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2025高考数学专项复习第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题含解析第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题 一解答题（共16小题）1在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，且离心率，（1）求椭圆方程（2）经过点且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点和求的取值范围设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由2已知椭圆的右焦点，点，为椭圆的半焦距）在轴上，若椭圆的离心率，且（1）求椭圆方程；（2）若过的直线交椭圆与，两点，且与向量共线（其中为坐标原点），求证：3在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，（）若；求直线的斜率的值；（）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由4如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，不在轴上，过引抛物线的切线，切点分别为，（）设线段的中点为；（）求证：平行于轴；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由5已知点，的坐标分别是，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线相交于，两点，若曲线上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围6如图所示，已知圆与直线相切（）求的值（）直线与圆相交于，两点，若在圆上存在一点，使四边形为平行四边形，求实数的取值范围7在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且（）求的顶点的轨迹的方程；（）直线与轨迹相交于，两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围8已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由9设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心、以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由10已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点，试判断以和为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由11已知椭圆左右两个焦点分别为，为椭圆上一点，过且与轴垂直的直线与椭圆相交所得弦长为3抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与椭圆的右焦点重合（）求椭圆和抛物线的方程；（）过抛物线上一点（异于原点作抛物线切线交椭圆于，两点，求面积的最大值；（）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过且平行于的直线交椭圆于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由12设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由13设，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由14在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围15已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使为平行四边形，求的取值范围16椭圆左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点当直线轴时，（）求椭圆的离心率；（）若椭圆上存在点，使得四边形是平行四边形，求此时直线的斜率第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题 参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，且离心率，（1）求椭圆方程（2）经过点且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点和求的取值范围设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）由焦点在轴，经过，故，又离心率，解得：，椭圆方程为；（2）由已知条件，直线的方程为，整理得，直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得：即的取值范围为设，则，由韦达定理得：，又，而，与共线等价于，解得，由知矛盾，故没有符合题意的常数2已知椭圆的右焦点，点，为椭圆的半焦距）在轴上，若椭圆的离心率，且（1）求椭圆方程；（2）若过的直线交椭圆与，两点，且与向量共线（其中为坐标原点），求证：【解答】解：（1）依题意有：，椭圆方程：（6分）（2）设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，由与向量共线，得，故（13分）3在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，（）若；求直线的斜率的值；（）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【解答】（本小题12分）解：（1）直线经过点且斜率为，（1分）由，得，（3分）由，得，（4分），解得，或（舍（6分）（2）设，则（7分），（9分）与共线等价于，（10分）由上述式子得：（11分）又，不存在这样的常数满足条件（12分）4如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，不在轴上，过引抛物线的切线，切点分别为，（）设线段的中点为；（）求证：平行于轴；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】（）（）证明：由题意设，由得，则，所以，因此直线的方程为，直线的方程为所以，由、得，因此，即所以平行于轴（）解：由（）知，当时，将其代入、并整理得：，所以，是方程的两根，因此，又，所以由弦长公式的又，所以或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若，在抛物线上，则，因此或即或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意得点综上所述，不存在符合题意得点5已知点，的坐标分别是，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线相交于，两点，若曲线上