2025高考数学专项复习第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类（含解析.docx

2025高考数学专项复习第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类（含解析第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类 一选择题（共15小题）1已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点设直线，的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为ABCD2已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点设直线，的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为ABCD3已知椭圆的左，右顶点分别为，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为ABCD4设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别为，若，则该椭圆的离心率为ABCD5已知双曲线，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为ABCD6双曲线，为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线，斜率分别为，若，则双曲线离心率为AB2CD7双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为ABC2D8设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线的离心率为A2B3CD9过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为ABC2D10已知双曲线的右焦点为，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，则双曲线的离心率的取值范围是A，BC，D11已知斜率为的直线分别交双曲线的左、右支于点，线段的中点为，若（点为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为ABC2D12已知椭圆上关于原点对称的两点为，点为椭圆上异于，的一点，直线和直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为ABCD13如图，已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于，且不与，关于坐标轴对称的任意一点，若直线，的斜率之积为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A2BCD14已知，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，若，则该椭圆的离心率为ABCD15已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上两点关于轴对称，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率是ABCD二填空题（共10小题）16椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是17已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为18如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 19已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为20设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为21已知双曲线，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为 22在平面直角坐标系中，已知点是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点作双曲线的切线，若，则双曲线离心率等于23过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为24经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为 25已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于、两点，且，则双曲线的离心率的最小值为 第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类 参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点设直线，的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为ABCD【解答】解：根据题意可得，设，则，而，所以，又，令，则，所以，所以当时，最小，即，所以，故选：2已知椭圆的左、右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点设直线，的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为ABCD【解答】解：，设，则，则，则令，故时，取最小值，椭圆的离心率为故选：3已知椭圆的左，右顶点分别为，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：由题意可得，设，则由在椭圆上可得，直线与的斜率之积为，把代入化简可得，故选：4设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别为，若，则该椭圆的离心率为ABCD【解答】解：由题意可得，设，则由在椭圆上可得，直线与的斜率之积为，把代入化简可得，离心率故选：5已知双曲线，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：设，两式相减，得，当且仅当时取等号，又当时，三点共线不符合条件，当时取等号，的最小值为2，离心率故选：6双曲线，为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线，斜率分别为，若，则双曲线离心率为AB2CD【解答】解：由题意，设，则，两式相减可得，即，故选：7双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为ABC2D【解答】解：由题意，设，则，两式相减可得，故选：8设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线的离心率为A2B3CD【解答】解：设，是线段的中点，把，分别代入双曲线，得，直线的斜率，的斜率，与的斜率的乘积等于2，此双曲线的离心率故选：9过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为ABC2D【解答】解：设双曲线的左焦点为，连结，设，则，所以，在中，由余弦定理得，化简消去，可得，解得故选：10已知双曲线的右焦点为，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，则双曲线的离心率的取值范围是A，BC，D【解答】解：设，根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点，且，若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，需保证，则，根据双曲线的渐近线为，则，根据双曲线的离心率，根据双曲线的离心率，故选：11已知斜率为的直线分别交双曲线的左、右支于点，线段的中点为，若（点为坐标原点）的斜率为2，则双曲线的离心率为ABC2D【解答】解：设，则，因为（点 为坐标原点）的斜率为2，所以，所以，因为，在双曲线 