三角函数新定义问题--2025新高考新风向含答案.pdf

1 三角函数新定义问题 三角函数新定义问题三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题.特别注意：新定义特别注意：新定义“伴随函数伴随函数”得出函数得出函数f(x)的表达式，然后利用三角函数性质求解对于函数的表达式，然后利用三角函数性质求解对于函数f(x)=asinx+bcosx一般借助辅助角公式进行变形，即一般借助辅助角公式进行变形，即f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+)，其中，其中cos=aa2+b2，sin=ba2+b2题型一 新定义距离问题题型一 新定义距离问题1 人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离已知二维空间两个点A x1,y1、B x2,y2，则其曼哈顿距离为d A,B=x1-x2+y1-y2，余弦相似度为cos A,B=x1x21+y21x2x22+y22+y1x21+y21y2x22+y22，余弦距离为1-cos A,B已知00，对区间a,b上任意划分：a=x0 x1xn-1xn=b，和式ni=1|f(xi)-f(xi-1)|M恒成立，则称y=f(x)为a,b上的“绝对差有界函数”，注：ni=1ai=a1+a2+a3+an，若 f(x)=sinx+cosx，g(x)=xcos2x-1x1)，an+1=2a2n-1，若a2021=54，则a的值为4平面直角坐标系中，将函数y=f x，xD上满足xN*，yN*的点P x，y，称为函数的“正格点”若函数 f x=sinmx，xR，m 1，2与函数g x=lgx的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为个5对于函数y=f x，xR，如果存在一组正常数t1，t2，tk，(其中k为正整数)，满足0t1t2tk使得当x取任意实数时，有 f x+f x+t1+f x+t2+f x+tk=0，则称函数y=f x具有“性质Pk”.(1)求证：函数h x=cosx同时具有“性质P1”和“性质P2”；(2)设函数g x=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在mR，使得g m=4a，证明：存在nR，使得g n0.46设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为 f x=asinx+bcosx xR R，向量OM=a,b称为函数 f x=asinx+bcosx的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设函数h x=2sin3-x-cos6+x，求证：h xS；(2)记OM=0,2的“相伴函数”为 f x，若函数g x=f x+2 3 sinx-1，x 0,2与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)已知点M a,b满足a2-4ab+3b20，向量OM 的“相伴函数”f x在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围.57对于函数y=f x，xR R，如果存在一组常数t1，t2，tk(其中k为正整数，且0=t1t2tk)使得当x取任意值时，有 f x+t1+f x+t2+f x+tk=0则称函数y=f x为“k级周天函数”.(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：f1x=sinx；f2x=x+2；(2)求证：当=3n+2 nZ Z时，g x=cos x是“3级周天函数”；(3)设函数h x=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在mR，使得h m=4a，证明：存在nR R，使得h nsinh sinx.810定义函数 f(x)=asinx+bcosx的“积向量”为m=a,b，向量m=a,b的“积函数”为 f(x)=asinx+bcosx(1)若向量m=a,b的“积函数”f x满足f7f914=tan1021，求ba的值；(2)已知 m=n=2，设OP=m+n(0,0)，且OP 的“积函数”为g x，其最大值为t，求t-2+的最小值，并判断此时m，n的关系1 三角函数新定义问题 三角函数新定义问题三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题关公式；求取值范围转换为函数问题.