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围【解答】解：（1），化简得曲线的方程：（2）设，联立，得，即，若四边形为平行四边形，则的中点也是的中点，所以点的坐标为，又点在曲线上得，化简得将代入得，所以，由得，所以或，当直线经过，时，代入得，不符合题意所以的取值范围为，6如图所示，已知圆与直线相切（）求的值（）直线与圆相交于，两点，若在圆上存在一点，使四边形为平行四边形，求实数的取值范围【解答】解：（）圆心到直线的距离为，直线与圆相切，（）设，联立方程组，消去得，四边形为平行四边形，线段的中点即为线段的中点，点的坐标为，即，由点在圆上，整理得，此时，即或，即的取值范围为，7在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且（）求的顶点的轨迹的方程；（）直线与轨迹相交于，两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围【解答】解：设，点是的重心，轴上一点满足，化为即为的顶点的轨迹的方程；设，联立，化为，由，化为，四边形为平行四边形，点在椭圆上，化为代入，可得，又，解得或的取值范围是8已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由【解答】解：（1）设直线，将代入，得，则判别式，则，则，于是直线的斜率，即，直线的斜率与的斜率的乘积为定值（2）四边形能为平行四边形直线过点，由判别式，即，即，即，则，不过原点且与有两个交点的充要条件是，由（1）知的方程为，设的横坐标为，由得，即，将点，的坐标代入的方程得，即的方程为，将，代入，得解得，四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得或，2，当的斜率为或时，四边形能为平行四边形9设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心、以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由题意知所以椭圆 的方程为（4分）（2）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分（5分）理由如下：由题可知直线、的斜率存在设直线的方程为，直线的方程为由消去得则，（7分）由消去得则，（9分）若四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，直线的方程为时，四边形的对角线互相平分（12分）10已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点，试判断以和为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由【解答】解：（1）设直线的方程为，由题意得，解得：，所以椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，若平行四边形为菱形，则为左顶点或右顶点，此时直线的方程为当直线的斜率为0时，若四边形为菱形，则点为上顶点或下顶点，此时的方程为，当直线的斜率存在时，设，联立直线方程与椭圆方程可得：，则，所以，若四边形为菱形，则，所以点，所以直线的斜率，所以，这与 矛盾，所以四边形不能是菱形，综上，四边形能为菱形，此时直线的方程为或11已知椭圆左右两个焦点分别为，为椭圆上一点，过且与轴垂直的直线与椭圆相交所得弦长为3抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与椭圆的右焦点重合（）求椭圆和抛物线的方程；（）过抛物线上一点（异于原点作抛物线切线交椭圆于，两点，求面积的最大值；（）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过且平行于的直线交椭圆于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）设，令，代入椭圆方程可得，由题意可得，又在椭圆上，可得，解得，可得椭圆的方程为；即有抛物线的焦点为，可得抛物线的方程为；（）设，设抛物线切线的方程为，由两边对求导，可得，即为，可得，即有切线的方程为，即为，代入椭圆方程，可得，设，即有，得，原点到直线的距离为，则面积，令，可得，则，可令，由，可得在递增，可得，即有，即有当时，取得最大值由，解得，故当时，的面积取得最大值；（）可设直线，代入椭圆，可得，设，可得，直线，代入椭圆，可得，设，可得，假设四边形的对角线互相平分，可得四边形为平行四边形，与的中点重合即有，即为，即有，则有，即为，解得故存在直线，方程为12设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）点和关于点对称，椭圆的焦点为，由椭圆定义，得，从而，故椭圆的方程为；（2）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分理由如下：由题可知直线、直线的斜率存在，设直线的方程为、直线的方程为，由 消去，得，根据题意可知，设，由韦达定理可知，由 消去，得，由，可知，设，又，则，若四边形的对角线互相平分，则有与的中点重合，所以，即，故，所以，解得，从而直线方程为时，四边形的对角线互相平分13设，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）点和关于点对称，椭圆方程为：；（）结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分理由如下：如图，设，三点的横坐标分别为，直线的方程为：，的方程为：，由方程与椭圆方程联立消去，得，得，由方程与椭圆方程联立消去，得，得，四边形的对角线互相平分，的中点重合，平方可得，解得，故直线为时，四边形对角线互相平分14在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围【解答】解：（）点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，解得，椭圆的方程为（）设，四边形为平行四边形，线段的中点即为线段的中点，即，点在椭圆上，化简，得，由，得，由，得，又，代入式，得，化简，得，代入式，得，又，或的取值范围为，15已知椭圆的右焦点为，上顶点为，短轴长为2，为原点，直线与椭圆的另一个交点为，且的面积是的面积的3倍（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线与椭圆相交于，两点，若在椭圆上存在点，使为平行四边形，求的取值范围【解答】解：（1）短轴长为2，可得，即有，设，的面积是的面积的3倍，即为，可得，由直线经过，可得，即，代入椭圆方程可得，即为，即有，则椭圆方程为；（2）设，由为平行四边形，可得，在椭圆上，可得，即为，化为，由可得，由，即为，代入可得，化为，代入可得，又，解得或则的取值范围是，16椭圆左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点当直线轴时，（）求椭圆的离心率；（）若椭圆上存在点，使得四边形是平行四边形，求此时直线的斜率【解答】解：（）方法一：因为过，且，设，不妨设为第一象限点，则则，所以，所以，则，所以，所以所以，所以；方法二：因为，所以，因此，所以，所以；（）由（），可设椭圆，线段的中点，由题意可以判断直线的斜率存在，设，联立方程组，消去，整理得，所以，因此，则因为四边形是平行四边形，所以是的中点，所以，又因为在椭圆上，所以代入，得，整理得，解得或（舍去），所以所以直线的斜率为第20讲 