上，所以，两式相减得，所以，所以，所以，所以，所以离心率为，故选：12已知椭圆上关于原点对称的两点为，点为椭圆上异于，的一点，直线和直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：如图，设，两式相减得：，即直线，斜率之积为，椭圆的离心率故选：13如图，已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于，且不与，关于坐标轴对称的任意一点，若直线，的斜率之积为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A2BCD【解答】解：设，则，则，由题意知，所以，故选：14已知，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线，的斜率分别为，若，则该椭圆的离心率为ABCD【解答】解：由题意可得，设，则，因为在椭圆上，所以，所以由题意，所以可得，所以椭圆的离心率，故选：15已知、分别是椭圆的左、右顶点，、是椭圆上两点关于轴对称，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率是ABCD【解答】解：由已知、两点关于轴对称，设，则，且，即又，故、的斜率之积为，故，所以椭圆离心率是故选：二填空题（共10小题）16椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是【解答】解：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点到点与点的距离相等，而，于，即，又，故故答案为：17已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为【解答】解：如图，作轴于点，则由，得，所以，即，由椭圆的第二定义得又由，得，解得，故答案为：18如图，已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为【解答】解：如图，作轴于点，则由得：，所以，即，由椭圆的第二定义得，又由，得，解得，故答案为：19已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为【解答】解：如图，作轴于点，则由，得，所以，即，由椭圆的第二定义得又由，得，解得，故答案为：20设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于，两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为【解答】解：设点的坐标为，由题意，有，由，得，由，可得，代入并整理得由于，故，于是，椭圆的离心率故答案为：21已知双曲线，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为【解答】解：由题意，可设点，且两式相减得再由斜率公式得：根据的最小值为1，可知，故答案为：22在平面直角坐标系中，已知点是双曲线上的异于顶点的任意一点，过点作双曲线的切线，若，则双曲线离心率等于【解答】解：设，则，由于双曲线在点的切线方程为：，即在点切线的斜率，因为，所以，所以，又，所以，可得离心率，故答案为：23过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为【解答】解：由题意过双曲线 ， 右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率，双曲线离心率的取值范围为故答案为：24经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为2【解答】解：经过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，即，故答案为：225已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于、两点，且，则双曲线的离心率的最小值为2【解答】解：由题意，在双曲线的左支上，在右支上，设，右焦点，双曲线离心率的最小值为2，故答案为：2第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结 一解答题（共16小题）1已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、（1）若为等边三角形，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程2已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点3设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率4已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由5已知椭圆过点，左右焦点分别为，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点（1）求椭圆的离心率；（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程6已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由7如图，已知椭圆经过点，离心率（）求椭圆的标准方程；（）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，的斜率分别为，求证：，成等差数列8已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为（1）求椭圆的方程；（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围9已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由10设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若，求直线的方程；（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）11如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值12已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值13已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为判断是否为定值若是，求出这个定值，若不是，说明理由14下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整（1）圆上点，处的切线方程为 理由如下：（2）椭圆上一点，处的切线方程为；（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，如图，则直线的方程是 这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得得若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 （5）抛物线上一点，处的切线方程为；（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，则直线的方程为直线的方程为，设和相交于点则点在以线段为直径的圆上；点在抛物线的准线上15如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为求证：直线过定点，并求出定点的坐标（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，求四边形面积的最大值（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？点在椭圆上；点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由16已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，如图所示（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结 参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、（1）若为等边三角形，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、，为等边三角形，解得，椭圆的标准方程为（2）椭圆的短轴长为2，椭圆的两个焦点分别为、，椭圆的标准方程为，过点直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，当直线的斜率不存在时，直线为，此时以为直径的圆不经过点，不成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，得设，则，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，解得，即故直线的方程为或2已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点【解答】解：（）设圆心，过点作 轴，垂足为，则，化为当时，也满足上式动圆圆心的轨迹的方程为（）设，由题意可知，轴是的角平分线，化为直线的方程为，化为，化为，令，则，直线过定点3设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，所以，椭圆的方程为（2）由题意，设，设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得，即，所以直线的斜率为，由，得，化简得，从而所以，直线的斜率为或4已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标，则，抛物线的标准方程为，焦点（2）设，由，得点在直线上，且，且四边形的面积，由，得，则，因为，所以，由，的斜率分别为，由图知必过点，可设，且，故直线，令，则直线，代入椭圆方程，得，点 