特别注意：新定义特别注意：新定义“伴随函数伴随函数”得出函数得出函数f(x)的表达式，然后利用三角函数性质求解对于函数的表达式，然后利用三角函数性质求解对于函数f(x)=asinx+bcosx一般借助辅助角公式进行变形，即一般借助辅助角公式进行变形，即f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+)，其中，其中cos=aa2+b2，sin=ba2+b2题型一题型一 新定义距离问题新定义距离问题1人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离已知二维空间两个点A x1,y1、B x2,y2，则其曼哈顿距离为d A,B=x1-x2+y1-y2，余弦相似度为cos A,B=x1x21+y21x2x22+y22+y1x21+y21y2x22+y22，余弦距离为1-cos A,B已知02，M 13cos,13sin、N 8cos,8sin、P 13cos+,13sin+、Q 5cos2,5sin2，若cos M,P=35，cos M,N=1213，则d M,Q=【答案】725【解析】因为13sin2+13cos2=13，13sin+2+13cos+2=13，所以cos M,P=13cos1313cos+13+13sin1313sin+13=coscos+sinsin+=cos+-=cos=35，因为02，所以sin=1-cos2=45因为8sin2+8cos2=8，所以cos M,N=13cos138cos8+13sin138sin8=coscos+sinsin=cos-=1213，因为02，则-2-0，所以sin-=-1-cos2-=-513因为cos=cos-+=cos-cos-sin-sin=5665，sin=1-cos2=3365，所以M565,335又因为cos2=2cos2-1=-725，sin2=2sincos=2425，2所以Q-75,245，所以d M,Q=565-75+335-245=725【解题技法】新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.【跟踪训练】【跟踪训练】2人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A x1,y1,B x2,y2，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量OA,OB 夹角的余弦值，记作cos A,B，余弦距离为1-cos A,B.已知P sin,cos，Q sin,cos，R sin,-cos，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tantan=()A.7B.17C.4D.14【答案】A【解析】由OP=(sin,cos)，OQ=(sin,cos)，OR=(sin,-cos)，cos(P,Q)=OP OQ OP OQ=sinsin+coscos=cos(-)，cos(Q,R)=OQ OR OQ OR=sinsin-coscos=-cos(+)，所以1-cos(-)=131+cos(+)=12，故cos(-)=23cos(+)=-12，则cos(-)cos(+)=coscos+sinsincoscos-sinsin=1+tantan1-tantan=-43，整理得tantan=7，故选A题型二题型二新定义函数新定义函数3已知x为实数，用 x表示不超过x的最大整数，例如 1.2=1，-1.2=-2，1=1对于函数f(x)，若存在mR且mZ，使得 f m=fm，则称函数 f(x)是函数(1)判断函数 f x=x2-13x，g x=sinx是否是函数；(只需写出结论)3(2)已知 f x=x+ax，请写出a的一个值，使得 f x为函数，并给出证明；(3)设函数 f(x)是定义在R上的周期函数，其最小周期为T若 f(x)不是函数，求T的最小值【解】(1)对于 f(x)=x2-13x，令m=13，则m=0，则 f(m)=f13=0，f(m)=f(0)=0，所以存在mR，mZ，使得 f(m)=f(m)，所以函数 f(x)是“函数”.对于函数g(x)=sinx，函数的最小正周期为2=2，不妨研究g(x)在 0,2这个周期的性质，当0m0,g(m)=g(0)=0，当1m2时，m=1，则g(m)=sinm0,g(m)=g(1)=0，综上，g(m)g(m)，所以函数g(x)不是“函数”.所以得函数 f(x)是“函数”，函数g(x)不是“函数”.(2)取a=12，f x为函数，证明如下：令m=-12，则m=-1，又 f x=x+12x，此时 f-12=-12+12-12=-32，f-12=f(-1)=-1+12-1=-32，则 f-12=f-12，所以 f(x)是函数(3)T的最小值为1，理由如下：因为 f(x)是以T为最小正周期的周期函数，所以 f(T)=f(0)假设T0，对区间a,b上任意划分：a=x0 x15xn-1xn=b，和式ni=1|f(xi)-f(xi-1)|M恒成立，则称y=f(x)为a,b上的“绝对差有界函数”，注：ni=1ai=a1+a2+a3+an，若 f(x)=sinx+cosx，g(x)=xcos2x-1x00 