2025高考数学专项复习第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式含解析.docx

2025高考数学专项复习第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式含解析第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式 一选择题（共11小题）1已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于ABC2D32如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为ABCD3点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为ABCD4已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为ABCD5已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则椭圆的离心率等于ABCD6已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为ABCD7已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是ABCD8已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是ABCD9已知椭圆的左、右焦点分别为，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为ABCD10已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为ABCD11已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为ABCD二填空题（共6小题）12已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为 13已知椭圆的左，右焦点为，为椭圆上一点，若，成等差数列，则椭圆的离心率为 14已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）若，则椭圆的离心率为 15点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为16已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 17已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为三解答题（共1小题）18已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，求该椭圆的离心率的取值范围第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式 参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于ABC2D3【解答】解：，设，即，故选：2如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，四点，使得四边形为平行四边形，且，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：连接，设，由双曲线的定义可得，由题意可得，由双曲线的定义可得，在三角形中，由余弦定理可得，即为，化简可得，在直角三角形中，所以，即为，即故选：3点是双曲线与圆的一个交点，且，其中、分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：，圆必过双曲线的两个焦点，则，故双曲线的离心率为故选：4已知、分别为双曲线的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为ABCD【解答】解：圆的半径为，圆的直径为，故选：5已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则椭圆的离心率等于ABCD【解答】解：，是直角三角形，由椭圆的定义可得，故选：6已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为ABCD【解答】解：在中，由正弦定理知，即，又在椭圆上，联立得，即，同除以得，得椭圆的离心率的取值范围为故选：7已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是ABCD【解答】解：设，因为点在椭圆上，所以，所以，因为，所以，解得，由题意可知，即，由可得，即，显然成立，由可得，则，又，所以，故选：8已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是ABCD【解答】解：，是以为底的等腰三角形，过作交于，则有，即，解得该椭圆的离心率的取值范围是，故选：9已知椭圆的左、右焦点分别为，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点，由题意设直线的方程为，联立，整理可得：，则，若，则，联立，可得，整理可得：，解得，故选：10已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率的值为ABCD【解答】解：由题意，由点，向右准线作垂线，设垂足分别为，设，由椭圆的第二定义，可得：，过点向直线作垂线，设垂足为，则在中，即，解得故选：11已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设，则，而由椭圆的定义可知，所以，所以，则，在中，所以在中，即，整理可得：，所以，故选：二填空题（共6小题）12已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与双曲线E交于A，B两点，满足|AF2|F1F2|，且，则双曲线E的离心率e为 【解答】解：因为|AF2|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|2c2a，由，则|BF1|4c4a，所以|BF2|BF1|+2a4c2a，在AF1F2中，由余弦定理可得cosAF1F2，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF1F2，又因为cosAF1F2+cosBF1F20，即+0，整理可得3c2+5a28ac0，即3e28e+50，解得：e或e1（舍），故答案为：13已知椭圆的左，右焦点为，为椭圆上一点，若，成等差数列，则椭圆的离心率为 【解答】解：因为，成等差数列，所以，即，所以故答案为：14已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）若，则椭圆的离心率为 【解答】解：取的中点，连接，所以可得，又因为，所以，即，而为的中点，所以，可得，因为，而，所以可得：，在中，由勾股定理可得，即，可得，所以，故答案为：15点是双曲线与圆的一个交点，且，其中，分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的离心率为【解答】解：如图所示，圆的直径，是直角；在中，故答案为：16已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 【解答】解：设，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，得，得，由余弦定理可得，所以，设，所以，当即时，最大值为，此时，故答案为：17已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为【解答】解：双曲线的渐近线方程为，直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，直线的方程为，与联立，可得或，故答案为：三解答题（共1小题）18已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，求该椭圆的离心率的取值范围【解答】解：因为，即，所以，由正弦定理可得，即，而，所以，即，可得，解得，所以该椭圆的离心率的范围，第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理 一选择题（共11小题）1已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为ABCD2已知椭圆与双曲线有相同的焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则ABCD3已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点，且满足，则的值为A3B4C5D64已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，且满足，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为ABC2D5已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，的离心率是，则的离心率是ABCD36已知椭圆与双曲线，有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是ABCD以上答案都不对7已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为A3BC7D8已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是ABCD9已知椭圆与双曲线的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，则的值为A1BCD10已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为A2B3C4D611已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是ABCD二多选题（共2小题）12已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为，的离心率，则ABCD13已知椭圆与双曲线，有公共的焦点，设是，的一个交点，与的离心率分别是，则下列结论正确的有AB的面积C若，则D若，则三填空题（共11小题）14已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 