圆的基本概念.doc
. 圆的基本概念1、定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O为圆心的圆，记作“O ”，读作“圆O”2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。3.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).学习重点:圆及其有关概念学习难点:用集合的观念描述圆【例1】 已知：如图，OA、OB、OC是O的三条半径，AOC=BOC，M、N分别为OA、OB的中点求证：MC=NC【例2】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？【随堂针对练习】1圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 2P为O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）A点P到O上任一点的距离都小于O的半径BO上有两点到点P的距离等于O的半径CO上有两点到点P的距离最小DO上有两点到点P的距离最大3以已知点O为圆心作圆，可以作（ ）A1个B2个C3个D无数个4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）A1个B2个C3个D无数个5一点和O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm6在RtABC中，C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与A的位置关系是 7O的半径是3cm，P是O内一点，PO=1cm，则点P到O上各点的最小距离是 8如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：经过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分A B C D E .O 例题1、如图35，CD是O的直径，弦ABCD于E，若CE，ED=b. 求：（1） = 的长；（2）AB的长.例题2、如图所示，AB是O的弦，OCAB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则O的半径长 为_cm例题3、（易错题）在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且ABCD，求AB与CD之间距离 解：如图所示，过O作OMAB， ABCD，ONCD 在RtBMO中，BO=25cm 由垂径定理得BM=AB=×40=20cm， OM=15cm 同理可求ON=7cm， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm 以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上【巩固练习】基础题：1下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线 平分弦所对的弧2下列命题中错误的有（ ）弦的垂直平分线经过圆心；平分弦的直径垂直于弦；梯形的对角线互相平分；圆的对称轴是直径.A1个 B2个 C3个 D4个3.在半径为25cm的O中，弦AB40cm，则此弦和所对的弧的中点的距离为( ) A. 10cm B. 15m C. 40cm D. 10cm或40cm4. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，则AC的长为（ ）A0.5cm B1cm C1.5cm D2cm5. 过O内一点P的最长的弦长为13cm，最短的弦长5cm，则OP= .6. 直径是1000mm的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽mm，则水的最大深度CD为_mm. 6题图 7题图 8题图7. 如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高，水面宽那么水管截面圆的半径是_8. 如图，弦，直径于，且，求的半径。拓展创新8（应用题）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由提高题：1如图，AB为O的一固定直径，它把O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦，的平分线交O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）A到CD的距离保持不变 B位置不变C等分 D随C点的移动而移动2. 圆的两条平行弦与圆心的距离分别为3和4，则此二平行弦之间的距离为 .3. 的直径为15cm.弦AB和CD互相平行，两弦之间的距离为10.5cm，AB=9cm，则CD= .4. 如图，矩形边经过的圆心，分别为，与的交点，若，则的径等于_6. 如图，已知：在中，是直径，是弦，交于，交于求证：A C D B O. 7. 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：（相交弦定理）A O B H E NN DM G F 8. 已知：如图，以为圆心，ODAB, cm，矩形的两顶点、在弦上，、在上，且，求的长.10. 如图，是的直径，是弦，于.求证：.课后自测1下列说法正确的有_（填序号）直径是弦;弦是直径;半圆是弧，但弧不一定是半圆;长度相等的两条弧是半圆2工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，如图所示，则小孔的直径AB为_3一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为_4如图所示O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是（ ） A3OM5 B3OM<5 C4OM5 D4OM<55如图所示，矩形ABCD与O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ） A2 B4 C6 D86如图所示，D、E分别是弧、的中点，DE交AB于M、交AC于N.求证AM=AN7（教材变式题）如图所示，O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，COD=100°，求COE，D的度数圆心角 同步练习例5. 如图，已知ABC内接于O，点A、B、C把O三等分. (1)求证：ABC是等边三角形； (2)求AOB的度数例6. 如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，交AC于点E, BD=CE求证：AB=AC.例7. 如图，在O中，弦AD/BC ,DA=DC, AOC=1600，则BCO等于( )A. 200 B . 300 C400 D. 500 例8. 如图，P为O的直径EF延长线上一点，PA交O于点B, A，PC交O于点D, C两点，1=2，求证： PB=PD.提高训练1. 如图，AB为O的一固定直径，它把O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB，OCD 的平分线交O于点P，当点C在上半圆（不包括A, B两点）上移动时，点P（ ）A到CD的距离保持不变 B位置不变 C等分 D随 C 点的移动而移动2. 如图，AB是O的直径，C是O上一点，OD是半径，且OD /AC求证：3. 如图，MN为半圆O的直径，半径OAMN, D为OA的中点，过点D作BC/MN，求证：( 1 ) 四边形ABOC为菱形； (2)MNB=BAC.4. 如图，AB, CD是O的两条弦，且AB=CD , 点M是的中点，求证：MB=MD.5. 如图,AB, CD是O的两条直径，过点A作AE/CD交O于点E，连结BD , DE.求证：BD=DE.圆周角 【知识要点】1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.例1. 如图，在O中，弦AB /CD，求证：AC=BD.例2. 如图， A, B, C, D四点都在O上， AD是O的直径，且AD=6cm，若ABC=CAD求弦AC的长 提高训练1. 如图，已知AB 是O的直径，CD与AB相交于点E，ACD=600，ADC=500 ，则AEC= 2. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350 , 那么圆的直径是 .3. 如图，A, B, C为O上三点，BAC=1200，ABC=450 , M, N 分别为BC, AC的中点，则OM:ON的值为 4. 已知AB是O的直径C, D是O上在AB同旁的两点，且, AC与BD的延长线相交于点 E ，线段 AE与AB有怎样的关系？请加以证明5. 如图，在ABC中，AB=AC，ABC=2A ,BM平分ABC交外接圆于点M , ME/BC交AB于点E试判断四边形EBCM的形状，并加以证明.三个定理1相交弦定理弦AB、CD交于点E => AE·BE=CE·DE2. 切割线定理AD是切线 => AD2=DB·DCDBC是割线3. 割线定理EAB是割线 => EA·EB=EC·EDECD是割线8 / 8