x=0，则关于函数y=f(x)、y=g(x)在-1,0上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是()A.y=f(x)与y=g(x)都是B.y=f(x)是而y=g(x)不是C.y=f(x)不是而y=g(x)是D.y=f(x)与y=g(x)都不是【答案】B【解析】函数 f(x)=sinx+cosx=2sin x+4，显然 f(x)在-1,0上单调递增，对区间-1,0上任意划分：-1=x0 x1xn-1xn=0，则 f(xi)-f(xi-1)=f(xi)-f(xi-1)(i=1,2,n)，所以ni=1f(xi)-f(xi-1)=ni=1f(xi)-f(xi-1)=f(xn)-f(x0)=f(0)-f(-1)=1-2sin4-13,取M=3，对区间-1,0上任意划分：-1=x0 x1xn-1xn=0，ni=1f(xi)-f(xi-1)M恒成立，故 f(x)在-1,0上是“绝对差有界函数”；对于函数g(x)=xcos2x,-1x00,x=0，对区间-1,0上的划分：-1-12-14-12i-12(i+1)-12(n-1)0)满足条件，故g(x)在-1,0上不是“绝对差有界函数”.故选：B.3在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh(x)=ex-e-x2，双曲余弦函数：cosh(x)=ex+e-x2，则cosh(2)-2cosh2(1)=，无穷数列 an，a1=a(a1)，an+1=2a2n-1，若a2021=54，则a的值为【答案】-1122212020+2212020【解析】cosh(2x)=2cosh2(x)-1，故cosh(2)-2cosh2(1)=-1；不妨设a1=cosh(m)=a(a1)，其中em+e-m2=a则有a2=2a21-1=2cosh2(m)-1=cosh(2m)，a3=cosh 22m，6，an=cosh 2n-1m所以，a2021=cosh 22020m，e22000m+e2-2020m2=54，解得e22020m=2或e22020m=12则m=ln222020，因此a=12eln2122020+eln2-122000=122212020+22120204平面直角坐标系中，将函数y=f x，xD上满足xN*，yN*的点P x，y，称为函数的“正格点”若函数 f x=sinmx，xR，m 1，2与函数g x=lgx的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为个【答案】5【解析】由已知，函数 f x=sinmx与函数g x=lgx的图象存在正格点交点，而满足xN*，yN*的点P x，y，称为函数的“正格点”，所以两函数的正格点交点只能是(10,1)，则sin10m=1，所以10m=2+2k(kZ)，所以m=4k+120(kZ)，而m 1，2，所以m=920(kZ)，所以函数 f x=sin920 x，g x=lgx，画出两函数图象，可知：由两函数图象可知，两个函数图象交点个数为5个(其中D、E两点非常接近)，5对于函数y=f x，xR，如果存在一组正常数t1，t2，tk，(其中k为正整数)，满足0t1t2tk使得当x取任意实数时，有 f x+f x+t1+f x+t2+f x+tk=0，则称函数y=f x具有“性质Pk”.(1)求证：函数h x=cosx同时具有“性质P1”和“性质P2”；(2)设函数g x=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在mR，使得g m=4a，证明：存在nR，使得g n0.【解】(1)因为h(x)+h(x+)=cosx+cos(x+)=cosx-cosx=0，所以h(x)具有“性质P1”；因为cosx+cos x+23+cos x+43=cosx+2cos(x+)cos3=cosx-cosx=0，所以h(x)具有“性质P2”；(2)若a0，此时取n=m即可；若a=0，采取反证法，若不存在nR，使得g(n)0，则g x0恒成立，因为g(x)+g x+23+g x+43=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x+a+bcos2 x+23+7ccos5 x+23+dcos8 x+23+a+bcos2 x+43+ccos5 x+43+dcos8 x+43=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x+a+bcos 2x+43+ccos 5x+103+dcos 8x+163+a+bcos 2x+83+ccos 5x+203+dcos 8x+323=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x+a-bcos 2x+3-ccos 5x+3-dcos 8x+3+a+bcos 2x+23+ccos 5x+23+dcos 8x+23=3a+bcos2x+ccos5x+dcos8x-b12cos2x-32sin2x-c12cos5x-32sin5x-d12cos8x-32sin8x+b-12cos2x-32sin2x+c-12cos5x-32sin5x+d-12cos8x-32sin8x=3a=0g(x)0，g