2007高考数学试题(上海理)含答案.pdf

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷 (理) 一填空题（本大题满分44 分）本大题共有11 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1函数3)4lg(xxy的定义域是2若直线1210lxmy：与直线231lyx：平行，则m3函数1)(xxxf的反函数)(1xf4方程96370 xx?的解是5若 xy+R，且14yx，则xy?的最大值是6函数2sin3sinxxy的最小正周期T7在五个数字1 2 3 4 5， 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示） 8以双曲线15422yx的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是9对于非零实数ab，以下四个命题都成立：01aa；2222)(bababa； 若|ba，则ba； 若aba2，则ba那么，对于非零复数ab，仍然成立的命题的所有序号是10在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种已知，是两个相交平面，空间两条直线12ll，在上的射影是直线12ss，12ll，在上的射影是直线12tt，用1s与2s，1t与2t的位置关系，写出一个总能确定1l与2l是异面直线的充分条件：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 11已 知P为 圆1)1(22yx上 任 意一 点 （ 原 点O除 外 ） ， 直 线OP的 倾 斜 角 为弧 度 ， 记|OPd在 右 侧 的 坐 标 系 中 ， 画 出 以 ()d，为 坐 标 的 点 的 轨 迹 的 大 致 图 形 为二选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分12已知abR，且i, i2ba（i是虚数单位）是实系数一元二次方程02qpxx的两个根，那么pq，的值分别是（）45pq，43pq，45pq，43pq，13设ab，是非零实数，若ba，则下列不等式成立的是（）22babaab22baab2211baab14直角坐标系xOy中， ijrr， 分别是与xy，轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB3,2，则k的可能值个数是（） 1 2 3 4 15设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满足：“当2( )f kk成立时，总可推出(1)f k2)1(k成立”那么，下列命题总成立的是（）若(3)9f成立，则当1k时，均有2()fkk成立若(5)25f成立，则当5k时，均有2()f kk成立若49)7(f成立，则当8k时，均有2)(kkf成立若25)4(f成立，则当4k时，均有2()f kk成立三解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - CB1C1B1AA16 （本题满分12 分）如图，在体积为1 的直三棱柱111CBAABC中，1,90BCACACB求直线BA1与平面CCBB11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）17 （本题满分14 分）在ABC中 ，abc， ，分 别 是 三 个 内 角ABC， ，的 对 边 若4, 2Ca，5522cosB，求ABC的面积S18 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002 年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如， 2003精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 年的年生产量的增长率为36%） （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1 兆瓦） ；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%） ，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第 2 小题满分7 分已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在2)x，上为增函数，求a的取值范围20 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分 9 分如果有穷数列123na aaaL， ， ， ， （n为正整数） 满足条件naa1，12naa， ，1aan，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 即1iniaa（1 2inL， ， ） ，我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列01mmmmCCCL， ， ，就是“对称数列” （1）设nb是项数为 7 的“对称数列” ，其中1234b bb b， ， ， 是等差数列，且21b，114b依次写出nb的每一项；（2）设nc是项数为12k(正整数1k)的“对称数列”，其中121kkkcccL， ，是首项为50，公差为4的等差数列记nc各项的和为12kS当k为何值时，12kS取得最大值？并求出12kS的最大值；（ 3）对于确定的正整数1m，写出所有项数不超过m2的“对称数列”，使得211 2 22mL， ， ，依次是该数列中连续的项；当m1500时，求其中一个 “对称数列” 前2008项的和2008S21 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分 8 分我们把由半椭圆12222byax(0)x与半椭圆12222cxby(0)x 合成的曲线称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 作“果圆”，其中222cba，0a，0cb如图，点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B分别是“果圆”与x，y轴的交点（1）若012F F F是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21AA21BB时，求ab的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值； 若不存在， 说明理由2007 年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷 ( 理工农医类 ) 答案要点一、填空题（第1 题至第 11 题）y 1BO 1A2B2A. . 