2025高考数学专项复习第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形含解析.docx

2025高考数学专项复习第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形（解析版）第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形 一选择题（共8小题）1已知椭圆的焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点若，则的方程为ABCD2若椭圆和双曲线有相同的焦点，是两条曲线的一个交点，则的值是ABCD3已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，的面积为，则双曲线的离心率为ABCD4已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是AB2C4D55在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为ABCD6已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为ABCD7将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则ABCD8在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为A1B2C3D4二多选题（共2小题）9过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则A以线段为直径的圆与轴相切B当时，C以线段为直径的圆与直线相离D的最小值为310已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于直线相交于，两点则下列说法正确的是A焦点的坐标为BC的最小值为4D与的面积之比为定值三填空题（共7小题）11已知椭圆的两个焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，若，则的方程为12已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）若，则椭圆的离心率为 13已知椭圆的左、右焦点分别为，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为14过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，在轴上的正射影分别为，若梯形的面积为，则15过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，在轴上的正射影分别为，若梯形的面积为，则16过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则17在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若则四解答题（共1小题）18已知椭圆过点，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点（1）求四边形的面积；（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形 一选择题（共8小题）1已知椭圆的焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点若，则的方程为ABCD【解答】解：，又，又，在轴上在中，在中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，所以椭圆的方程为：故选：2若椭圆和双曲线有相同的焦点，是两条曲线的一个交点，则的值是ABCD【解答】解：设在第一象限，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，则，故选：3已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，的面积为，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：由是双曲线右支上一点，所以，在中，由余弦定理有，所以，所以，所以，所以，所以离心率，故选：4已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是AB2C4D5【解答】解：由题意可得：，解得，又，代入化简可得，所以，解得故选：5在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为ABCD【解答】解：把代入双曲线，可得：，该双曲线的渐近线方程为：故选：6已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为ABCD【解答】解：把代入双曲线双曲线，可得：，则双曲线的渐近线方程为，故选：7将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则ABCD【解答】解：的焦点，等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴轴对称两个边的斜率，其方程为：，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形故，故选：8在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为A1B2C3D4【解答】解：由题意可知，联立方程组，消去可得：，设，则，又，故选：二多选题（共2小题）9过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则A以线段为直径的圆与轴相切B当时，C以线段为直径的圆与直线相离D的最小值为3【解答】解：当直线的斜率不存在时，以线段为直径的圆与轴相切；当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，可得，设，可得的横坐标为，的中点的横坐标为，当时，的中点的横坐标为，得以线段为直径的圆与轴相交，故错；以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，设，可得，可得，又，可得，则，故正确；的焦点，准线方程为，设，在准线上的射影为，由，可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故正确；当直线垂直于轴，可得为通径，取得最小值4，故错误故选：10已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于直线相交于，两点则下列说法正确的是A焦点的坐标为BC的最小值为4D与的面积之比为定值【解答】解：抛物线的方程整理可得：，所以焦点，所以不正确；由椭圆的焦点在轴可得，直线的斜率一点存在，设直线的方程为：，联立，整理可得：，所以，所以，故正确；所以，当轴时最小，这时直线的方程为，代入抛物线的方程可得，所以，所以最小值为4；所以正确；由题意可得直线，的方程分别为：，与的交点分别为，所以；到直线的距离，弦长，所以，所以，所以与的面积之比为定值，故正确；故选：三填空题（共7小题）11已知椭圆的两个焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，若，则的方程为【解答】解：由题意可得，设：，由可得，由椭圆的定义可得，又因为，所以在中，即，在中，即，整理可得，将代入中可得，所以，所以椭圆的方程为：；故答案为：12已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）若，则椭圆的离心率为 【解答】解：取的中点，连接，所以可得，又因为，所以，即，而为的中点，所以，可得，因为，而，所以可得：，在中，由勾股定理可得，即，可得，所以，故答案为：13已知椭圆的左、右焦点分别为，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为【解答】解：设内切圆的半径为，椭圆，其中，则，与轴垂直，则有，解得：，的周长，其面积，由内切圆的性质可知，有，解得圆心横坐标为，即圆心坐标为，则的内切圆方程是，故答案为：14过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，在轴上的正射影分别为，若梯形的面积为，则2【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，设，由题意可知，由，消去得，由韦达定理得，所以梯形的面积为：所以，又，所以故答案为215过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，在轴上的正射影分别为，若梯形的面积为，则3【解答】解：抛物线方程为，设，点坐标分别为，焦点坐标为，直线的方程为，代入抛物线方程得，则梯形的面积为，故答案为：316过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，设，由题意可知，由，消去得，由韦达定理得，梯形的面积为：，又，故答案为17在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若则4【解答】解：双曲线的离心率为，即为，即有，即，设，抛物线的焦点，准线为，可得，联立抛物线方程和双曲线方程可得：，即，可得，即有，即故答案为：4四解答题（共1小题）18已知椭圆过点，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点（1）求四边形的面积；（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：【解答】解：（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为故四边形的面积（2）证明：要证，只需证，因为直线的方程为，即，所以原点到直线的距离，所以，设直线方程为：，则，所以；由，得当，所以，由得，所以第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式 