x+230，g x+430g(x)=g x+23=g x+43=0，再由g(x)+g(x+)=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x+a+bcos 2x+2+ccos 5x+5+dcos 8x+8=0bcos2x+dcos8x=0恒成立，故b=c=0，进而d=0，与b，c，d是不全为0矛盾；故存在nR，使得g(n)0，由中可知g(m)+g m+23+g m+43=3a，因为g(m)=4a公众号：慧博高中数学最新试题所以g m+23+g m+43=3a-4a=-a0，命题成立综上：原命题得证.6设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为 f x=asinx+bcosx xR R，向量OM=a,b称为函数 f x=asinx+bcosx的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设函数h x=2sin3-x-cos6+x，求证：h xS；(2)记OM=0,2的“相伴函数”为 f x，若函数g x=f x+2 3 sinx-1，x 0,2与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)已知点M a,b满足a2-4ab+3b20，向量OM 的“相伴函数”f x在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围.【解】(1)h(x)=232cosx-12sinx-32cosx-12sinx=32cosx-12sinx8取OM=-12,32满足条件，h(x)S(2)由题知：f(x)=0sinx+2cosx=2cosx.g(x)=2cosx+2 3 sinx-1=4sin x+6-1,0 x4cos x+3-1,x2 可求得g(x)在 0，3单调递增，3，单调递减，53单调递增，53，2单调递减且g(0)=1,g3=3,g()=-3,g53=3,g(2)=1g(x)图像与y=k有且仅有四个不同的交点1k3(3)f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+)其中cos=a2+b2，sin=b2+b2，tan=baxR当x+=2+2k,kZ即x0=2-+2k时，f(x)取得最大值.此时tan2x0=tan(-2)=-tan2=-2tan1-tan2令ta=ba=m则由a2-4ab+3b20知3m2-4m+10解之得13m1tan2x0=-2m1-m2=2m-1m，因为y=m-1m在m13,1上单调递增，所以tan2x0=-2m1-m2=2m-1m在m13,1上单调递减，从而tan2x0-,-347对于函数y=f x，xR R，如果存在一组常数t1，t2，tk(其中k为正整数，且0=t1t2tk)使得当x取任意值时，有 f x+t1+f x+t2+f x+tk=0则称函数y=f x为“k级周天函数”.(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：f1x=sinx；f2x=x+2；(2)求证：当=3n+2 nZ Z时，g x=cos x是“3级周天函数”；(3)设函数h x=a+bcos2x+ccos5x+dcos8x，其中b，c，d是不全为0的实数且存在mR，使得h m=4a，证明：存在nR R，使得h n0.【解】(1)令t1=0，t2=，则 f1x+t1+f1x+t2=sinx+sin x+=sinx-sinx=0，9所以 f1x=sinx是“2级周天函数”；f2x+t1+f2x+t2=x+t1+2+x+t2+2=2x+4+t2=0，不对任意x都成立，所以 f2x=x+2不是“2级周天函数”；(2)令t1=0，t2=23，t3=43，则g x+t1+g x+t2+g x+t3=cos3n+2x+cos3n+2x+2n+43+cos3n+2x+4n+83=cos3n+2x+cos3n+2x+43+cos3n+2x+83=cos3n+2x-cos3n+2x+3+cos3n+2x+23=cos3n+2x-cos3n+2xcos3-sin3n+2xsin3+cos3n+2xcos23+sin3n+2xsin23=cos3n+2x-12cos3n+2x-32sin3n+2x-12cos3n+2x+32sin3n+2x=cos3n+2x-cos3n+2x=0所以g x=cos x是“3级周天函数”；(3)对其进行分类讨论：1若a0，则h m=4a0，此时取n=m，则h n0；2若a=0，采用反证法，若不存在nR R，使得h n0，则h x0恒成立，由(2)可知t x=bcos2x+ccos5x+dcos8x是“3级周天函数”，所以t x+t x+23+t x+43=0，所以h x+h x+23+h x+43=3a=0，因为h x0，h x+230，h x+430，所以h x=h x+23=h x+43=0，再由h x+h