，使FGBF=，连结AG，延长BE到M，使BEBM=，连接AM并延长交CD于点N同（1）证明AGBBDC得到ABGBCD=，然后利用三角形的中位线性质得到BFAN，则ABGBANBCD=，进而证明ANCD即可得到结论；第21页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 延长BF到点G，使FGBF=，连接AG先证明AGFEBF，得到FAGFEB=，AGBE=，进而AGBE，AGBD=证明AGBBDC得到CDBG=即可得到结论【小问 1 详解】证明：在ABE和CBD中，ABBC=，90ABECBD=，BEBD=，()ABECBD SAS，AECD=，FABBCD=F是RtABE斜边AE的中点，2AEBF=，2CDBF=，12BFAEAF=，FABFBA=FBABCD=，90FBAFBC+=，90FBCBCD+=BFCD；【小问 2 详解】解：BFCD；理由如下：延长BF到点G，使FGBF=，连结AG，延长BE到M，使BEBM=，连接AM并延长交CD于点N 证明AGBBDC（具体证法过程跟一样）ABGBCD=，F是AE中点，B是EM中点，BF是ABM中位线，BFAN，ABGBANBCD=，90ABCANC=，ANCD，BFAN，BFCD 第22页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：BFCD；证明：延长BF到点G，使FGBF=，连接AG AFEF=，FGBF=，AFGEFB=，()SASAGFEBF，FAGFEB=，AGBE=，AGBE，180GABABE+=，90ABCEBD=，180ABEDBC+=，GABDBC=BEBD=，AGBD=在AGB和BDC中，AGBD=，GABDBC=，ABCB=，()SASAGBBDC，CDBG=，2BGBF=，2CDBF=【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键 第23页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 25.如图，抛物线214:43Cyaxx=+的图象经过点()1,1D，与x轴交于点 A，点B （1）求抛物线1C的表达式；（2）将抛物线1C向右平移 1个单位，再向上平移 3个单位得到抛物线2C，求抛物线2C的表达式，并判断点D是否在抛物线2C上；（3）在x轴上方的抛物线2C上，是否存在点P，使PBD是等腰直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）254433yxx=+（2）225319:3515Cyx=，点D在抛物线2C上 （3）存在，点P的坐标为：()2,2或()1,3【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键（1）将点 D的坐标代入抛物线表达式2443yaxx=+，求得 a 的值即可；（2）由题意得：()()222545319:1143333515Cyxxx=+=，当 x=1时，22531953191135153515yx=，即可判断点D是否在抛物线2C上；（3）分BAP为直角、DBP为直角、HPD为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，第24页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 进而确定点 E 的坐标，进而确定点 P 的坐标【小问 1 详解】解：将点D的坐标代入抛物线表达式2443yaxx=+得：4143a=+，解得：53a=，则抛物线的表达式为：254433yxx=+【小问 2 详解】解：由题意得：()()222545319:1143333515Cyxxx=+=，当1x=时，22531953191135153515yx=，故点D在抛物线2C上【小问 3 详解】解：存在，理由如下：当BAP为直角时，如图 1，过点D作DEBD且DEBE=，则BDE为等腰直角三角形，90BDGEDH+=，90EDHDEH+=，BDGDEH=，90DGBEHD=，()AASDGBEHD，1DHBG=，123EHGD=+=，点()2,2E，当2x=时，22531953192235153515yx=，即点E在抛物线2C上，点P即为点()2,2E；当DBP为直角时，如图 2，第25页/共25页 学科网（北京）股份有限公司 同理可得：()BGEDHB AAS，3DHBG=，1BHGE=，点()1,3E，当=1x时，22531953191335153515yx=，点E在抛物线2C上，点P即为点()1,3E；当HPD为直角时，如图 3，设点(),E x y，同理可得：()EHBDGE AAS，21EHxGDy=+=+且1BHyGEx=，解得：0 x=且1y=，点()0,1E，当0 x=时，22531953190135153515yx=，即点E不在抛物线2C上；综上，点P的坐标为：()2,2或()1,3