一选择题（共5小题）1已知点是双曲线上的动点，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为AB2CD2已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是A，B，C，D，3已知点是双曲线上的动点，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是ABCD24已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为A32B16C24D85过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，四点，则的值为ABC1D二填空题（共3小题）6已知是椭圆上的动点，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是7已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为8已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为三解答题（共6小题）9已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差10已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，（）证明：；（）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，成等差数列11已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围12已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、（）求椭圆的方程；（）求证：为定值；（）求的最小值13已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值14平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；（）求的取值范围第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式 参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1已知点是双曲线上的动点，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为AB2CD【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即在顶点处取得最大值，不妨取顶点，则的最大值为，故选：2已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：由双曲线的第二定义可知，右支上的点，满足，由，解得，在右支上，可得，可得，即，则，令，可得而在，递减，故选：3已知点是双曲线上的动点，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是ABCD2【解答】解：不妨设为右支上的一点，其中，当时，取得最大值，故选：4已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为A32B16C24D8【解答】解：因为，要使最小，而，由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，所以直线的方程为：，整理可得，所以可得，所以故选：5过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，四点，则的值为ABC1D【解答】解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，当直线的斜率不存在时，则此时，则；当直线的斜率存在时，设，则又设点，联立方程组，消去并化简得，由题知，直线的斜率为，同理可得为定值故选：二填空题（共3小题）6已知是椭圆上的动点，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是，【解答】解：设的坐标为椭圆中，得椭圆的准线方程为，即作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连结，根据圆锥曲线的统一定义，得，同理可得，点在椭圆上，得，由此可得，得，即，得，故答案为：，7已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为【解答】解：根据题意可得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设直线，直线，互相垂直，直线的斜率为，即得，设，则分别将直线，的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，；由韦达定理可得，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故答案为：8已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为36【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，设直线的方程为，联立方程组，则，设，可得，由抛物线的定义可得，由，可将上式中的换为，可得，则当且仅当时，上式取得等号，则的最小值为36故答案为：36三解答题（共6小题）9已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设，线段的中点为，将，代入椭圆中，可得，两式相减可得，即，点在椭圆内，即，解得（2）由题意得，设，则，由（1）及题设得，又点在上，所以，从而，于是同理所以，故，即，成等差数列设改数列的公差为，则将代入得所以的方程为，代入的方程，并整理得故，代入解得所以该数列的公差为或10已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，（）证明：；（）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，成等差数列【解答】（本小题满分12分）证明：（）设，则有（2分）（1）（2）得，（3分）（4分）由题设可知点在椭圆内，解得，（5分）（），为的中点，（6分），点在椭圆上，（7分）又（8分）由（）知，所以直线的方程为，即（9分）由直线的方程与椭圆方程联立，得消化简得，解得，（10分）从而得，又，（11分），成等差数列（12分）11已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围【解答】解：（1）由几何性质可知，当，的内切圆面积的最大值时，即，取最大值，且，由，解得，又由的周长为定值，又，可得，即，故椭圆方程为，（2）当直线和中有一条垂直轴时，当直线的斜率存在但不为0时，设的方程为：，由得，代入弦长公式得，同理由，消去，代入弦长公式得，令，则，由可知的取值范围是，12已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、及、（）求椭圆的方程；（）求证：为定值；（）求的最小值【解答】解：由，得，（1），（1分）由椭圆过点知，（2）（2分）联立（1）、（2）式解得，（3分）故椭圆的方程是（4分）为定值（5分）证明：椭圆的右焦点为，分两种情况当直线的斜率不存在时，则此时，；（6分）当直线的斜率存在时，设，则又设点，联立方程组，消去并化简得，（7分），（8分）由题知，直线的斜率为，同理可得（9分）所以为定值（10分）（）解：由知，（11分），（12分）当且仅当，即，即，时取等号（13分）的最小值为（14分）13已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值【解答】解：（1）由已知可得，则所求椭圆方程由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为（2）当直线的斜率不存在时，此时的长即为椭圆长轴长，从而设直线的斜率为，则，直线的方程为：，直线的方程为，设，由，消去可得，由抛物线定义可知：，由，消去得，从而，令，则，则，所以，所以四边形面积的最小值为814平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；（）求的取值范围【解答】解：由已知，（）设，以右焦点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为，即，其中设，则，即；（）由（）得，且，解得记（a），则（a），当时，（a），（a）为增函数，则（a），即，