共线向量问题 一解答题（共18小题）1已知直线，椭圆（）若不论取何值，直线与椭圆恒有公共点，试求出的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式；（）当时，直线与椭圆相交于，两点，与轴交于点若，求椭圆的方程2已知直线与椭圆相交于，两个不同的点，记直线与轴的交点为（）若，且，求实数的值；（）若，求的值，及的面积3已知直线与椭圆相交于、两个不同的点，记与轴的交点为（）若，且，求实数的值；（）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程4在平面直角坐标系中，已知，若实数使得为坐标原点）（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点，在，之间），试求与面积之比的取值范围5如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围6如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为4，设动点的轨迹为（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围7在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，的坐标分别为，且，所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），且，求实数的取值范围8已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于（）求直线的斜率的取值范围；（）设为原点，求证：为定值9如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于，求证：为定值10已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，且直线交轴于，直线交轴于（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围11已知，直线，动圆与相外切，且与直线相切设动圆圆心的轨迹为，过点的直线与曲线有两个不同的交点、（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，点，直线交轴于，直线交轴于，求证：为定值12如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，且满足，其中为正常数当点恰为椭圆的右顶点时，对应的（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由13已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，得到三角形的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）设，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由14双曲线，已知，是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1（）求双曲线的离心率；（）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程15已知圆，过点的直线交圆所得的弦长为，且与轴的交点为双曲线的右焦点，双曲线的离心率为（1）求双曲线的方程；（2）过点，作动直线交双曲线右支于、两点，点异于，且在线段上运动，并满足关系，试证明点恒在一条直线上16点在以，为焦点的双曲线上，已知，为坐标原点（）求双曲线的离心率；（）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，求双曲线的方程；（）若过点，为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由17设直线，双曲线，双曲线的离心率为，与交于，两点，直线与轴交于点，且（1）证明：；（2）求双曲线的方程；（3）若点是双曲线的右焦点，是双曲线上两点，且，求实数的取值范围18，是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值第20讲 共线向量问题 参考答案与试题解析一解答题（共18小题）1已知直线，椭圆（）若不论取何值，直线与椭圆恒有公共点，试求出的取值范围及椭圆离心率关于的函数关系式；（）当时，直线与椭圆相交于，两点，与轴交于点若，求椭圆的方程【解答】解：（）直线恒过定点，且直线与椭圆恒有公共点，点在椭圆上或其内部，得，解得，且（3分）（联立方程组，用判别式法也可）当时，椭圆的焦点在轴上，；当时，椭圆的焦点在轴上，（6分）（）由，消去得设，则，由得（9分）由得将代入得，解得不合题意，舍去）椭圆的方程为（12分）2已知直线与椭圆相交于，两个不同的点，记直线与轴的交点为（）若，且，求实数的值；（）若，求的值，及的面积【解答】解：设，联立得：因此，（6分），可得：，直线与轴的交点为，（9分）由得：，代入，得：消去得：（12分）（15分）3已知直线与椭圆相交于、两个不同的点，记与轴的交点为（）若，且，求实数的值；（）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程【解答】解：设，（）由得，则，则，解得（）由，得，则，由得，解得，代入上式得：，则，当且仅当时取等号，此时，又，则，解得所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为4在平面直角坐标系中，已知，若实数使得为坐标原点）（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点，在，之间），试求与面积之比的取值范围【解答】解：（1）化简得：时方程为轨迹为一条直线时方程为轨迹为圆，时方程为轨迹为椭圆，时方程为轨迹为双曲线（2），点轨迹方程为，设直线直线方程为，联立方程可得：，由题意可知：，所以5如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围【解答】解：（）设的坐标为，显然有，且当时，点的坐标为当时，由有，即，化简可得而点在曲线上综上可知，轨迹的方程为；（）直线与联立，消元可得有两根且均在内设，设，的坐标分别为，且，且，且的取值范围是，6如图，动点与两定点、构成，且直线、的斜率之积为4，设动点的轨迹为（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点、，且，求的取值范围【解答】解：（）设，则，直线、的斜率之积为4，又时，必有一个斜率不存在，故综上点的轨迹方程为（）直线与联立，消元可得当1或是方程的根时，的值为1或，结合题设可知，且设，的坐标分别为，且，且，且的取值范围是，7在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，的坐标分别为，且，所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），且，求实数的取值范围【解答】解：