15已知椭圆与双曲线有公共的焦点，设是，的一个交点，与的离心率分别是，若，则的最小值为 16已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为17已知椭圆与双曲线的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为1，则双曲线的离心率等于18已知椭圆及双曲线，均以为右焦点且都经过点，则椭圆与双曲线的离心率之比为19已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是20已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其左，右焦点分别为、，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的离心率为21已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，且，若，则椭圆的离心率为22已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1若，则该双曲线的离心率为23已知椭圆与双曲线的离心率分别为，且有公共的焦点，则，若为两曲线的一个交点，则24已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，且在第一象限交点为，且若与的离心率分别为、，则的最大值为第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理 参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为ABCD【解答】解：设，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，得，得，由余弦定理可得，所以，设，所以，当即时，最大值为，此时，故选：2已知椭圆与双曲线有相同的焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则ABCD【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得，则，所以故选：3已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，分别为、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第二象限的公共点为点，且满足，则的值为A3B4C5D6【解答】解：因为，设，设双曲线的实半轴长为，半个焦距，椭圆的长半轴长为，半个焦距为，由椭圆，双曲线的定义可得，所以椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，所以，故选：4已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，且满足，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为ABC2D【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在轴上，设椭圆的方程，双曲线的方程为：，由题意可得，设，在中，由余弦定理，在双曲线中，椭圆中，所以，可得，因为足，所以，可得，所以，所以，故选：5已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点是与的一个公共点，是一个以为底的等腰三角形，的离心率是，则的离心率是ABCD3【解答】解：根据题意知的离心率，又，双曲线的离心率，故选：6已知椭圆与双曲线，有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是ABCD以上答案都不对【解答】解：设椭圆与双曲线的焦距为，再设，由题意可得，即则令，则函数在上单调递增，可得（2）的取值范围是故选：7已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线的一个公共点为点，且满足，则的值为A3BC7D【解答】解：由题意可得：故选：8已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是ABCD【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定可得，解得，由，可得，即，由，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在递增，可得，则，故选：9已知椭圆与双曲线的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，则的值为A1BCD【解答】解：椭圆与双曲线的焦点重合，可得，即，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得，由可得，则故选：10已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足，则的值为A2B3C4D6【解答】解：如图，得，得设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则，即，得；，即，得故选：11已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是ABCD【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定可得，解得，由，可得，即，由，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在递增，可得，故选：二多选题（共2小题）12已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为，的离心率，则ABCD【解答】解：由题意椭圆与双曲线的焦点重合，可得，即，又，则，由，则故选：13已知椭圆与双曲线，有公共的焦点，设是，的一个交点，与的离心率分别是，则下列结论正确的有AB的面积C若，则D若，则【解答】解：由是，的一个交点，所以，得，所以，故正确；设，由椭圆焦点三角形面积公式可得，由双曲线焦点三角形面积公式可得，所以，所以，故正确；若，则有，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故正确；若，可得，所以可得，所以，所以，故错误；故选：三填空题（共11小题）14已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则取最大值时的值为 【解答】解：设，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，得，得，由余弦定理可得，所以，设，所以，当即时，最大值为，此时，故答案为：15已知椭圆与双曲线有公共的焦点，设是，的一个交点，与的离心率分别是，若，则的最小值为 【解答】解：由已知可设，且，结合椭圆与双曲线的定义可知：，所以，设焦距为，则在中，由余弦定理得，两边同除以得，即，当且仅当，即时取等号，故所求的最小值为故答案为：16已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为【解答】解：令，由椭圆的方程，可得，设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，又，所以双曲线的离心率为故答案为：17已知椭圆与双曲线的一条渐近线的交点为，若点的横坐标为1，则双曲线的离心率等于【解答】解：当时，代入椭圆方程：，解得：，假设在第一象限，则，双曲线（的渐近线方程，则在直线，则，双曲线的离心率，双曲线的离心率为：，故答案为：18已知椭圆及双曲线，均以为右焦点且都经过点，则椭圆与双曲线的离心率之比为【解答】解：由题意可得，设都经过点为点，左、右焦点分别为、，则，又，又，椭圆与双曲线的离心率之比为，即，故答案为：19已知椭圆与双曲线，有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是，【解答】解：设，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，可得，则，即，由，可得，且，则，令，即，可得，可得，由，可得，则的取值范围是，故答案为：，20已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其左，右焦点分别为、，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的离心率为【解答】解：如图：在椭圆中，由椭圆定义得，在双曲线中，所以双曲线实轴长为：，实半轴长为，所以双曲线的离心率为故答案为：21已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，且，若，则椭圆的离心率为【解答】解：设椭圆，双曲线，依题意，且，则，由圆锥曲线定义，得，且，在中，由余弦定理，得：，则，双曲线的离心率分别为且，则椭圆的离心率为：故答案为：22已知椭圆与双曲线共焦点，、分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1若，则该双曲线的离心率为【解答】解：如图，如图，由椭圆定义，由双曲线定义，联立，得，在中，由，得，即，则由，得，则，即，解得，双曲线的离心率大于1，该双曲线的离心率为故答案为：23已知椭圆与双曲线的离心率分别为，且有公共的焦点，则0，若为两曲线的一个交点，则【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在轴上，故而椭圆的焦点在轴上，即椭圆的离心率，双曲线的离心率，在椭圆上，又在双曲线上，不妨设，则，故答案为：0，324已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，且在第一象限交点为，且若与的离心率分别为、，则的最大值为【解答】解：设，则，在中，由余弦定理可得：，化为， 由柯西不等式得（或采用三角换元求解也行）故答案为：