到的距离，四边形的面积，当且仅当时，面积最大为5已知椭圆过点，左右焦点分别为，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点（1）求椭圆的离心率；（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程【解答】解：（1）由椭圆过点，则，连接，由为线段的中点，为线段的中点，则，则，由，由得，则椭圆的离心率；（2）由（1）椭圆与方程，直线的斜率，不妨设直线的方程，设，整理得：，则，解得：，由到的距离，则的面积，当且仅当时，取等号，即，则直线的方程6已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，则，又过点，所以，解得，由可得，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）可知，点，设，联立方程组，可得，所以，所以，因为，所以，整理可得，所以，化简整理可得，解得或，若，则过点，则，与点重合，不符合题意，所以，故存在定值，使当变化时总成立7如图，已知椭圆经过点，离心率（）求椭圆的标准方程；（）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，的斜率分别为，求证：，成等差数列【解答】解：（）由点在椭圆上得，由得，故椭圆的标准方程为（4分）（）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为（5分）代入椭圆方程，整理得（6分）设，则有（7分）在方程中，令得，从而，（9分）又因为、共线，则有，即有，所以将代入得，（12分）又，所以，即，成等差数列（13分）8已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为（1）求椭圆的方程；（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围【解答】解：（1）由已知有，又，可得，设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得，故所求的椭圆方程为；（2）设点的坐标为，直线的斜率为，联立消去整理，可解得或再设直线的斜率为，再联立当时，故得当时，故得综上直线的斜率的取值范围9已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，满足，的的坐标为，在抛物线上，所以，即，解得，所以抛物线的方程为：；（2）设，则，直线的斜率，则直线的方程为：，即，同理可得直线的方程整理可得，将，分别代入，的方程可得，消可得，易知直线，则直线的方程为：，即，故，所以，因此直线恒过定点10设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若，求直线的方程；（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）【解答】解：（1）设的边长为，则，；（2）设直线，时，符合题意；时，方程联立可得，设，则，舍去，综上所述，直线的方程为，；（3）时，直线有4条；，时，2条；，1条11如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值【解答】解：（1）圆的圆心为，半径为，由题意可得，由中位线定理可得，即，由椭圆的定义可得，即，又，即为，解答，则椭圆方程为；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得，设，可得：，由中点坐标公式可得，由，可得，即，即有的坐标为，又，即有，当，即，时，取得最大值12已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值【解答】解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，将点坐标代入椭圆方程可得，又，联立可解得，椭圆的方程为；（2）设切点坐标为，则整理，得，设，联立，可得，的中点坐标为，的垂直平分线方程为，令，得，即，当且仅当时取得等号直线的斜率的最小值为13已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为判断是否为定值若是，求出这个定值，若不是，说明理由【解答】解：（1）设过点且与直线垂直的直线为，则，解得，即，由，解得，即圆心坐标为，所以半径，所以圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设过点的直线为，所以，消去得，设，、，则，所以，所以的中点，由解得，即，所以，所以；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得或，即、，所以，所以，又解得，即，所以，所以，综上可得14下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整（1）圆上点，处的切线方程为 理由如下：（2）椭圆上一点，处的切线方程为；（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，如图，则直线的方程是 这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得得若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 （5）抛物线上一点，处的切线方程为；（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，则直线的方程为直线的方程为，设和相交于点则点在以线段为直径的圆上；点在抛物线的准线上【解答】解：（1）圆上点，处的切线方程为理由如下：若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以，又过点，由点斜式可得，化简可得，又，所以切线的方程为；若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为综上所述，圆上点，处的切线方程为（3）在，两点处，椭圆的切线方程为和，因为两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，可得，由，可得，因为，则，所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为，则，可得，所以圆的半径为2，且过原点，其方程为故答案为：（1），理由见解析；（3）；（4）15如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为求证：直线过定点，并求出定点的坐标（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，求四边形面积的最大值（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？点在椭圆上；点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）设为椭圆的左焦点，连结，作过、的直线交椭圆于、两点，如图所示中，可得，由椭圆的定义，得，由平面几何知识，得，当与重合时，达到最大值；当与重合时，达到最小值由，可得的最大值为，最小值为的取值范围为，（2）设，设，则，三点共线，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，则直线的方程为，即所以直线过定点（3）证明：设，代入椭圆方程，整理，得，设与轴交于点，以线段为直径的圆与轴交于点，则，点，的坐标为，以线段为直径的圆过轴上的两个定点和证明：设、是椭圆上关于原点对称点，设，则，（4）设点坐标为，则，即，为定值（5）将直线的方程代入椭圆的方程中，得由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得：设，法一：当时，设直线的倾斜角为，则，当时，当时，四边形是矩形，所以四边形面积的最大值为法二：，四边形的面积，当且仅当时，故所以四边形的面积的最大值为（6）存在这样的点符合题意设线段的中点为，直线的斜率为，注意到，则直线的方程为，由消去得：，所以，故，又点在直线上，所以，由可得，整理得，所以，在线段上存在点符合题意，其中（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件知，由条件得，又因为点，所以即，故，解之得或（舍，当时，解得不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在16已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，如图所示（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的方程化为，（2分）抛物线的焦点坐标为（4分）（2）联立方程组，解得点坐标为（6分）联立方程组，解得点坐标为（7分）所以直线的方程为，（8分）令，解得点的坐标为（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为，则另一条为，联立方程组，解得点坐标为（11分）联立方程组，解得点坐标为，（12分）所以直线的方程为，（13分）令，解得直线恒过定点（14分）