x+=0bcos2x+dcos8x=0恒成立，所以b=d=0，进而可得c=0，这与b，c，d是不全为0矛盾，故存在nR R，使得h n0，由h m+h m+23+h m+43=3a，h m=4a，得h m+23+h m+43=-a0，所以存在nR R，使得h n0，10所以命题成立.8已知x为实数，用 x表示不超过x的最大整数，例如 1.2=1，-1.2=-2，1=1对于函数f(x)，若存在mR且mZ，使得 f m=fm，则称函数 f(x)是函数(1)判断函数 f x=x2-13x，g x=sinx是否是函数；(只需写出结论)(2)已知 f x=x+ax，请写出a的一个值，使得 f x为函数，并给出证明；(3)设函数 f(x)是定义在R上的周期函数，其最小周期为T若 f(x)不是函数，求T的最小值【解】(1)对于 f(x)=x2-13x，令m=13，则m=0，则 f(m)=f13=0，f(m)=f(0)=0，所以存在mR，mZ，使得 f(m)=f(m)，所以函数 f(x)是“函数”.对于函数g(x)=sinx，函数的最小正周期为2=2，不妨研究g(x)在 0,2这个周期的性质，当0m0,g(m)=g(0)=0，当1m2时，m=1，则g(m)=sinm0,g(m)=g(1)=0，综上，g(m)g(m)，所以函数g(x)不是“函数”.所以得函数 f(x)是“函数”，函数g(x)不是“函数”.(2)取a=12，f x为函数，证明如下：令m=-12，则m=-1，又 f x=x+12x，此时 f-12=-12+12-12=-32，f-12=f(-1)=-1+12-1=-32，则 f-12=f-12，所以 f(x)是函数(3)T的最小值为1，理由如下：因为 f(x)是以T为最小正周期的周期函数，所以 f(T)=f(0)假设Tsinh sinx.【解】(1)证明：选，cosh x2-sinh x2=ex+e-x22-ex-e-x22=e2x+e-2x+24-e2x+e-2x-24=1；选，sinh 2x=e2x-e-2x2=2ex-e-xex+e-x22=2sinh xcosh x；选，cosh 2x=e2x+e-2x2=ex+e-x22+ex-e-x22=cosh x2+sinh x2.y=cosh 2x+sinh x=e2x+e-2x2+ex-e-x2，令t=sinh x=ex-e-x2，因为函数y=ex2、y=-e-x2均为R上的增函数，故函数y=sinh x也为R上的增函数，故t=sinh x=ex-e-x2R，则t2=e2x+e-2x-24，所以cosh 2x=2t2+1，所以y=2t2+t+1=2 t+142+7878，当且仅当t=-14时取“=”，所以y=cosh 2x+sinh x的最小值为78.(2)证明：x-,4，cosh cosxsinh sinxecosx+e-cosx2esinx-e-sinx2ecosx+e-cosxesinx-e-sinx，当x-,0时，ecosx+e-cosx0，sinx0-sinx，所以esinxe-sinx，所以esinx-e-sinx0，所以ecosx+e-cosxesinx-e-sinx成立；12当x 0,4时，则0 x2-x2，且正弦函数y=sinx在 0,2上为增函数，cosx=sin2-xsinx，所以ecosxesinx，-e-sinx0esinx-e-sinx成立，综上，x-,4，cosh cosxsinh sinx.10定义函数 f(x)=asinx+bcosx的“积向量”为m=a,b，向量m=a,b的“积函数”为 f(x)=asinx+bcosx(1)若向量m=a,b的“积函数”f x满足f7f914=tan1021，求ba的值；(2)已知 m=n=2，设OP=m+n(0,0)，且OP 的“积函数”为g x，其最大值为t，求t-2+的最小值，并判断此时m，n的关系【解】(1)由题意知向量m=a,b的“积函数”为 f(x)=asinx+bcosx，所以f7f914=asin7+bcos7asin914+bcos914=asin7+bcos7acos7-bsin7=tan7+ba1-tan7ba，令ba=tan，上式化为tan+7=tan1021，所以+7=k+1021，=k+3，kZ，即ba=tan=tan3=3；(2)设m=(2cos,2sin)，n=(2cos,2sin)，因为OP=m+n=(2(cos+cos),2(sin+sin)，所以g(x)=2(cos+cos)sinx+2(sin+sin)cosx=2(cossinx+sincosx)+2(cossinx+sincosx)=2sin(x+)+2sin(x+)，令h(x)=2sin(x+)+2sin(x+)2+2，此时存在x0，满足x0+=2+2k1x0+=2+2k2.当且仅当x=x0时，等号成立，其中k1,k2Z，所以-=2 k1-k2，即m=n，所以=+2k，kZ，所以h(x)=2sin(x+)+2sin(x+)=2(+)sin(x+)2(+)，所以t=2(+)，此时(t-2)(+)=t(t-2)2=(t-1)22-12，所以(t-1)(+)的最小值为-12，此时m=n