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谈数学中的反证法 谈数学中的反证法 何 昊 摘 要：系统地介绍了理论基础，对反证法的逻辑形式，唯一的负命题，命题，确定命题三用反证法适用的命题类型进行了具体探讨。 关键词：反证法；否定性；唯一性 在数学的诸多方法中，反证法是一种重要的证明方法，尤其在数学证明中，它是一种间接的证据，被称为“一个最先进的武器”的数学家.反证法常常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易干脆下手的命题.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简洁地概括为“否定推理反对确定”四个步骤.一个数学问题的解决方案，假如你觉得不足或没有启动的“条件”，不妨考虑反证法的运用.反证法的应用范围很广，比如代数、数论、几何、组合等方面的应用. 一、反证法的概念及类型 反谓反证法，就是在要证明“若A则B”时，可以先将结论B予以否定，记作，然后从A与动身，经正确的逻辑推理而得到冲突，从而原命题得证. 反证法大致可分为以下两种类型： 归谬法：论题结论的反面只有一种状况，只要把这种状况推翻就达到了目的. 穷举法：论题结论的反面不止一种状况，要一一驳倒，最终才能确定原命题结论正确. 二、反证法常用于以下几种命题的证明 1.存在性命题 例1：证明A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1. 分析：这个问题好像很简洁，但干脆的证明是不简单的.因此，应用反证法，它可以很简单地证明. 证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+EAM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他两边. 由“大边对大角”知，AMB>ABM.同理，AMB>BAM. 所以，3AMB>ABM+AMB+BAM=180°， 所以AMB>60°. 同理BMC、CMD、DME、EMF、FMA均大于60°. 所以AMB+BMC+CMD+DME+EMF+FMA>360°. 但是，很明显，这个角围成了一个周角，它们的和不行能大于360°，出现冲突. 故而假设不正确，所以原命题成立. 3.唯一性命题 例3：求证方程x=sinx+a的解唯一. 分析：干脆解或证明是特别困难的，作为唯一的命题往往采纳反证法证明. 所以原方程的解是唯一的. 从上面的例子中，我们可以看到，最大的优势是反证法超过一个或几个条件，从相反的结论来看，与一些已知的条件下，原出口的冲突，从而达到负的假设、确定原命题的目的.从上面，我们应当充分利用反证法，必需正确把握敏捷运用“反设”“归谬”这两个反证步骤.反设是反证法的第一步，能否正确否定结论，对论证的正确性有着干脆的影响. 反证法是很奇妙的，它的应用是很广泛的，但原委怎样的命题证明才适于用反证法，却很难回答，这是一个阅历问题. 参考文献： 1李建泉.中等数学M.中国学术电子出版社，2004. 2刘广云.数学分析选讲M.哈尔滨：黑龙江教化出版社，11013. 3张顺燕.数学的思想、方法和应用M.北京：北京高校出版社，2003. 4曹珍富.数论中的问题与结果.哈尔滨工业高校出版社，11016：6-10. 5左铨如，季素月.初等几何探讨.上海科技教化出版社，11011：50-56. 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页