（）设点，的两个顶点，的坐标分别为，且，所在直线的斜率之积等于，化简得曲线的方程为：；（）设直线与轴相交于点，与曲线相交于不同的两点，（点在点和点之间），设，；，又，且，由得，结合得实数的取值范围且点在点和点之间，综上，实数的取值范围：8已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于（）求直线的斜率的取值范围；（）设为原点，求证：为定值【解答】解：（）抛物线经过点，解得，设过点的直线方程为，联立方程组可得，消可得，且解得，且，又、要与轴相交，直线不能经过点，即，故直线的斜率的取值范围，；（）证明：设点，则，因为，所以，故，同理，直线的方程为，令，得，同理可得，因为，为定值9如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于，求证：为定值【解答】解：（1）抛物线经过点，解得，设过点的直线方程为，；联立方程组可得，消可得，且解得，故直线的斜率的取值范围，；（2）证明：设点，则，；因为，所以，故，同理，直线的方程为，令，得，同理可得，因为，即有为定值10已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、，且直线交轴于，直线交轴于（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围【解答】解：（1）因点在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程为令直线的斜率为，则直线方程为：，由，消去并整理得，直线与抛物线有两个不同的交点、，则，解得且，又直线，与相交，而点在抛物线上，则直线不能过点，否则或之一平行于轴，矛盾，因此，综上得：，且，所以直线的斜率的取值范围，（2）设点，而，则，同理，设，由，知，直线方程：，即，则，令，得，同理，于是得，所以为定值211已知，直线，动圆与相外切，且与直线相切设动圆圆心的轨迹为，过点的直线与曲线有两个不同的交点、（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，点，直线交轴于，直线交轴于，求证：为定值【解答】解：（1）由题意设，且，由题意可得，整理可得：；所以曲线的方程为：；由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得，解得，且，所以直线的斜率的取值范围，（2）证明：由（1）可得：，直线的方程为：，令可得，可得，同理可得的坐标，由，可得，所以，所以为定值212如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点，和，且满足，其中为正常数当点恰为椭圆的右顶点时，对应的（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由【解答】（本小题满分16分）解：（1）因为，所以，整理得，即，所以离心率（4分）（2）因为，所以由，得，（7分）将它代入到椭圆方程中，得，解得，所以（10分）（3）解法一：设，由，得，（12分）又椭圆的方程为，所以由，得，且，由得，即，结合，得，（14分）同理，有，所以，从而，即为定值（16分）（3）解法二：设，由，得，同理，（12分）将，坐标代入椭圆方程得，两式相减得，即，（14分）同理，而，所以，所以，所以，即，所以为定值（16分）13已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，得到三角形的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）设，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且，试判断的面积是否为定值，并说明理由【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，其中，双曲线的两条渐近线的方程为，设，则，因为三角形的面积为1，所以，所以，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，因为，所以，此时的方程为；或，此时的方程为将，代入椭圆方程得，所以的面积为由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为；当直线的斜率存在时，设直线方程为，设，因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点，所以，联立和，得，当时，所以，故，因为点在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足，因而与满足的等式关系为当时，因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍，设直线与轴交于点，则那么的面积为：，关系式（1）代入得，综合得，的面积为定值14双曲线，已知，是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1（）求双曲线的离心率；（）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程【解答】解：（），是双曲线上一点，可得，即为，由题意可得，可得，即有；（）由题意可得，双曲线的方程为，设直线的方程为，联立双曲线的方程，可得，设，则，又，可得，由可得，代入可得，解得，则直线的方程为15已知圆，过点的直线交圆所得的弦长为，且与轴的交点为双曲线的右焦点，双曲线的离心率为（1）求双曲线的方程；（2）过点，作动直线交双曲线右支于、两点，点异于，且在线段上运动，并满足关系，试证明点恒在一条直线上【解答】解：（1）设过点的直线为，即为，圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，由，解得或则直线为，令，则舍去，或直线，令，则成立，即有，由离心率为即解得，则双曲线的方程为；设过点，作动直线交双曲线右支于，、，两点，点，则，设，则，则，则，即，则，即，即，故，故点恒在一条直线上16点在以，为焦点的双曲线上，已知，为坐标原点（）求双曲线的离心率；（）过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，求双曲线的方程；（）若过点，为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：，渐近线为设，代入化简，假设在轴上存在定点使，设，联立与的方程得故（3）由（4）（3）即为（5），将（4）代入（1）（2）有代入（5）得故在轴上存在定点使17设直线，双曲线，双曲线的离心率为，与交于，两点，直线与轴交于点，且（1）证明：；（2）求双曲线的方程；（3）若点是双曲线的右焦点，是双曲线上两点，且，求实数的取值范围【解答】（1）双曲线的离心率为，从而双曲线的方程可化为设，由得：则有，从而，则，即；（2），由得由得则故双曲线的方程为；（3）易知，设，由得：设直线的方程为由得：则，消去，得：，解得或当时，可求出当直线与轴重合时，可求出或故的取值范围是18，是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值【解答】解：（1），是双曲线上一点，由题意又有，联立、可得，则，（2）联立，得，设，则，设，即又为双曲线上一点，即，有，化简得：，又，在双曲线上，所以，而，得，解得或