1F0F2Fx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - C1AA1C1BBxyz134xxx且2323）（11xxx47log35161673. 08)3(122xy91021/ ss，并且1t与2t相交（/1t2t，并且1s与2s相交）11二、选择题（第12 题至第 15 题）题号12131415答案A C B D 三、解答题（第16 题至第 21 题）16解法一：由题意，可得体积11111122ABCVCC SCCAC BCCCgg gg，211CCAA连接1BC1111111ACB CACCCQ，11CA平面CCBB11，11BCA是直线BA1与平面CCBB11所成的角52211BCCCBC，51tan11111BCCABCA，则11BCA55arctan即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为55arctan解法二：由题意，可得体积11111122ABCVCC SCCAC BCCCgg gg，CB1B1AA1C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 21CC，如图，建立空间直角坐标系得点(0 1 0)B，1(0 0 2)C，1(1 0 2)A， 则1(1 12)ABu uu r，平面CCBB11的法向量为(1 0 0)nr，设直线BA1与平面CCBB11所成的角为，BA1与n的夹角为，则116cos6A B nABnuu ur rgu uu rrg，66arcsin,66|cos|sin，即直线BA1与平面CCBB11所成角的大小为66arcsin17解：由题意，得3cos5BB，为锐角，54sinB，102743sin)sin(sinBCBA，由正弦定理得710c，111048sin222757SacBg18解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42则 2006 年全球太阳电池的年生产量为8.249942. 140. 138. 136.1670(兆瓦 )（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则441420(1)95%2499.8(142%)x解得0.615x因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.6119解：（1）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)xU，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数当0a时，2( )(00)af xxaxx，取1x，得( 1)(1)20( 1)(1)20ffffa，( 1)(1)( 1)(1)ffff，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （2）解法一：设122xx，22212121)()(xaxxaxxfxfaxxxxxxxx)()(21212121，要使函数)(xf在2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立121204xxx xQ，即)(2121xxxxa恒成立又421xx，16)(2121xxxxa的取值范围是(16，解法二：当0a时，2)(xxf，显然在 2)，为增函数当0a时，反比例函数xa在 2)，为增函数，xaxxf2)(在 2)，为增函数当0a时，同解法一20解：（1）设nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为 2 5 8 11 8 5 2， ， （2）12112112kkkkkccccccSkkkkcccc)(2121，50134)13(42212kSk，当13k时，12kS取得最大值12kS的最大值为626（3）所有可能的“对称数列”是：221221 2 222222 1mmmLL， ， ， ， ，；2211221 2 2222222 1mmmmLL， ， ， ， ， ；1222212222 1 2 222mmmmLL， ， ， ， ，；1222212222 1 1 2 222mmmmLL， ， ， ， ，对于，当2008m时，1222212008200722008S精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 当15002007m时，200922122008222221mmmmS2009212212mmm1222200921mmm对于，当2008m时，1220082008S当15002007m时，2008S122200821mm对于，当2008m时，2008200822mmS当15002007m时，2008S3222009 mm对于，当2008m时，2008200822mmS当15002007m时，2008S2222008 mm21 解： （1）2222012(0)00FcFbcFbc， ，222220212121F FbccbF Fbc，于是22223744cabc，所求“果圆”方程为2241(0)7xyx，2241(0)3yxx （2）由题意，得bca2，即abba2222222)2(acbb，222)2(abba，得54ab又21,222222abbacb2425ba，（3）设“果圆”C的方程为22221(0)xyxab，22221(0)yxxbc记平行弦的斜率为k当0k时，直线()ytbtb与半椭圆22221(0)xyxab的交点是P221tatb，与半椭圆22221(0)yxxbc的交点是Q221tctb，PQ，的中点M()x y，满足221,2actxbytg，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 得122222bycaxba2，22220222acacb acbbg综上所述，当0k时， “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上当0k时 ， 以k为 斜 率 过1B的 直 线l与 半 椭 圆22221(0)xyxab的 交 点 是22232222222ka bk a bbk abk ab，由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线xkaby22上，即不在某一椭圆上当0k时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -